第27課數(shù)列求和及綜合問題(提分寶典)

1、第27課數(shù)列求和及綜合問題1.數(shù)列求和的方法a.應(yīng)用公式法求數(shù)列的和(1)(2019全國n, 12分)已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)白等比數(shù)列，ai = 2, a3=2a2+16.(I )求2口的通項公式；(n )設(shè)bn = log2an,求數(shù)列bn的前n項和.答案：(I)an=22n-1 (H)n2解：(I)設(shè)an的公比為q,由 a=2, a3=2a2+16,得 a1q2= 2a1q+16,即 2q2=4q+16,即 q2-2q-8=0,解得 q= 2(舍去)或q = 4,所以數(shù)列an的通項公式為an=2X 4n-1 = 22n-1.(6分)(n)由(I)得 bn= log222n-1 = (2

2、n1)log22=2n1,所以數(shù)列bn的前 n 項和為 1 + 3+-+ (2n-1) =n1 + ( 2n 21) 9=n2(12 分)flKI提分寶典至號點普查一輪救案教師用書內(nèi)母資科請胡夕唯b.應(yīng)用分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的和(2)(經(jīng)典題，13分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a=1, a2=2,且an+2= 3SnSn+1 + 3, nC N*.(I )證明：an + 2 = 3an；(n)求 $.答案：(I)見證明過程2(5(n )Sn= 2 n 3(32解：(I)證明：n 33- 1),n為奇數(shù),1),n為偶數(shù)由 an+2= 3Sn Sn + 1 + 3 ,可得an + 1 = 3Sn

3、-1 Sn+ 3,兩式相減，得 an+2 an+1 = 3an an+1,即 an+2= 3an(n2).(3 分) a1=1, a2= 2, . . a3= 3SiS2+3= 3a1一(a1 + a2)+3= 3 = 3a1, . . an+2 = 3an.(5 分)(n)由(I)知，anW0, .即工=3,于是數(shù)列a2n1是首項a1=1,公比為3的等比數(shù)列， an數(shù)列a2n是首項a2= 2,公比為3的等比數(shù)列，a2n-1 = 3n-1, a2n = 2X3n-1, (8分)于是 S2n=a1 + a2+ a2n = (a1+a3+ a2n-1)+(a2+a4+ a2n) = (1 + 3+

4、9+，(11 分)n1n1n1 3 (3nT)3n-1)+2(1 + 3+9+- + 3n-1)=3(1 + 3+9+ 3n-1)=2一從而 S2n 1 = S2n a2n=2 2 X 3n-1 = 2(5 X 3n-2- 1).綜上所述，3一(5 3 21),n為奇數(shù)，Sn= 2 3 n 3(32 1),n為偶數(shù).2(13 分)b2 = 2a2(3)(2019天津，14分)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.已知ai=4, bi=6, 2, b3= 2a3+ 4.(I )求 an和bn的通項公式；1, 2kn0, q=2,bn=2n.(3 分)由 b3 = a4 2ai,可得(ai + 3d)

5、 2ai = 8.,一 iixi0,一由 Sii=iib4,可得 iiai + 2d=iix24,即 ai+5d=i6.ai i,聯(lián)立，解得由此可得an=3n2.d= 3,綜上可知，數(shù)列an的通項公式為an=3n 2,數(shù)列bn的通項公式為bn=2n.(6分)(n)設(shè)數(shù)列a2nb2n-1的前n項和為Tn.(7分)由 a2n = 6n 2, b2n-1 = 2x 4n,得 a2nb2n-1= (3n i) x 4n, .Tn= 2 X 4 + 5 X 42 + 8 X 43+ (3n-1)X4n, .4Tn=2X 42+5X 43+ 8X 44+ + (3n 4) X 4n+(3n 1)X 4n+

