不等式_解不等式復習課_教案

1、僅供個人參考不等式解不等式復習課教案教學目標1 .通過復習小結，學生系統(tǒng)地掌握不等式的解法及其內在聯(lián)系，提高學生 的解題技能.2 .通過對各類不等式內在聯(lián)系的揭示，加深學生對等價轉化的認識，為今 后進一步學習數學打好基礎.For personal use only in study and research; not for commercial use教學重點和難點解不等式變形過程中等價變換思想的理解和進一步應用.教學過程師：我們已對哪些不等式的解法做了研究？生：一元一次不等式；一元二次不等式；簡單的一元高次不等式；簡單的分 式不等式；簡單的無理不等式；簡單的指數不等式；簡單的對數不等式；含

2、有絕 對值的不等式.師：好.請先看幾道題目.（教師板書，請三位學生到黑板上做，其余學生在筆記本上做題）解下列不等式：1.2.3 . log2 (x+1 ) +logo.25 (x-1) >log4 (2x-1)（學生板書）1,解二原不等式, <=> 漢-2-Coxx(x +- 3)-(X + 1)(K - 3)K0X卜,0所以原不等式的解集為（-8, -1） U （0, 3.2 .解：原不等式2k +50, m +10,2x +5(x +1)2及+ 50, x + l<0、5笈，5，隗X-1,2x + 5>1+2x +152-1.卜)J, of (k + 2)(k

3、-2)<0或-1J,-2<x<2<=> .K<2或Y -1.d-i乙所以原不等式的解集為2.Ui3 .解：原不等式Cx + 1) 2 -log* (x-1) >log4(2x-l), x + l>0(log4 (x + 1) 2>log+ (x-1) 4-log+ C2x-1), =Q+iolog4 (x + 1) 2>log4 (x -1) C2z -1),x + l>Of<>.饕-10,2x-l>0(x+ 1) °(x -1) (2x -1), x- lt x>l0<芯<5, 廠

4、產、=> l<x<5.x>lx (x - 5)< 0, x>l所以原不等式的解集為（1,5）.(待三位學生寫完后，教師開始講評)師：好，這三個題解得都很正確.請問做第3題的同學，原題中的底數有2,0.25, 4這三個，換底時你為什么選擇以 4為底呢？生：都用大于1的底具單調性看起來比較方便，所以不選 0.25;如果用2為底，那么以0.25, 4為底的對數換底時真數中都要出現根號， 而最后還要把根 式變成整式，太麻煩.師：那為什么又要把左邊減的一項挪到右邊去呢？生：如果不移過去而直接運算的話， 不等號左邊的真數將是個分式，最后也 得變成整式，同樣麻煩.師：好.

5、還有，左移項之后不等號右邊對數運算時，為什么又多出兩個條件x-1 >0和2x-1 >0呢？在不等式中不是有l(wèi)og4 (x-1) (2x-1) 一項在，它已包含了(x-1) (2x-1) >0 嗎？生：是因為x-1 >0且2x-1 >0和(x-1) (2x-1) >0這兩個條件是不等價的.如果略去x-1 >0和2x-1 >0這兩個條件將會擴大解的范圍.師：很好.這些問題都是我們在解不等式的過程中應該注意的.剛才我們分別回顧了簡單的分式不等式、無理不等式和對數不等式.在我們學習過的八類不 等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最簡單、最基本的不等式

6、，而像我 們剛才做的這些其他類型的不等式，我們是如何解決的呢？生：把它們轉化為一元一次或一元二次不等式.師：具體來說這個轉化的目標是實現的呢？生：逐級轉化：超越不等式代數化；無理不等式有理化；分式不等式整式化； 高次不等式低次化.師：實現這些轉化的理論依據是什么？生：第一個是利用函數的單調性，后三者是根據不等式的性質.師：在這個轉化的過程中，最應該注意的是什么？生：每一次變換必須是等價變換.師：為什么要求這樣？生：為了保證得到的解集與原不等式的解集相同.師：我們在處理方程求解的問題時也遇到過這個問題.那時并不要求等價變換，只要驗一下根就可以了.這里不行嗎？生：不行.因為一般方程的根只有有限的幾

