基于Black-Scholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)研究

1、學(xué)號(hào)：05008基于Black-Scholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)研究清華大學(xué)高皓指導(dǎo)教師：束為(北京市商務(wù)局副局長(zhǎng))摘要：期權(quán)是人們?yōu)榱艘?guī)避市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)而創(chuàng)造出來(lái)的一種金融衍生工具。期權(quán)定價(jià)是金融衍生工具理論研究和實(shí)際應(yīng)用的核心問(wèn)題。本文介紹了金融衍生品概況，利用隨機(jī)過(guò)程的知識(shí)，系統(tǒng)研究了基于 Black-Scholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。文章推導(dǎo)出了標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程，進(jìn)而應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性法詳細(xì)解析了Black-Scholes 模型。關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)，伊藤過(guò)程，Black-Scholes 模型，風(fēng)險(xiǎn)中性。1金融衍生品概論1.1 金融衍生品及其市場(chǎng)期權(quán)是最基本的金融衍生品之一。金融衍生工具( de

2、rivative instruments )又稱金融 衍生品(derivatives )或金融證券(derivative securities ),是一種金融工具，其價(jià)格 或投資回報(bào)最終取決于另一種資產(chǎn)，即所謂的標(biāo)的資產(chǎn)( underlying asset )的價(jià)格。這就 是說(shuō)金融衍生品的價(jià)值是由其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值衍生(derived )而得到的。其中，用來(lái)作為標(biāo)的資產(chǎn)的可以是債券、股票、貨幣等基礎(chǔ)金融工具，也可以是其它實(shí)物資產(chǎn)，或者是金融衍 生品本身。從金融工程學(xué)角度看，遠(yuǎn)期合同、期貨合同和期權(quán)合同是三種最基本的衍生品。市場(chǎng)上還存在的的其它衍生品，如掉期( swaps)、按揭抵押債券(mortg

3、age-backed securities )、 結(jié)構(gòu)化債券(structured securities )等都可以看作上述三種基本衍生工具及債券、股票 的基礎(chǔ)金融工具不同組合的產(chǎn)物。金融衍生品市場(chǎng)是一個(gè)非常巨大的市場(chǎng)，表1和表2分別列出了 5年前交易所內(nèi)外交易的金融衍生產(chǎn)品市值。目前全球每年的交易額超過(guò)的0萬(wàn)億美元,而全世界所有國(guó)家的當(dāng)年GDP總和也不過(guò)30萬(wàn)億美元。這個(gè)市場(chǎng)發(fā)展極其迅猛，也對(duì)全世界的經(jīng)濟(jì)走勢(shì)產(chǎn)生了極其 深遠(yuǎn)的影響。從原理上來(lái)講，金融衍生品市場(chǎng)首先是規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的工具，通過(guò)交易使得風(fēng)險(xiǎn)從風(fēng)險(xiǎn)厭惡者手中轉(zhuǎn)移到風(fēng)險(xiǎn)喜好者手中。但在實(shí)踐中取得的效果往往適得其反，越是設(shè)計(jì)的復(fù)雜的產(chǎn)品，其

4、破壞力往往就越大。1994年墨西哥金融危機(jī)，1997年亞洲金融風(fēng)暴都與金融衍生品市場(chǎng)息息相關(guān)。金融衍生品市場(chǎng)非常精妙復(fù)雜，充滿了不確定性，每天都在發(fā)生著驚心動(dòng)魄的財(cái)富故事，是對(duì)人類智力的挑戰(zhàn)。目前在中國(guó)還未允許期權(quán)交易和金融期貨交易，但是，中國(guó)的金融安全、中國(guó)的發(fā)展，需要一大批金融衍生品方面的頂尖專家。前一段時(shí)間發(fā)生的“國(guó)儲(chǔ)銅”事件，讓我們感到學(xué)習(xí)掌握金融衍生品交易的尖端技術(shù)迫在眉睫。表1交易所交易的金融衍生產(chǎn)品市值(單位 ：10億美元)期末名義余額名義交易額時(shí)間1997年12月1998年12月1999年6月1997 年1998 年1999 年總計(jì)12,202.213,549.215,097.

5、8356,752.8387,699.292,818.0數(shù)據(jù)來(lái)源：國(guó)際清算銀行 1999年發(fā)布的國(guó)際銀行業(yè)與金融市場(chǎng)發(fā)展季度報(bào)告:10億美元)表2場(chǎng)外市場(chǎng)交易的金融衍生產(chǎn)品期末未結(jié)清余額(單位工具1998年6月1998年12月名義本金額市場(chǎng)總價(jià)值名義本金額市場(chǎng)總價(jià)值總計(jì)72,1432,58080,3003,230數(shù)據(jù)來(lái)源：國(guó)際清算銀行1999年關(guān)于衍生品 OT5場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)報(bào)告1.2 期權(quán)的基本概念期權(quán)(option):是一種選擇權(quán)，持有者有在約定時(shí)間以約定價(jià)格向其權(quán)提供者購(gòu)買或 售出某種資產(chǎn)的權(quán)利，但不負(fù)有必須買進(jìn)或賣出的義務(wù)。做多方(long position ):買方。做空方(short po