6、1,，得-3Tn=2X 4+ 3X 42+ 3X43+ 3X 4n(3n 1) X 4n+1=122 時，Sn i = (n- 1)an+ (n- 1) n,兩式相減可得 Sn Sn i = nan+1 (n 1)an+n(n+ 1) (n 1) n(n2),可得 an = nan+1 (n 1)an+ 2n(n2), 即 nan+inan= 2n(n2),即 an+i an= 2(n2).(2 分)當(dāng)n=1時，ai = Si = a2+2,也滿足上式，所以數(shù)列an為公差為一2的等差數(shù)列.(3分)在等比數(shù)列bn中，b2= bib3.因為bi= a2, b2=a5, b3 = a6, 所以 a5

7、=a2a6,即有(ai8)2= (ai 2)(ai10),解得 ai=11,則 an= 11 2(n1)= 132n.(5 分)由 bi = a2=9, b2=a5 = 3,可得公比 q =；3 .1c所以 bn= - n-3.(6 分)3（n）由（I ）知 cn=anbn=（132n） 3 n-3, ，、，一1所以刖n項和Tn= 11 x鼻3c1,1 2+ 9X 3 1+ + （13-2n） 3 n-3, . 11 ,1所以 3Tn= 11X 3 -1 + 9X 30+ （13-2n）n 2, （8 分）兩式相減,2_得-Tn=11X3122 3 -1+ +n-3-（13-2n） 1 n 2

8、=99-2313 1-聲r1 -1 31-（13-2n） 3n 2,化簡可得1Tn=135+（n5） 3n-3.（12 分）d.應(yīng)用裂項相消法求數(shù)列的和(6)(經(jīng)典題，12分)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且(I )求數(shù)列an的通項公式；ai + a4 = 9, a2a3 =8.an+1，(n )設(shè)&為數(shù)列an的前n項和，bn=不丁，求數(shù)列SnSn+ 1bn的前n項和Tn.1答案：（I ）an=2n-1（n）Tn=1 2F解：（I）由題設(shè)知a1a4= a2a3= 8，又ai + a4=9,a1 = 1,a1 = 8,聯(lián)立，解得或a4= 8a4 = 1.:數(shù)歹U an是遞增的等比數(shù)列,ai= 1

9、a4= 8.（2分）設(shè)數(shù)列an的公比為q.由 a4= a1q3得 q3= 8,解得 q=2, an= a1qn-1= 2n-1.（4 分）(n)由(I )知，Sn =a1（1 qn）_1-2n_2n_1.12（6分）bn =an+ 13 + 1 Sn11 .SnSn+ 1SnSn+1SiSn+1（8分）-Tn=b1+b2+b3+- + bn= c1 1S2S3+ - - + -S3 s4SnSn+1一S1Sn+112分)已知正項數(shù)列an的前n項和S滿足2Sn+ 1(7)(2019江西撫州臨川一中考前模擬, =2an + an.(I )求數(shù)列an的通項公式；:提分寶典至考點普查一輪救案教師用書內(nèi)

10、部資料請如外崎（陰求+圭+ Sn的值.答案:(I )an =n+ 12:提分寶典全考點普查一輪救案教師用書內(nèi)部資料請勿外傳in+ 3解：(I)由正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足2Sn+1= 2a2+an,可得 2Si + 1 = 2ai + 1 = 2a 1+1d d =3_2 2 n+1 n+24 2 (n+1) ( n + 2) + ai,解得 ai=1.(1 分)由 2Sn+ 1 = 2a2 + an,可知當(dāng) n 2 時，2Sn1 + 1 = 2a2 1 + an 1,相減可得 2an = 2a2 + an 2a2 1 an 1(n2),即 an + an 1 = 2(an+ an 1)(

11、an an 1) (n2),由an0,可得anan1= 2（常數(shù)），所以數(shù)列an為等差數(shù)列，且an = 1 + （n1）=笥.（5 分）, /口 1 n +1 n (n+ 3)(n)由(I )得 Sn = 2n 1+=二74 1所以E=Si4n (n + 3)4 1 _ 13 n-n+ 3(8分)所以2+1+1S1 S2 s3Sn411 11 11 1= 304+25+36 + 47+1 _ 1+ 1 _ 1 +1_ 1n 2 n+1 n1 n+2 n n+3)41 J 1113 1 + 2+3-n+11n+21n+322411111八9 3 n+1 + n+2+n+3 .(12 分)(8)(

