高等數(shù)學不定積分概念與基本積分公式

1、第八章 不定積分1 不定積分概念與基本積分公式一 原函數(shù)與不定積分1 原函數(shù)定義1 設函數(shù)與在區(qū)間上有定義若 ， ，則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)如：是在R上的一個原函數(shù)；， ，等都有是在R上的原函數(shù)若函數(shù)存在原函數(shù)，則其原函數(shù)不是唯一的問題1 在什么條件下必存在原函數(shù)？若存在，其個數(shù)是否唯一；又若不唯一，則有多少個？問題2 若函數(shù)的原函數(shù)存在，如何將它求出？（這是本章的重點內(nèi)容）2 原函數(shù)存在定理定理81 若在區(qū)間上連續(xù)，則在上存在原函數(shù)證明：在第九章中進行說明：（1）由于初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，故初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必存在原函數(shù)（但其原函數(shù)不一定仍是初等函數(shù)）（2）連續(xù)是存在原函數(shù)的充

2、分條件，并非必要條件3 原函數(shù)之間關系定理82 設是在在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則（1）設是在在區(qū)間上的原函數(shù)，其中C為任意常量（若存在原函數(shù)，則其個數(shù)必為無窮多個）（2）在上的任何兩個原函數(shù)之間，只可能相差上個常數(shù)（揭示了原函數(shù)間的關系）證明：由定義即可得4 不定積分定義2 函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)的全體稱為在上的不定積分，記作：其中積分號；被積函數(shù)； 被積表達式；積分變量注1 是一個整體記號；不定積分與原函數(shù)是總體與個體的關系，即若是的一個原函數(shù)，則的不定積分是一個函數(shù)族，其中是任意常數(shù)，于是，記為：=此時稱為積分常數(shù)，它可取任意實數(shù)故有不定積分簡單性質(zhì) 先積后導正好還原；或 先導后積還原后需加上

3、一個常數(shù)（不能完全還原）或 如： ， 幾何意義： 若是的一個原函數(shù)，則稱的圖象為的一條積分曲線于是，的不定積分在幾何上表示的某一條積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一載積分曲線組成的曲線族，如左圖結(jié)論：若在每一條積分曲線上橫坐標相同的點處作切線，則這些切線互相平行注： 在求原函數(shù)的具體問題中，往往是先求出全體原函數(shù)，然后從中確定一個滿足條件 （稱之為初始條件，一般由具體問題確定）的原函數(shù)，它就是積分曲線族中通過點的那條積分曲線如：見P179.二 基本積分公式1基本積分表由于不定積分的定義不象導數(shù)定義那樣具有構造性，這就使得求原函數(shù)的問題要比求導數(shù)難得多，因此，我們只能先按照微分法的已知結(jié)果去試探首先，我們把基本導數(shù)公式改寫成基本積分公式：1.；2.；3.，；4.，；5.；6.， ；7.，；8.，；9.；10.；11.；12.；13.；14.注意：上述基本積分公式一定要牢記，因為其它函數(shù)的不定積分經(jīng)運算變形后，最終歸結(jié)為這些基本不定積分另外，還須借助一些積分法則才能求出更多函數(shù)的不定積分2 線性運算法則定理8.3 若函數(shù)與在區(qū)間上都存在原函數(shù)， 為兩個任意常數(shù)，則 也存在原函數(shù)，且 （積分的線性）證明：由