6、sition ):賣方。標(biāo)的資產(chǎn)(underlying asset )：期權(quán)合同做多方行使權(quán)力時(shí)買入或賣出的資產(chǎn)?？晒?選擇的表弟資產(chǎn)有股票、債券、貨幣、利率等金融資產(chǎn)，也可以是黃金和其他一些商品。敲定價(jià)格(strike price ):期權(quán)合同所規(guī)定的標(biāo)的資產(chǎn)的買入或賣出價(jià)格。敲定價(jià)格 在簽訂期權(quán)合同時(shí)就已經(jīng)固定，不再隨標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格變化而變化?？礉q期權(quán)(call option):是指期權(quán)的買方享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具體的敲定價(jià)格買進(jìn)某一特定數(shù)量的相關(guān)商品期貨合約的權(quán)利，但不同時(shí)負(fù)有必須買進(jìn)的義務(wù)?？吹跈?quán)(put option):是指期權(quán)的買方享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具體的敲

7、定價(jià) 格賣出某一特定數(shù)量的相關(guān)商品期貨合約的權(quán)利，但不同時(shí)負(fù)有必須賣出的義務(wù)。到期日(expirationdate )：期權(quán)合同所規(guī)定的有效期限或合同做多方行使權(quán)力的時(shí)間。根據(jù)做多方在期權(quán)有效期內(nèi)行使權(quán)力自由度的不同，期權(quán)有可以分為美式期權(quán) (American-style option ),即做多方可以在到期日前任何一天行使權(quán)力；歐式期權(quán) (European-style option ),即做多方只能在到期日行使權(quán)力，本文中僅研究歐式期權(quán)。可行市場(chǎng)：研究金融市場(chǎng)有一個(gè)基本的假定，就是無(wú)套利原則，也稱套利原則，這個(gè)原則就是假定正常運(yùn)行的市場(chǎng)沒(méi)有套利機(jī)會(huì)(套利的粗略含義是，在開(kāi)始時(shí)無(wú)資本，經(jīng)過(guò)資本

8、的市場(chǎng)運(yùn)作后，變成有非負(fù)的(隨機(jī))資金，而且有正資金的概率為正)。因?yàn)樵诔霈F(xiàn)套利機(jī)會(huì)時(shí)，大量的投機(jī)者就會(huì)涌向市場(chǎng)進(jìn)行套利，于是經(jīng)過(guò)一個(gè)相對(duì)短的時(shí)期的“混亂”后， 市場(chǎng)就會(huì)重返“正?！?，即回復(fù)到無(wú)套利狀態(tài)。在金融衍生證券的定價(jià)理論中，并不討論這段短混亂時(shí)期，因此，在研究中普遍地設(shè)置無(wú)套利假定，這樣的市場(chǎng)也稱為可行市場(chǎng)。套期：粗略地說(shuō)，以持有某些有價(jià)證券組合來(lái)抵消某種金融衍生證券所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，稱為套期，這種套期事實(shí)上是完全套期。如果只抵消了部分風(fēng)險(xiǎn)，則稱為部分套期。1.3 期權(quán)交易過(guò)程以某種證券為標(biāo)的變量的歐式看漲期權(quán)，是指在t=0時(shí)甲方(一般為證券公司)與乙方的一個(gè)合約，按此合約規(guī)定乙方有一個(gè)權(quán)

9、利，能在時(shí)刻T以價(jià)格X(敲定價(jià)格)從甲方買進(jìn)一批這種證券，如果時(shí)間T時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格ST低于X乙方可以不買，而只要時(shí)間T時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格ST高于X,乙方就得利。綜合起來(lái)，乙方在時(shí)刻T凈得隨機(jī)收益為Ct =max(0, St -X) O因?yàn)橐曳街荒茉谧罱K時(shí)刻T做出選擇，所以這種期權(quán)是歐式期權(quán)。此外，乙方希望 &盡量大，以便有更多的獲利。也就是有選擇權(quán)的乙方盼望股票上漲，這就是看漲期權(quán)，或者買權(quán)。由于這個(gè)合約能給乙方帶來(lái)cT =max(0, ST -X)的隨機(jī)收益，就需要乙方在t=0時(shí)刻用錢從甲方購(gòu)買。 這個(gè)合約在t=0時(shí)刻的價(jià)格，稱為它的貼水或保證金(premium)。問(wèn)題關(guān)鍵是如何確定這個(gè)合約

10、在時(shí)刻t<T的價(jià)格。這正是本文研究的問(wèn)題。1.4 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的簡(jiǎn)述價(jià)格從來(lái)都是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的核心內(nèi)容，價(jià)格是使市場(chǎng)上的交易雙方達(dá)成交易的最重要的因素，價(jià)格反映了市場(chǎng)上的供求關(guān)系。資產(chǎn)定價(jià)( asset valuation )是現(xiàn)代財(cái)務(wù)學(xué)的一個(gè)基 本問(wèn)題。1973年，芝加哥大學(xué)教授 Black和MIT教授Scholes在美國(guó)“政治經(jīng)濟(jì)學(xué)報(bào)”(Journalof Political Economy )上發(fā)表了一篇題為“期權(quán)定價(jià)和公司負(fù)債“( The pricing of Options and Corporate Liabilities )的論文；同年，哈佛大學(xué)教授M