12、2018一 ，4,4 1南昌三模，5分）若數(shù)列an的通項公式為 an = 2n+1,令 加=.十二+an則數(shù)列 bn的前n項和為（）n+ 1A.2 （n+2）2n+3B 二一 4 2 (n+1) (n+2)n 1C.2 (n + 2)2n+ 3D. (n+1) (n+2)答案：B解析：（法一）由等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列 為2的等差數(shù)列， an是首項為3 ,公差 a1+ a2+an =n (3+ 2n+ 1)= n(n + 2),111111n 2 n+n1 n+1+n n + 2) bn=n (n + 2) =2 n-n+2 故數(shù)列bn的前n項和Tn = 1(1 _1+1_

13、1 +23 2 4 3 5(法二)由法一知，數(shù)列bn的前n項和Tn=1(1 1+1 1+11+ 1+-+ . y1 + y2=產(chǎn)21n+ 23 2n+ 34 2 (n+1) ( n+ 2)23 2 4 3 5 n 2 n n 1 n+1 n.1 1 1111.11(3+ 4+ 5+ 中 +Q )=2 1 + 2-nT1e.應(yīng)用倒序相加法求數(shù)列的和1(9)(經(jīng)典題，12 分)已知 f(x) = 4x(xCR),Pi（xi, y1）, P2（X2, y2）是函數(shù) y = f（x）的圖像上1的兩點，且線段 P1P2的中點P的橫坐標(biāo)是2.（I ）求證：點P的縱坐標(biāo)是定值;（n ）若數(shù)列an的通項公式是

14、an = f m （m eN*, n=1, 2, 3,，m),求數(shù)列an的前 m項和Sm.答案：（I）見證明過程（n）Sm=3m齊解：（I ）證明:.PiP2的中點P的橫坐標(biāo)為12,X1 +X212 21 Pi(xi , y)11- X1+ X2= 1.P2（X2, y2）是函數(shù)y= f（x）的圖像上的兩點,.y1=y2=,(3 分)4_(4X1X14X1 X22 4X22)(44X1X24X24X12(42(44X2X1X12石44X2) 444X14X2 44X2) 42(4X14X24)，點P的縱坐標(biāo)為?=1.，點P的縱坐標(biāo)是定值.（6分）(n )Sm= a+a2+a3+ + am3一

15、十+ mm 1.丁 +f(1).令S= f3 + f m倒序得S=fm 1mm-3 r+ f m,提分寶典金雪點普查一輪救案-教師用書)內(nèi)部資料請期外傳+，得f m 1 m+ f - mf m 23 f m 3m1m +fm+ m + + f m1 八 m .(9 分)k m k. m+=1(k=12, 3, m1),k，由知f -+fm- k 1 八 丁 =2.(10 分)“i-2s=2(mi),11 S= JmT).又 f(1)=1, 4+ 2 611 3m 1 八-Sm=S+ 甲)=4舊1) + 6=-(12分)f.應(yīng)用并項求和法求數(shù)列的和(10)(2019河南模擬，12分)已知Sn是等

16、差數(shù)列an的前n項和，公差d = -2,且a1，a3, a4成等比數(shù)列.(I )求2門的通項公式；(n)設(shè)Tn為數(shù)列( 1)nan的前n項和，求Tn.答案：(I )an=10-2n-n, n為偶數(shù),(n ) Tn =n-9, n為奇數(shù)解：(I )因為a1，a3, a4成等比數(shù)列，所以 a2=a1a4.(2 分)又因為數(shù)列an為等差數(shù)列，所以(a1+2d)2=a1(a1+3d).代入d=2,解得a1 = 8,所以 an=8-2(n-1)= 10-2n.(5分)(n )Tn= a1+a2a3+a4+ ( 1)nan,當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2k(kC N*),記 Ck= (- 1)2k-1a2k-1

