高一數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)向量

1、 高一年級(jí)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)研究學(xué)習(xí)主題：平面向量在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用適用年級(jí)：高一全級(jí)教 師：郝 斌目 錄課題研究背景1研究目標(biāo)1研究方法2研究成果。（小論文）21 平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)21.1向量的幾何表示21.2平面向量的坐標(biāo)表示31.3向量的運(yùn)算3加法運(yùn)算3減法運(yùn)算4數(shù)乘運(yùn)算4坐標(biāo)運(yùn)算4向量的數(shù)量積51.4平面向量的基本定理52 平面向量應(yīng)用舉例62.1平面向量在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用6平面向量在三角公式中的應(yīng)用6向量法在平行問(wèn)題中的應(yīng)用72.2 應(yīng)用向量法解決一些解析幾何問(wèn)題10求體積10求點(diǎn)的坐標(biāo)10求直線的方程11平面向量在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用指導(dǎo)老師：郝斌課題組長(zhǎng)：王強(qiáng)小組成員：高一全體同學(xué)班級(jí)

2、：高一（1）、（3）、（4）、（7）班課題研究背景在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量在前，學(xué)習(xí)解析幾何在后，而且教材中二者知識(shí)整合的不多，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題，不會(huì)應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問(wèn)題。用向量法解決解析幾何問(wèn)題思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)潔，有意想不到的神奇效果。著名教育家布魯納說(shuō)過(guò)：學(xué)習(xí)的最好刺激是對(duì)所學(xué)材料的興趣，簡(jiǎn)單的重復(fù)將會(huì)引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退。這充分揭示方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕負(fù)擔(dān)。平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個(gè)亮點(diǎn)。 向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具

3、有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問(wèn)題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜，不妨運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會(huì)大大簡(jiǎn)化過(guò)程。研究目標(biāo)通過(guò)研究性學(xué)習(xí)來(lái)了解向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用和地位，知道向量這種新的方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，以及學(xué)習(xí)這種方法來(lái)更方便簡(jiǎn)潔的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更容易的掌握學(xué)習(xí)技巧和方法。研究方法1、 查閱資料。通過(guò)查閱資料來(lái)了解平面向量的用途及向量方法，學(xué)習(xí)這種數(shù)學(xué)思想。2、 自主探討。分組討論來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)這種思想方法。3、

4、老師引導(dǎo)。通過(guò)老師的引導(dǎo)通過(guò)向量的方法解決一些較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 研究成果。（小論文）1 平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)1.1向量的幾何表示具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作AB。（AB是印刷體，也就是粗體字母，書(shū)寫(xiě)體是上面加個(gè)）有向線段AB的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作|AB|。有向線段包含3個(gè)因素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。相等向量、平行向量、共線向量、零向量、單位向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。兩個(gè)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，記作a/b，零向量與任意向量平行，即0/a，在向量中共線向量就是平行向量，（這和直線不同，直線共線就是同一條直線了，而向量共線就

5、是指兩條是平行向量） 長(zhǎng)度等于0的向量叫做零向量，記作0。零向量的方向是任意的；且零向量與任何向量都垂直。長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。 1.2平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底。任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj我們把（x，y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示。1.3向量的運(yùn)算1.3.1加法運(yùn)算向量加法的定義已知向量a、b，在平面上任

6、意取一點(diǎn)A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，則向量AC叫做a與b的和，記做a+b，即a+b=AB+BC=ACABBCAC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。（首尾相連，連接首尾，指向終點(diǎn)）已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對(duì)于零向量和任意向量a，有：0aa0a。|ab|a|b|。向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。1.3.2減法運(yùn)算AB-AC=CB,這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則。（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量） 與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向

7、量，叫做a的相反向量，(a)a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a(a)(a)a0（2）aba(b)。1.3.3數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a，|a|a|，當(dāng) > 0時(shí)，a的方向和a的方向相同，當(dāng) < 0時(shí)，a的方向和a的方向相反，當(dāng) = 0時(shí)，a = 0。設(shè)、是實(shí)數(shù)，那么：（1）()a = (a)（2）( + )a = a + a（3）(a ± b) = a ± b（4）()a =(a) = (a)。向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。1.3.4坐標(biāo)運(yùn)算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（