11、erton在“貝爾經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)學(xué)報(bào)”上發(fā)表了另一篇論文”期權(quán)的理性定價(jià)理論”(Theory of rational optionpricing )，奠定了期權(quán)定價(jià)的理論性基礎(chǔ)，為財(cái)務(wù)金融學(xué)開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)嶄新的領(lǐng)域，也拉開(kāi)了100萬(wàn)億美元龐大市場(chǎng)的序幕。Scholes和Merton由于在期權(quán)定價(jià)方面的開(kāi)拓性貢獻(xiàn)，被授予1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)(Black教授1995年逝世未能享此殊譽(yù)，但英名也永載史冊(cè))。現(xiàn)在，期權(quán)理論與應(yīng)用研究已經(jīng)成為財(cái)務(wù)金融學(xué)領(lǐng)域最為活躍的分支，本文的研究就是以著名的Black-Scholes模型展開(kāi)的。1.4.1 概念與基本假定Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型將股票期權(quán)價(jià)

12、格的主要因素分為五個(gè)：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格St、執(zhí)行價(jià)格X、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率 仃和距離到期時(shí)間T-1。除此之外，對(duì)于股票期權(quán)來(lái)說(shuō)，影響其價(jià)值的參數(shù)還包括股利支付D。在具體分析上述參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響之前，我們先討論一下期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成問(wèn)題。期權(quán)的價(jià)值等于內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值之和。其中，期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值 (intrinsic value) 是指期 權(quán)盈價(jià)的金額，即期權(quán)的做多方從執(zhí)行期權(quán)合同中得到的現(xiàn)金收入額。買權(quán)的內(nèi)在價(jià)值Ct =max(0, St -X)表明，由于期權(quán)損益結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱性，其內(nèi)在價(jià)值不會(huì)為負(fù)，至少等 于0。權(quán)、且現(xiàn)在時(shí)刻期權(quán)的價(jià)St歐式買 t離到期日T尚有一段時(shí)間T-t ,

13、則不能簡(jiǎn)單地用現(xiàn)行市場(chǎng)價(jià)格St ,減去執(zhí)行價(jià)格 X作為其內(nèi)在價(jià)值,因?yàn)樗鼈兪前l(fā)生在兩個(gè)不同時(shí)刻的價(jià)值量，考慮到貨幣的時(shí)間價(jià)值，簡(jiǎn)單的算術(shù)加減是沒(méi)有意義的，而應(yīng)當(dāng)將未來(lái)T時(shí)刻的價(jià)值量X按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻。因此，歐式買權(quán)內(nèi)在價(jià)值的計(jì)算公式應(yīng)當(dāng)調(diào)整為cT=max(0, St -Xe 4T.)1.4.2 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)的基本思路期權(quán)定價(jià)的主要研究工具是隨機(jī)過(guò)程的分支一一隨機(jī)微分方程和鞅。隨機(jī)微積分起源于馬爾可夫過(guò)程結(jié)構(gòu)的研究。日本數(shù)學(xué)家伊藤清在探討馬爾可夫過(guò)程的內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)，認(rèn)為布朗運(yùn)動(dòng)(又稱維納過(guò)程)是最基本的擴(kuò)散過(guò)程，能夠用它來(lái)構(gòu)造出一般的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。Black-Scho

14、les考察一類特殊的擴(kuò)散過(guò)程：dS(t) = NSdt + 仃 SdB(t),這里St表示股票價(jià)格，股票預(yù)期收益率 N及波動(dòng)率。(。¥0)均為常數(shù)，t代表時(shí)間，B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。風(fēng)險(xiǎn)利率)：Black 在在無(wú)交易成本、不分股利的假設(shè)下，得出歐式看漲期權(quán)價(jià)格 Ft應(yīng)滿足如下微分方程(r為無(wú)dFt =(工 St1 二 St Ft)dt 二St dBftFS 2；:St；St1989年曾在一篇文章中介紹了得到 Black-Scholes 模型的全部經(jīng)過(guò)。他指出，期權(quán)定價(jià)的核心在于設(shè)計(jì)一個(gè)套期組合策略，使得期權(quán)市場(chǎng)投資風(fēng)險(xiǎn)為零，這是對(duì)期權(quán)定價(jià)建模思路的高度概括。我們下面將詳細(xì)討論。利用

15、偏微分方程的理論求出的方程解析解,即著名的Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式。卜面列出了歐式買權(quán)解的表達(dá)式oFt 二ct =StN(d1) Xe'(T)N(d2)其中,d1l"Sb" 三)(丁一”21/21二(T -t)21/2d? = a - (T -1) 2 .標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的概率分布模型從概率論的角度講，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。因此，了解和掌握這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的基本特征，是期權(quán)定價(jià)理論首先要回答的基本問(wèn)題。例如，股票價(jià)格變動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)或?qū)?shù)正態(tài)分布， 是Black和Scholes在推導(dǎo)B-S期權(quán)定價(jià)模型時(shí)用到的最基本的假 設(shè)。本節(jié)介紹與之相