17、+ ( 1)2ka2k,則 Ck= 一 a2k-1 + a2k= 2, 所以 Tn= T2k= C1 + C2 + + Ck= - 2k= 一 n; (8 分)當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè) n= 2k-1(k N*),則 Tn=T2k-a2k=- 2k(10 4k)=2k10=n 9.(11 分)-n, n為偶數(shù)，綜上，Tn =(12分)n-9, n為奇數(shù).)2.證明數(shù)列不等式a.作差法(11)(2018廈門模擬，12分)已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足 Sn-2an= n- 4.(I )證明：Snn+2為等比數(shù)列；(n )設(shè)數(shù)列Sn的前n項和為Tn,比較Tn與2n+25n的大小.答案：(I)見證明過

18、程(n)Tn2n+25n解：(I )證明：當(dāng) n=1 時，有 S 2a1=14,即 ai 2a1 = 14,，ai = 3,，S 1 + 2 =4.(1 分)當(dāng) n2 時，原式轉(zhuǎn)化為 Sn-2(Sn-Sn 1)=n-4,即 Sn= 2Sn-1 n+4,Snn+2= 2Sn 1-(n-1)+2.(3 分)又 S 1 + 2= 4,Sn n+2w0,Sn n + 2 今-=2 ,Sn-1 一( n- 1) +2數(shù)列Snn+2是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.(5分)(陰由(1)知，數(shù)列Snn+2是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，Sn-n+2=4X2n-14 (1 2n)= 2n+1,Sn= 2n+1+

19、n-2,Tn= (22+ 23+-+ 2n+1)+(1 + 2+ + n)-2n=- 十1 2n-fll- 2n = 2n+2+n-n_2n-4, (8 分)en+9 n (n + 1)n+9(n+8)(n1) .Tn-(2n+2-5n)=2n+2+ 2 )-2n-4-(2n+2-5n) =2.(10 分)(n+8) (n 1) n1,0,即 Tn2n+2- 5n,當(dāng)且僅當(dāng) n=1 時取等號.(12 分)b.先求和再放縮(12)(2019天津模擬，是等差數(shù)列.若a1 = 1, 2 a313分)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，公比大于0,前n項和為Sn, bn1 一=一+4, a3 = a21b4b61

20、 a4=.b5 + 2b7(I )求數(shù)列 an , bn的通項公式 (11)設(shè)$口的前n項和為Tn.(i )求 Tn；an, bn；(ii)證明:i= 1(Ti+1 bi+1)bi + 3Ibi+1 bi+2,10),由 a1 = 2,a3= +4,得7=工+4,a2aq2a1q一,1所以an= 2n.(2分)因為設(shè)等差數(shù)列bn的公差為da3=b4+b6=8 a4=b5+2b7=16所以所以2b1+8d=8, 3b1+16d=16,解得 b1=0, d= 1, bn = n 1.(4 分)112 1-2n （n）（ i）由（i）得 Sn=1=11 -2n= 1 an, （6 分）所以Sn的前n

21、項和Tn=n Sn=n-1 -2n = n- 1 +盤.（8 分）（ii）證明:一 ,（Ti + 1 bi + 1） bi + 3因為：一Zbi + 1 bi + 21.i + 2-i （i + 2）11E1卞2一（i+1）-i7 1, （11 分）所以n （ Ti + 1 bi+1） bi + 3bi + 1 bi + 2i= 1+工，1=11 X 2 2X222X 223X 23n - n （n+1） - n 1 21 211 八一（n+1）山 2).(I )求數(shù)列an的通項公式；1111 3(H)證明：當(dāng)B2時，a；+春+蔡+而2),得 SnSn1 =代 + 強乙(n 2),即(茁+乖-