7、個， 增根可以通過檢驗的方式找 出來.而不等式的解集一般都是無限集，因此非等價變換產生的增根無法由檢驗 來剔除.師：說得好.我們來通過幾個例題來看看如何用等價變換解不等式.例1 1泛<L (教師板書)(2x -1師：這道題中的x參與了分式運算，還參與了無理運算.也就是說，我們要 做兩次變換.應該先進行哪個變換呢？生：無所謂.師：那就請兩位同學來說說這兩種做法.（學生口述，教師板書）解法1；原不等式u='-D (xx -2.1<0 2x -12）30且2笈-1滬0,區(qū) ；或西32,x +1 x-<0 2x -1又或區(qū)2,廣一Q + D （2x-l） >0且 2z-

8、l盧 0所以原不等式的解集為（-8,-1） U 2, +OO）1-2xa解法2,原不等式& _ 2<2* 1，V2x -0x -2<- Li x -2)。且2x - I/O,所以原不等式的解集為2, +oo）.師：為什么這兩種解法得到的解集不一樣呢？生：因為第二種解法的笫一步變換不是等價變換. Jpg要求V2x -1二二0,而;奎要求件2>0且2區(qū)一 10,它們顯然不等價，這樣 2x -1J2x -1變換就縮小了解的范圍.故第一種解法是正確的.師：對.我們在剛才的練習第三題中也遇到過這個問題， 兩式均大于0與它 們的積（或商）式大于0是不等價的，這是我們在處理等價變換

9、時應該注意的. 對 于這道題，我們就只能把它看作無理不等式.對復雜不等式的題型選擇離不開不 等式的等價性.請再看這道題.例2白|<L （教師板書）師：這道題看上去和例1很像，如何處理？生甲：當然是先把絕對信號去掉，變成一個分式不等式，剩下的就和例1差不多了.師：好，把你的方法寫到黑板上.（學生板書）lx - 2|睇原不等式另 <=x _ 2、> -L2x - 2旦_ 2 - 2k-1 J- 3、一o,-*<02x -1(x-1) (2x1)>0且2父 J盧0, (x +1) (2戈-1)0且2笈-170所以原不等式的解集為（-OO, -1） U （ 1, +OO師

10、：正確.這個解法是把題目看成了絕對值不等式，它和例1的解法類似,都是把根號或絕對信號中的式子先看成一個整體來考慮它的范圍，這樣做比較容易保證等價性.這道題是否還有別的解法呢？生乙：有.這道題可以把它看作一個分式不等式，將不等式左邊變|x-21成昌<1,把分母乘過去就成了絕對值不等式師：在例1中這樣做不對，這里會對嗎?生乙：投問題.因為|三4和后實際上是同一個次子，這樣可 |2x - 1|T|以保證等價.師：好，寫出你的解法.（學生板書）解工原不等式=|2區(qū)-1| °所以原不等式的解集為（8, -1） U （1, +OO）師：正確.正像學生乙所說的那樣，|沼|<1和界<

11、;1是等價的，因此這個不等式可以當作分式不等式來解.那么這兩種解法哪個更好 呢？生：第二種更好算一些.師：因此我們解決不等式問題時應先觀察題目，在等價轉化的前提下盡量選擇簡捷的途徑.請再看一道題.2例3 >21og.x + 3 CO<a<l） .1-102.x師：這道題中的x也參加了對數運算和分式運算.應把它看作哪類不等式?生：x參與的對數運算只有l(wèi)ogax ,把這個整體看成一個未知數，就可以轉化成分式不等式了.師：好，說說你的解法.（學生口述，教師板書）22解：令t=10gli處則原不等式變?yōu)?;一>2t+ 3<=-2t-3>01 -11-11 -1t -

12、 1(t+0 (2t-l) Ct-1) <0, t .1 盧 0（t<- I2匕-1 或一1.的2所以原不等式二=kg*K J或，410gaX<L £.a又0<a< 1,則原不等式<=>沱* '或；<=>自<«而或卜0x>0aL所以原不等式的解集為（心點U J, +8）. a師：在最后確定解集時是如何確定前小，1的大小關系的？ a生：由指數函數的單調性在。<#1時有師：對.在解集的端點中含有字母系數時，要特別注意它們大小的比較.下 面大家自己做幾個題目.（教師板書，學生在筆記本上做題）練習：解下