16、關(guān)的基本概念，布朗運(yùn)動(dòng)、幾何布朗運(yùn)動(dòng)、伊藤過(guò)程和伊藤定理等。在 此基礎(chǔ)上，以股票為例，討論標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的概率模型。2.1 布朗運(yùn)動(dòng)及一般化維納過(guò)程股票價(jià)格的變化行為常用著名的布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫(huà)。布朗運(yùn)動(dòng)是馬爾柯夫過(guò)程的一種特殊形式。布朗運(yùn)動(dòng)最早起源于物理學(xué)，物理學(xué)中把某個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)是受到大量小分子碰撞的結(jié) 果成為布朗運(yùn)動(dòng)。股票價(jià)格的變化也是受著很多種因素的影響，所以形象的說(shuō)，股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的軌跡類似于布朗運(yùn)動(dòng)。關(guān)于這一點(diǎn)假設(shè)，文章中還會(huì)有比較詳細(xì)的說(shuō)明。定義布朗運(yùn)動(dòng)(維納過(guò)程) 隨機(jī)過(guò)程B(t),t 2。稱為布朗運(yùn)動(dòng)(維納過(guò)程)，如果它滿足:(1)過(guò)程具有獨(dú)立增量；(2)正態(tài)增量，即x(t),t上。

17、; (3)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。從下圖中布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡看，確實(shí)沒(méi)有什么規(guī)律可言。圖2布朗運(yùn)定義一般維設(shè)1.5T動(dòng)的軌跡納過(guò)程(B(t),t 2 0為布朗運(yùn)動(dòng)，則稱dS(t) = Ndt+crdB(t)為一般化的維納過(guò)程(布朗運(yùn)動(dòng))望漂移率(instantaneous expected draft rate ), o為瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差，它們都是給定的參數(shù)，B(t)是連續(xù)的維納過(guò)程。一般化維納過(guò)程是最常用來(lái)刻畫(huà)基礎(chǔ)金融變量，特別是描述股票價(jià)格的變化的一種隨機(jī)過(guò)程形式。影響股票價(jià)格變化的因素主要有以下兩點(diǎn)：股票價(jià)格隨時(shí)間上漲的趨勢(shì)和股票價(jià)格的平均波動(dòng)率。前者對(duì)股票價(jià)格增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)取決于時(shí)間的長(zhǎng)短；后者至取決于布朗

18、運(yùn)動(dòng)造成的隨機(jī)波動(dòng)。所以，股票價(jià)格的變化可以看成是兩個(gè)方向上的力共同決定的。具體地說(shuō)，如果我們不計(jì)算AB在內(nèi)，則dS(t) = Ndt ,即S = S0十比，這說(shuō)明股票價(jià)格具有線性增長(zhǎng)的性質(zhì)。如果我們考慮BB ,這種波動(dòng)分為兩個(gè)部分，(1) dB,即所謂白噪聲(whitenoise ),(2)它被放大了仃倍，則有S = S0 +出+B(t),這說(shuō)明股票價(jià)格 S在線性增長(zhǎng) 的同時(shí)，還有隨機(jī)波動(dòng)的傾向，兩部分的疊加就獲得了如圖的一般維納過(guò)程。圖3 一般維1.210.80.60.40.20-0.200.511.522.53納過(guò)程那條隨機(jī)波線代表股票上的紅色直隨機(jī)波動(dòng)影最上邊 動(dòng)的藍(lán)色曲 價(jià)格，斜向

19、線代表不計(jì)響的股票價(jià)格，下面那條隨機(jī)波動(dòng)的綠色曲線代表沒(méi)有線性增長(zhǎng)趨勢(shì)的股票價(jià)格的變動(dòng)。 實(shí)的股票價(jià)格是由線性增長(zhǎng)和隨機(jī)波動(dòng)兩種因素共同影響而成。2.2 幾何布朗運(yùn)動(dòng)早在1900年巴舍利耶(Bachelier )就曾經(jīng)假定股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)服從維納過(guò)程，但這引起了一個(gè)矛盾，即股票價(jià)格也有可能為負(fù)數(shù)，這與現(xiàn)代公司有限負(fù)債前提相矛盾。而直接假設(shè)股票價(jià)格遵循一般維納過(guò)程也忽略了一個(gè)事實(shí)，即投資者往往要求股票的期望收益率是一個(gè)常數(shù)，而不管股票價(jià)格的絕對(duì)水平是多少。因此，現(xiàn)在通用的描述股價(jià)的適當(dāng)形式應(yīng)為：dS(t)=:Sdt 二 SdB(t)或?qū)懗啥x幾何布朗運(yùn)動(dòng)dSt) - .：dt 二 dB(t)如果隨機(jī)