22、1)(VSn-VS二-1)=0(n2).(2 分)因為數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以 /Sn .Sn1 = 1( n 2),所以數(shù)列花是以版=歷=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以ySn=1 + (n1)X1=n,即 Sn= n2.(4 分)當(dāng) n2 時，an = Sn一Sn1 = n2(n1)2= 2n1;當(dāng)n=1時，a1=1也滿足上式，所以數(shù)列an的通項公式為an=2n1.(6分)11111111,(n)證明：當(dāng) 22 時，no；=n (2n1) n (2n-2) =2 n (n1) =2 行 一n，(9 廿11111111,11313 /v所以春+募+高1 + 2 12+23+ - 7 =

23、2一刀2時，*1+去2,bn= 2n 1(n)見證明過程解：(I )由 an+i = Sn+n,得 an=Sn-i+ (n 1)(n2),兩式相減，得 an+1 an = SnSn-i+1=an+1(n2),所以 an+1=2an+1(n2),所以 an+1 + 1 = 2(an+1)(n2).因為 a1 = 2, an+1 = Sn+n,所以 a2=a+1=3,所以 a2+1 = 4,所以數(shù)列an+1從第2項起是公比為2的等比數(shù)列，所以an+1 = 2n-2(a2+1)=2n,所以an=2n-1(n2).、2, n = 1,又a1 = 2,不符合上式，所以 an=(3分)2n1, n2.因為

24、數(shù)列bn為等差數(shù)列，所以它的前三項和丁3= b+b2+b3= 3b2= 9,所以b2= 3.設(shè)正項等差數(shù)列bn的公差為d(d0),則 b1 = 3d, b3=3+d.由于 a1 = 2, a2 = 3, a3=7,所以 a1 + b1=5 d, a2+b2=6, a3+b3 = 10+d.因為a1 + b1, a2+b2, a3+b3成等比數(shù)列,所以(5 d)(10 + d)=36,即 d2+5d-14=0,解得 d=2 或 d= 7(舍),所以b1 = 1,所以 bn=b1+ (n- 1)d = 1+ 2(n 1)=2n 1.(6 分)， ，一，1111111(n)證月：當(dāng) n2 時，因為語

25、=(2n1) 2 (2n1) 21 = 4n (n-1) =4 n 1-n，1.1111.11(2n-1) 231一2 + 23 + n-Tn(9分)所以 *+ + =*+*+, +b2b2bn 12 32,1115,、= 1+41一n 0且qw1.X1+ X1q = 3, 由題意得 2X1q2X1q = 2,3q2-5q-2=0,解得 q= 2 或1(舍去).3X1 = 1 ,數(shù)列Xn的通項公式為Xn = 2n-1.(4分)(II)過P1,P2,P3,，Pn + 1向X軸作垂線，垂足分別為Q1,Q2,Q3,，Qn+1,由(I )得 Xn + 1 Xn=2n2nT = 2n-1.(5 分)記梯

26、形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn,由題意知，(n+ n +1)_cbn=2X2n-1=(2n+1)X2n-2, (7 分).Tn= b1 + b2+b3+ bn= 3X2-1 +5X20+ 7X21+ + (2n1)X 2n-3+(2n+1)X2n-2,，2Tn=3X 20+5X 21 + 7X 22+ + (2n1) X 2n-2+(2n+1) X 2n-1,，得-Tn= 3X 2-1 + (2+ 22+23+ 2n-1)-(2n+1)X2n-1=| + 2(1 1)_(2n+1)X2n-1, (10 分)2 I 2(2n 1) x 2n+ 1Tn=5.(12 分)23 .(2019浙

27、江金華永康模擬，12分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知ai=1, an+i = ,Sn.3(I )求數(shù)列an的通項公式；S1+ 1()若數(shù)歹| bn滿足bn= (S4、 j ，求bn的前n項和Tn.I Si 十 1 )( Sn + 1 十 1 )1,n 1,答案：(I ) an=1n 12 - ,n 231 11(n )Tn=2 2. 3n+ 12斛：(I )因為 an+ 1 = 一 Sn= Sn + 1 Sn,3所以 Sn + 1 = ZSn.3又S1 = a1=1,所以數(shù)列Sn是首項為1,公比為1的等比數(shù)列，所以Sn= 1廠1.(3分) 33因為 an=Sn-Sn 1(n2),1 1c