13、列不等式：L （區(qū)-2）J2x -1-0；2. log4 （1 hJ. X3. J-"十一 一22/ + 2, -10.（教師觀察學生完成情況，視學生解題狀況做出點評）府第1題有的同學直接把、距I去掉了，得到漢.2>0,可以嗎？生不可以這樣會漏掉一個解一g師：那如果把題目中的“學”號改成號就可以直接去掉了嗎？生：是.這樣不會漏掉解.師：試想，即使不影響結論，也是因為忽略的情況湊巧不在解集內.雖然我 們要求等價變換的目的是為了保證同解，但不能因為湊巧同解就忽視等價變換.（2x -l>0» .解：原不等式u=>（或2乂 - 1 = 0x- 2 #0或:<

14、 =gx>2或工=!.卜222所以原不等式的解集為1U12, +8）.乙I師：有的同學對于第2題無從下手.對于題中的字母 a我們如何處理呢？生：如果像例3那樣給定了 0<a<1,那么不等式就可以轉化為0<14了. x師：那如果a>1呢？生,那就應該是窗了.可是題目中并沒有說明&的范圍.解：1°當a>1時，1原不等式 <=4：=1-總<=1->0區(qū)1笈0.310X儀(a-1) x+ Il <0,I卜#o辰2 當 0<a<1 時，1一<%1-a<0,原不等式210P>0x1宣|x (1 -

15、a) x -1 <0且芯壬 0,1>1或x<0<=1 、=1 - -a>0 X«0， 1 1/1- a卜&)祖女o<x<,41- a宣1或笈<0剛才提到的兩種情況下的解法.（學生口述，教師板書）師：因此對于這種題,目我們就要對字母系數和范圍進行分類討論.試著說說-1 - a所以當>1時，原不等式的解集為(J, 0),當0<&<1時，1 - a原不等式的解集為(1. J).1 - a師，在最后確定解集時是如何確定丁L與o, 1的大小的呢？1 - a殳在a>時顯一有丁L<(h在0<a<

16、;l時，0<l-a<L1 - a所以有丁Ll1 - a師：很好.對于含有字母系數的不等式，我們需要在必要時對字母系數的范 圍進行討論；并且在最后確定解集時，要注意對含有字母系數的區(qū)間端點的大小 比較.師：我看到有的同學處理第3題時下手就把兩邊平方，這樣做可以嗎？生：可以，但不好.如果一平方，不等號右側就成了四次式，那樣過于麻煩師：那又如何處理呢？生：觀察不等式，根號內、外的x的二次項、一次項的系數對應成比例，由 這可以想到使用換元法.師：很好.這個方法我們在處理方程問題時就用過.把你的解法寫出來.(學生板書)船令tUL-2,則t>0.3則原不等式變?yōu)閠>2d-6=>

17、;(2t + 3)(t-2) Ui又t>0,則0<t<2, Bpo<+x-2<2x2 + x -20, J (x+2)(x -1)O，或K -2r一3笈3:7 +. - 2<4： ( (x + 3)(x -2)<0 3<W -2或1<h<2.所以原不等式的解集為(-3, -2) U 1, 2).師：很好.當我們處理一些復雜的不等式時，有時可借助換元法使問題簡化.師：解不等式要立足基本題型，通過等價變換，把它們最終歸結為一元一次 不等式或一元二次不等式的求解.作業(yè)：解下列不等式：Jx + 2$2. J>+ 154. log

18、3;5-21ogK>3.1. |21gx-3|<b3. 75x-1>5x-3j作業(yè)答案或提示：1. x|10<x<100.2. x|0<x<72.3. x|0<x<1,可用換元法將根式當作一個整體.11_4.1. .可用換元法把叫父當作一'卜整體.課堂教學設計說明1 .作為不等式解法的復習課，我們把等價變換放在突出位置.也就是說，要求每一次變形所得到的不等式和變形前的不等式是等價的.這與課本中有所不2.在本節(jié)課中，沒有給出不等式的這種分類（見分類表）.因為我們認為應該淡化形式，注重實質，而且表中的不等式也并沒有全部涉及到. 我們對于各 類不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分類表：一元一次不等式一元二次不等式一元高次不等式不等式代數不等式超越不等式有理不等式 無理不等式I整式不等式分式不等式同，課本原意是用同解不等式的觀點作統(tǒng)帥. 這樣做有這樣做的道理，但操作上 有困難.因為兩個不等式是否同解，要等解出來以后，從結果才能看清楚，用作 為指導性的東西顯得有些困難.我們強調等價變換是從過程看，這樣做既好操作， 也符合邏輯，還容易看清楚，可以引導學生從邏輯上把解不等式理論認識清楚.的解法是最基本的，它是解各類不等式的基礎.而解其他類型的不等式，關 鍵