20、過(guò)程fe(t),t之0是布朗運(yùn)動(dòng)，則稱隨機(jī)過(guò)程x(t),t之0為幾何布朗運(yùn)動(dòng)(geometric Brown motion )，如果 x(t) =eB，t > 0 。下面將證明，股票價(jià)格S(t), t之0服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)于一般的金融資產(chǎn)，瞬時(shí)預(yù)期回報(bào)率R和回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差 仃可能不是常數(shù)，而是金融資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的某個(gè)函數(shù)，即 N(t,S(t)和。(t,S(t),因此該金融資產(chǎn)價(jià)格變化規(guī)律由下式表示dS(t),- =(t,S(t)dt 二(t,S(t)dB(t)顯然此式是更一般形式。由下可知，這時(shí)的 S(t), 0 Wt WT是一個(gè)伊藤過(guò)程。2.3 3伊藤過(guò)程和伊藤公式定義伊藤過(guò)程如果過(guò)程

21、(S(t), 0WtWT可以表示為 dS(t)=2(t,S(t)Sdt+仃(t, S(t)SdB(t),其中N(t,s),<r(t,s)是二元連續(xù)函數(shù)，B，t之0為布朗運(yùn)動(dòng)，則稱S(t), 0<t <T) 為伊藤隨機(jī)過(guò)程(簡(jiǎn)稱伊藤過(guò)程)。伊藤定理設(shè) (S(t), 0«t «T是由 dS(t) = R(t,S(t)Sd十仃(t,S(t)SdB(筠出的伊藤過(guò)程,f =f (s,t)是二次可微連續(xù)函數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)汗 汗 .f, _ ,- 2ct cs cs 則 f (S(t),t)滿足如下的伊藤微分方程tf.cf1 c2 f 22cfdf二(一/S- S2

22、)dt- -SdB2.4 股票價(jià)格變化的£S2 CScS概率分布有了伊藤定理這個(gè)有力工具，我們就可以分析股票價(jià)格的概率分布性質(zhì)了。若記f(t) =ln S(t),則對(duì)于誓=(t,S)dt 二(t,S(t)dB(t)一S_2 _有甘c 開(kāi)1F f1 .=0, = ,Z- 二 一 一n這樣，由伊滕定理，有 ：t ； ss*2s2df =(SJ J2S2 : 2)dt fSdB亦即，S .: t 2 ：S: S12= (；：)dt - dB 2一一 2_d(ln S)=(-1/2 二)dt -dB對(duì)上式兩邊在0,t上積分即可得到一一，2tln St -ln So =(1/2 二)t

23、76;；dBdB(t) = sVdt是布朗運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榫?N(0,1),所以d B( t) N( 0 ,d,t而-_ _ _ 2仃d B N( 8,d t)布朗運(yùn)動(dòng)的每一連續(xù)瞬間都是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，所以有t20二dB N(0,0 t) ._.2因此，ln( St / S0) u (口 一 1/ 2 二)t二 B(t)八_,2_或St 二 S°exp(一1/ 2 二)t- B(t)這是一個(gè)非常重要的結(jié)論，它給出了在給定當(dāng)前股價(jià)s0(t = 0)的條件下，未來(lái)t時(shí)刻股票價(jià)格與服從的概率分布，即它是一個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量。由于這個(gè)結(jié)果是在幾何布朗運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，說(shuō)明這是一個(gè)問(wèn)題的兩

24、個(gè)不同表示形式。因此，在研究股票價(jià)格變動(dòng)規(guī)律時(shí)，幾何布朗運(yùn)動(dòng)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布往往成為一個(gè)同義語(yǔ)，盡管在數(shù)學(xué)上它們本來(lái)是兩個(gè)不同的概念。在下文中，我們不再加以區(qū)分。概率密度期望值圖4股票價(jià)格的概率密度分布：對(duì)數(shù)正態(tài)分布3. Black-Scholes模型建立及求解3.1 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型概述3.1.1 基本假設(shè)Black和Scholes在推導(dǎo)Black-Scholes 模型時(shí)做了以下 7條基本假設(shè)：(1) 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r已知，且為常數(shù)，不隨時(shí)間變化；(2) 有兩種長(zhǎng)期存在的證券，一種是股票(標(biāo)的資產(chǎn)) ，其價(jià)格St的變化為一幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即dSt = ；Stdt 二 StdB(

25、t)2一或者說(shuō)，St服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，St = So exp( N 1/ 2仃)t十仃B(t)另一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券Lt,它的價(jià)格過(guò)程為6 Lt /6t = rLt。(3) 在衍生證券的有效期內(nèi)，標(biāo)的股票沒(méi)有紅利支付；(4) 期權(quán)為歐式期權(quán)；(5) 對(duì)于股票市場(chǎng)、期權(quán)市場(chǎng)和資金借貸市場(chǎng)來(lái)說(shuō)，不存在交易費(fèi)用，且沒(méi)有印花稅；(6) 投資者可以自由借入和貸出資金，借入利率和貸出利率相等，均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。而且所有證券都是高度可分的，即投資者可以購(gòu)買任意數(shù)量的標(biāo)的股票；(7) 對(duì)賣空沒(méi)有任何限制(如不設(shè)保證金)，允許使用全部所得賣空衍生證券。3.1.2 符號(hào)在上述假設(shè)下，記St :標(biāo)的資產(chǎn)(股票)的市場(chǎng)價(jià)格