28、1所以 an= 3n - 3 n 2=-2 3 n 1(n2).因為a1 = 1,不滿足上式，1,n 1,所以an=1 n 1(6分)2 -, n 2.31(n)因為 Sn= 3 n1， 3所以 bn= (S3( q I 1 X(Si + 1 ) ( Sn+ 1 + 1 )3 n 111332_1 11_ 1=(3n-1+1) (3n+1) = 2 3n+ 1-3n+ 1 ?所以數(shù)列bn的前n項和1 1_1 1_1_ 1Tn=2 24+410+ 3n-1+ 1 -3n+ 11 1_ 12 2-3n 1.(12 分)4.（2018衡水中學(xué)三模，14分）已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項和為Sn,

29、且S1, S2, S4成等比數(shù)列.（I ）求數(shù)列an的通項公式；(II)令 bn = (T)nT4n,求數(shù)歹U bn的前n項和Tn.anan+1答案：（I)an= 2n 12n+ 2%大將2 n為可數(shù)(n )Tn =2nn為偶數(shù)或 Tn = 2n+1：1)n12n+ 1解：（I) S1 = a1, S2=2a1 +2X 14X3x 2=2a1+2, S4=4a1 + X 2=4ai+ 12.(2 分),提分寶典至號點普查一輪救案教師用書內(nèi)部資料請期外傳又S, S2, &成等比數(shù)列， . (2a + 2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1, (4 分)1- an= 2n- 1.(5 分)(

30、n)由題意可知bn=(-1)n-14n= (_ 尸一1anan+14n(2n 1) ( 2n+ 1)=(T產(chǎn)2n- 1 + 2n+ 1 .(8分)為偶數(shù)時,Tn =2n-3+ 2n-12n 1 + 2n+ 12n2n+ 1 2n+ 1；(11分）當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn =2n- 3+ 2n- 12n 1+ 2n+ 1 -1 +1 2n+ 22n+ 1 2n+ 12n+24大.-7,n為奇數(shù),2n+ 1 Tn =2n ,4n7, n為偶數(shù)2n+ 12n 1 +或Tn =(1)2n + 1n 一1一(14 分)，一 ，、一，4x5.（經(jīng)典題，5分）已知函數(shù)f（x） = /2，右 an= fn11貝U

31、a1+a2+a3+ a10 =答案：5解析：f(x)+f(1-x) =4x41 xx 1/ x4 - 4+ 2 4xh+4x(4Lx+2)4x44x+24x+ 2+4+2 %= 4x+21.設(shè) Sw = a1+a2+a3+ a0, 則 S0= a0+a9+a8+ a1，,10+再+力-3 工 /He_1兩式相加，得 2s10= (a1+a10)+ (a2+a9) +(a3+a8) + (a0+a)= f11f+fl+U+f：8 + f10 +f =10, 111111111111所以 a1 + a2+a3+ aio=Sio=5.6 .(2018江西八校聯(lián)考，5分)在數(shù)列an中，已知ai=1,

32、an+i+( 1)nan= cos(n+1) q記 Sn為數(shù)列an的前n項和，則S2019=.答案：1008斛析：, an+1 + ( 1)nan = COS(n +1)后(1)n，當(dāng) n= 2k 時，a2k+1+ a2k= - 1, k N*, 1- S2o19= a1+ (a2+ a3)+ + (a2018 + 22019) = 1 + ( 1)X 1009= 1008.7 .(2019福建三明模擬，12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且a = 2, an+1 = Sn+2.8 I )求數(shù)列an的前n項和Sn；一 111(n )設(shè)bn = lOg2(S3n+ 2),數(shù)列 加加1的前n項和