26、;X：買權(quán)合同的執(zhí)行價(jià)格；r：按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；仃：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率；T：到期日；t:當(dāng)前定價(jià)日；T -t :距離到期時(shí)間。3.1.3結(jié)論(1) 在定彳日t(t<T),歐式買權(quán)的價(jià)值 G為ct =SN(d1) Xe,(T)N(d2)其中，St二2ln(V)(r T)(T -t)1/2di )一X2172d2 =di -二(丁 -t)二(T -t)N(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù)，即N(x) = PX 二 x, X N(0,1)(2)由買權(quán)-賣權(quán)平價(jià)公式：pt =ctSt+Xe(Tq ,又由N(x)+N(-x) =1,歐式賣權(quán)在定價(jià)日的價(jià)值pt -StN(-d1) XeJ(

27、TJ)N(-d2)3.2 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)建模推導(dǎo)方法我們按照Black和Scholes在1973年那篇奠定諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的經(jīng)典論文的思路來(lái)推 導(dǎo)Black-Scholes 微分方程。假設(shè)Ft是期權(quán)(或者其他衍生證券)的當(dāng)前價(jià)格，顯然，F(xiàn)t一定是標(biāo)的股票當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格St和當(dāng)前定價(jià)日t的某種函數(shù)。注意到Black-Scholes 模型的基本假設(shè)，股票價(jià)格St遵循隨機(jī)過(guò)程：dSt “Stdt ；SdBt因此，由伊藤定理，期權(quán)價(jià)值Ft是標(biāo)的股票價(jià)格 S的函數(shù)，應(yīng)有：FF , FF 1 2 2：2F汨dFt =(上t2St22bdtLdBtft2:Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)

28、模型采用的是典型的動(dòng)態(tài)無(wú)套利均衡分析的技術(shù)?；舅悸肥?套期保值，即交易者為減少風(fēng)險(xiǎn)而采取的投資組合(portfolio)的策略。在上述假設(shè)下，采用一種動(dòng)態(tài)交易策略，復(fù)制歐式買權(quán)到期末的現(xiàn)金流。這一復(fù)制技術(shù)是在期初t = 0時(shí)購(gòu)買一個(gè)有標(biāo)的股票和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成的證券組合，然后不斷地動(dòng)態(tài)調(diào)整其頭寸使之保持住無(wú)套利均衡關(guān)系，一直到到期日t =T。這樣，現(xiàn)在t =0時(shí)刻歐式期權(quán)的價(jià)值就一定等于復(fù) 制組合在t =0時(shí)刻的價(jià)值。這一動(dòng)態(tài)過(guò)程有以下三個(gè)特點(diǎn)：(1) 與復(fù)制一份歐式買權(quán)相對(duì)應(yīng)，股票的頭寸始終小于1股。(2) 所對(duì)應(yīng)的股票頭寸大小成為套頭比或期權(quán)的delta( ), 定義為=： Ft/(3

29、) 套頭比不停地發(fā)生變化，所以為了復(fù)制1份期權(quán)，需要隨時(shí)調(diào)整復(fù)制組合中股票的頭寸，但這種調(diào)整是無(wú)成本的（自融資的）。具體地說(shuō)，這一動(dòng)態(tài)復(fù)制過(guò)程就是用期權(quán)、標(biāo)的股票和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券來(lái)構(gòu)筑一個(gè)無(wú)套利均衡的組合頭寸。用 =毛/兩份標(biāo)的股票（月票價(jià)格為 St）的多頭和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的空股票 去 ESt股，同時(shí)以Ft賣空1頭來(lái)復(fù)制一份期權(quán)（價(jià)格為 Ft）。亦即構(gòu)造如下的套期組合：在當(dāng)前 t時(shí)刻，以St買入標(biāo)的份期權(quán)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的空頭價(jià)值記為L(zhǎng)t。為使復(fù)制在全過(guò)程中成立，必須始終保證以下關(guān)系:移項(xiàng)整理有,經(jīng)過(guò)一段微小時(shí)間每t,兩邊的Ft =正 St - Lt：S：FtLt=-FtSt:St價(jià)值變?yōu)長(zhǎng) = -

30、F -t S一而伊滕過(guò)程刻回了 6S,伊 t t cSt藤定理刻回了 6Ft,于是，將前面的關(guān)系帶入上式，即可得到F 1 ；:2Ft 2 2Lt =（-2"飛）”這是一個(gè)有趣的結(jié)果，設(shè) 2 cSt在上面的表達(dá)式右邊，隨機(jī)項(xiàng)dR不再出現(xiàn)。這意味著1份期權(quán)的空頭和份股票的多頭能實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的完全對(duì)沖，而的大小是動(dòng)態(tài)地調(diào)整的。所以右邊這二者的組合和與之等價(jià)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券是完全等價(jià)的。（對(duì)于期權(quán)和股票的證券組合來(lái)說(shuō)，其瞬時(shí)收益率一定同其他短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率相同。如果該證券組合的收益率大些，套利者就會(huì)賣出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券然后購(gòu)入證券組合獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益；如果該證券組合的收益率小些，套利者就會(huì)通過(guò)賣出該證

31、券組合購(gòu)買無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券來(lái)獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。）即兩者組合的收益率應(yīng)當(dāng)?shù)扔跓o(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r,因此、Lt / Lt = r、t即有、Lt /、 t = rLt令研t 0并在上述關(guān)系式中展開(kāi) 5Lt和Lt就得到著名的Black-Scholes 隨機(jī)微分方程：iFt rC 2Ft 1-2c2£FL對(duì)于歐式看漲期權(quán)，其rSt- 2 St 苫一匕 邊界條件為：c = F(t =T) =max(Sr -X,0)對(duì)于歐式看跌期權(quán)，其邊界條件為:p =F(t =T) =max(X -ST,0)3.3 Black-Scholes模型的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法方法利用了風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，解法中具有比較深刻的金

32、融學(xué)含義，被現(xiàn)在的金融學(xué)研究者廣泛采用。3.3.1 風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)首先簡(jiǎn)要介紹在金融學(xué)中極為重要的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)?，F(xiàn)實(shí)世界中的人往往分為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型、風(fēng)險(xiǎn)中性型、風(fēng)險(xiǎn)喜好型。18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家 Daniel Bernoulli 在研究賭博問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，人們往往對(duì)賭博可能輸?shù)舻腻X看得比可能贏到的錢重。例如，在一個(gè)擲硬幣的賭博中， 假設(shè)硬幣完全對(duì)稱，正面朝上可以贏得2000元，反面朝上1分錢也收不回，要下多少錢的賭注人們才會(huì)來(lái)參加？所謂公平的賭博，就是指賭博結(jié)果的預(yù)期只應(yīng)當(dāng)與入局前所持有的資金量相等，我們學(xué)過(guò)的鞅就描述了公平賭博。因此，花費(fèi)2000M50% +0M50% = 1000元入局是一場(chǎng)公平的賭局

33、。但是，對(duì)于許多人來(lái)說(shuō)，不愿意花1000元參加這場(chǎng)公平的賭局，他們可能只愿意花 300元來(lái)入局，實(shí)際上，他們是要以700元的預(yù)期收益作為承受風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ) 償。這些人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的，在沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的人拒絕公平的賭博。定義風(fēng)險(xiǎn)中性 (risk-neutrality )如果有人愿意無(wú)條件地參加公平的賭博，則這樣的人被認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)中性的。風(fēng)險(xiǎn)中性者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)采取無(wú)所謂的態(tài)度：他們對(duì)所有資產(chǎn)所要求的預(yù)期收益率都是一樣 的，而不管其風(fēng)險(xiǎn)如何， 并不要求風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。因此，對(duì)所有資產(chǎn)所要求的預(yù)期收益率也就 同無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相同。這就是說(shuō)，風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者投資于任何資產(chǎn)所要求的收益率 就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。

34、在一個(gè)假想的風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有的市場(chǎng)參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，那么，所有的資產(chǎn)不管其風(fēng)險(xiǎn)大小或是否有風(fēng)險(xiǎn)，預(yù)期收益率都相同，都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。而且，所有資 產(chǎn)現(xiàn)在的市場(chǎng)均衡價(jià)格都應(yīng)當(dāng)?shù)扔谄湮磥?lái)收益的預(yù)期值，加上考慮到資金的時(shí)間價(jià)值，就都是未來(lái)預(yù)期值用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)是和無(wú)套利均衡分析緊密聯(lián)系在一起的。當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，所有的市場(chǎng)參與者就都會(huì)進(jìn)行套利活動(dòng)， 而不管其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度如何。 由此出發(fā)，可以得到 這樣一個(gè)推理結(jié)果：無(wú)套利均衡分析的過(guò)程和結(jié)果與市場(chǎng)參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)如果對(duì)一個(gè)問(wèn)題的分析過(guò)程與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)，則可以將問(wèn)題放到一個(gè)假設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)

35、中性的世界里進(jìn)行分析，所得的結(jié)果在真實(shí)的世界里也應(yīng)當(dāng)成立。利用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)可以大大簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析，因?yàn)樵陲L(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，對(duì)所有的資產(chǎn)都要求相同的收益率，而且，所有資產(chǎn)的均衡定價(jià)都可以按照風(fēng)險(xiǎn)中性概率算出未來(lái)收益的預(yù)期值，再以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)得到。最后，將所得的結(jié)果放回真實(shí)的世界，就獲得有意義的結(jié)果。3.3.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法下面應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)來(lái)分析Black-Scholes微分方程。在Black-Scholes 微分方程中，通過(guò)動(dòng)態(tài)對(duì)沖的方法，使風(fēng)險(xiǎn)由于完全的對(duì)沖而消除掉，方程中不再含有隨機(jī)項(xiàng)dBt ,除此之外，也不再含有 口，這一點(diǎn)同樣是意味深長(zhǎng)的，股票的預(yù)期收益率中含有風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償， 因而