33、為Tn,求證：,WdTn、答案：(I)Sn=2n+1 2 (n)見證明過程解：(I )由 an+1 = Sn+2,得 Sn+1-Sn= Sn+ 2,即 Sn + 1 = 2Sn+ 2,即 Sn + 1 + 2= 2(Sn + 2).因為S + 2 = a1+2=4,所以Sn+2為等比數(shù)列，首項為4,公比為2,所以Sn+2=2n-1X4 = 2n+1,所以 Sn=2n+1 2.(6 分)(n)證明：由(I )知 bn=log2(S3n+2)=log223n+1 = 3n+ 1,11111,所以=-:-=二 t , (8 分)bnbn+1(3n+ 1) ( 3n+ 4)3 3n+ 1 3n+ 4-

34、.1 ，一 一所以數(shù)列，丁的前n項和bnbn+ 11111211Tn=3 4-7+7而+ 3ni1 113 4 3n+ 4 .1 1由3nq740，可得小T1 = r,所以:1w 4Tn1.(12 3 * 3n I 42873分）8 .（經(jīng)典題，12分）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a1 = 1,=an+1 n2n nC N*. n33（I）求a2的值；（n ）求數(shù)列an的通項公式；（m）證明：對一切正整數(shù) n,有；1 + !；+ $2)兩式相減)付 2an=nan+i (n一 1)an-3(3n2 3n +1) (2n 1) 3,整理得(n+ 1)an= nan+1 - n(n+ 1),即

35、:；ann= 1, n 2.(5 分)又稱ar= 1,，a三包=1, 數(shù)列an是首項為3=1,公差為1的等差數(shù)列，an= 21n+1nn1n1 + (n-1)X1 = n, . an = n2.(7 分)(m)證明：當(dāng)n3時，工+工+工+工=1+；+3+ +:+:+1 J，a1 a2 a3an 4 32 42n24 2X 3 3X 4+ + 1= 1+j+ ； J + ；-J +-+ (-1) = 5+-1- = 7-17.(10 )n (n1)42 33 4n1 n，4 2n 4 n 4 當(dāng)n= 1, 2時，也成立.，對一切正整數(shù) n,有,+,+10),b1q=a+2d,3q=3+2d,依題

36、意得_IP .b1q2=4 (a+d) +3,3q2= 15+ 4d,d = 3, 解得 (3分)q = 3，所以 an = 3+ 3(n- 1)= 3n, bn= 3 x 3n-1= 3n,故數(shù)列 an的通項公式為 an=3n,數(shù)列bn 的通項公式為bn = 3n.(5分)(n )a1c1 + a2c2 + + a2nC2n= (a1 + a3+ a5+ a2n-1) + (a2b+ a4b2 + a6b3+ a2nbn)= nx3+n(丁)x 6 + (6X31+ 12X32+ 18X 33+ + 6nx 3n)=3n2 +6(1X31 + 2X 32+ + nx 3n).(8 分)設(shè) T

37、n= 1 X 31 + 2X 32+ nX3n,則 3Tn= 1X32 + 2X33+-+ nX3n+1,一得 2Tn = 3 32 33 3n + nx3n+1 3f| +nx3n+1 =(2n1) 3n+1+32(11 分)所以 a1C1 + a2c2 + + a2nC2n = 3n2 + 6Tn3n2 + 3X(2n1) 3n+1 + 32(2n1) 3n+2+6n2+9(nC N*).(13 分)提分寶典全考點普查一輪救案披師用書)內(nèi)部資料請勿3. (2018天津，13分)設(shè)an是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項和為Sn(nCN*), bn是等差數(shù)列.已知 a=1, a3 = a2+2, a4= b3+b5, a5=b4 + 2b6.(I )求 an和bn的通項公式；(n )設(shè)數(shù)列Sn的前n項和為Tn(n C N*),2n+ 2n+ 22(n N*).(i )求 Tn；.n (Tk+ bk + 2)bk(11)證明 (k+