36、會(huì)與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好有關(guān)。不含N ( N是連續(xù)計(jì)算收益率的股票在單位時(shí)間內(nèi)收益,說(shuō)明問(wèn)題與投資者的風(fēng)險(xiǎn)的自然對(duì)數(shù)的期望值，即預(yù)期單位時(shí)間連續(xù)計(jì)息的復(fù)利收益率) 偏好無(wú)關(guān)。這樣，風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)就可以應(yīng)用了。由定義，買權(quán)在到期日的價(jià)格0T滿足，cT = max(0, ST - X)根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則，只要先求出Ct的期望值ECt,然后再將這一發(fā)生在未來(lái) T時(shí)刻的期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻t,就可以得到該買權(quán)在定價(jià)日t的價(jià)值_r(T _t)q = eEct 所以，確定ct的關(guān)鍵問(wèn)題在于如何計(jì)算 Ecto設(shè)P為St aX的概率，即P = P(St>X)。則由隨機(jī)變量期望值的定義Ect -P

37、 EST |ST X -X (1 -P) 0=PEST|ST X-X因此，最終歸結(jié)為計(jì)算概率P和EST | ST >X 。下面分別來(lái)計(jì)算這兩個(gè)量。(1)求解 P=P(ST'X)由 ST >X A0,有 In ST a In X 和 In ST In St a In X In St ,即In(ST /S) In(X /St)因此，P =P(ST aX) = P(In(ST / St) >In(X / St)。另一方面，我們把求解BIack-SchoIes 微分方程的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題先放到一個(gè)“風(fēng)險(xiǎn)中性”的假設(shè)世界中去。在這個(gè)假想的世界里，所有市場(chǎng)參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，他們對(duì)

38、于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益，都是不需要風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。在這個(gè)假想的世界里，所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率都相等，即都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r,即N=r。因此，由模型假設(shè)知，In(ST/St)服從正態(tài)分布，其期望值和方差分別為EIn(ST) =(-；')=(-；2)St22St.2其中，3T-1,換元，DIn(m)=<iTSt'In() -(r - -2)則可以化作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布St2 形式，有z -1/2二.z N(0,1)因此,StXP -P(In() In()StSt.z X1 _ 2In()-(r )St2二 P(z -)若記di則上式為St1 2ln(一) (r 一一 ；：-).X21/2 5

39、d2 P這樣，我們求出了第P = P(ST X) = N(d2)_1/21/2=P(z . d1 )=1 -N(-d1 C. 1/2)一個(gè)值，即=1 N(-d2) =N(d2)(2)求解 ESt|StX2 .由于St = St exp( N 1/ 2仃)t +B(t)，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，因此其密度函數(shù)其中,一、1，L f(l沾將:2TxpL-E(L)2-一一 2于是,E(L) = Eln( ST) = In St (r -0.5二),EST |ST 2X D(L)S； D(哪dS)=二 2rt= Ste exp(-ln St - r )exp(ln SJ f (ST)dSrX作變量替換則有dy

40、 = (ST ) dSr=Se代1_2、二 一 expL -E(L) exp(-0.5;)S.、2_2_L -E(L)-v2 ln ST -E(L) -v 二 y 1 l -e(lR-于小=exp-12-i-J-dSrS 2 二2：計(jì)算積分限，當(dāng)ST T g時(shí)，yT g ；當(dāng)ST =X時(shí),lnX -E(L)因此,ln&:一XESS X=Se，_2(r 0.5。)-= -d1三，11 2，2二 exp(-2y)dy=前(1-N(-y*) = StertN(d1)2 L-E(L)2 FgP = P(STX)和ESt |St a X均已求出，則該期權(quán)價(jià)值ct =e-r(T-t)EcT =e-

41、r(TJ) P EST | ST X -X= e(TP ESt |St X - P X即為所求，解3.3.3關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)中性 思考畢。解法的進(jìn)一步= e-r(T-t)Ster(T-t)N(d1) -XN(d2)= StN (d1) -Xe(T*N(d2)寫(xiě)出Black-Scholes隨機(jī)微分方程:可以看出2 .Ftc :Ft1 _2 2 0 FtrSt二St -Z"2 = rFtt2StBlack-Scholes微分方程中包含的參數(shù)有 6,二以及時(shí)間變量，但是，反映投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的瞬時(shí)期望收益率卻在推導(dǎo)的過(guò)程中被消掉了。這一點(diǎn)再次說(shuō)明了風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的合理性。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于任何給定的金融資產(chǎn)，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的程度越高，其期望得到的收益就越大。如果該項(xiàng)資產(chǎn) 不能提供足夠高的期望收益率的話，投資者要么望而卻步，要么不將其出售。這樣，資產(chǎn)的價(jià)格又會(huì)有所下降，反過(guò)來(lái)又將提高收益率。資產(chǎn)價(jià)格與收益率之間的如此調(diào)整達(dá)到平衡后， 所對(duì)應(yīng)的收益率即為瞬時(shí)期望收益率N?，F(xiàn)在，既然Black-Scholes 微分方程不包含反映風(fēng)險(xiǎn)偏好的參數(shù)，