8、x1i+y1j）+（x2i+y2j）=(x1+x2)i+(y1+y2)j即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。這就是說(shuō)，兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。由此可以得到：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)上面的結(jié)論又可得若a=(x,y),則a=(x,y)這就是說(shuō)，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。 1.3.5向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作ab，是a與b的夾角，|a|cos （|b|cos ）叫做向量a在b方向上（b

9、在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積。兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)a·a=a20(2)a·b=b·a(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a·(b+c)=a·b+a·c(5)a·b=0<=>ab（6）a=kb<=>a/b（7）e1·e2=|e1|e2|cos=co

10、s 1.4平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a= *e1 *e2,(+=1）。2 平面向量應(yīng)用舉例2.1平面向量在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用2.1.1平面向量在三角公式中的應(yīng)用 （1)正弦定理的向量法證明在任意ABC中，a,b,c分別為A ，B，C對(duì)邊，則 證明：如圖1所示，作CDAB于D ， 因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系纳溆岸际?，?bsinA，=bsinA，所以有，利有同樣的方法，分別作BC，CA的垂線，可以得到， 。即可以等到。 （2）余弦定理的向量法證明在任意ABC中，a,b,c分別為A ，B，C對(duì)邊，則a2=b2+c2-2bc

11、cosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。在證明這個(gè)定理這前先給出一個(gè)記號(hào)：向量在向量上的射影記為：。證明：在ABC中，由向量的射影定理等到： ；所以有:地 (1)同理要證得： (2) (3)再由：(1)×a-(2)×b-(3)×c得到：a2=b2+c2-2bccosA同理可以得到；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。上述向量法證明正（余）弦定理，不必區(qū)分銳角、鈍角、直角三角形，從而大大簡(jiǎn)化了證明過(guò)程， 2.1.2向量法在平行問(wèn)題中的應(yīng)用例1：兩個(gè)向量，共線的充要條件是。證明： (必要性)當(dāng)，共線

12、時(shí)(包括或?yàn)榱阆蛄康那樾?，則，=00或1800，由公式|×|=|sin，得到：|×|=0,從而。 (充分性)當(dāng)時(shí)，那么由|×|=|sin，知：=或=或，因?yàn)榱阆蛄靠梢钥闯膳c任何向量共線，所以總有。例2：向量，分別是直線l1,l2的方向向量，判斷直線l1,l2的位置關(guān)系。不妨設(shè)：=(1，-1，3)；=(4，-4，12)解：因?yàn)?(4，-4，12)=4(1，一1，3)=4，所以，即l1l2。例3：用向量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下兩底邊且等于它們長(zhǎng)度和的一半。證明：如圖，在梯形ABCD中,連接BD并取BDAB的中點(diǎn)為O，連結(jié)EO、FO,= ， = ，OEF，E

13、OAD、OFBC、BCAD EOOF，即O、E、F共線，又 ，所以有DC 2.2向量法在垂直問(wèn)題中的應(yīng)用1)：向量 =( ，)； =( ，)相互垂直的充要條件是。證明：(必要性)當(dāng)向量，有一個(gè)為零向量時(shí)，結(jié)論顯然成立。下面證明，都不為零向量時(shí)，結(jié)論成立。向量，相互垂直，則=900，根據(jù)= ，得到 。(充分性)因?yàn)?。則，得900，即可以得到相互垂直。A2)平行四邊形成為菱形的充要條件是對(duì)角線互相垂直。BODC證明：因?yàn)?，、即ACDB。 ACDB即、則為菱形。3) 勾股定理的向量法證明如圖，在Rt，證明：。C證明：在Rt中，對(duì)上述等式兩邊平方得：。由解析幾何（1）中兩個(gè)向量數(shù)量積的定義得到：BA因?yàn)?，所以，即，即結(jié)論成立。 向量法是借助向量的幾何意義，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，通過(guò)向量計(jì)算來(lái)達(dá)到求解的目的，用向量法去解決幾何問(wèn)題，一方面能體現(xiàn)向量的應(yīng)用性，另一方面有助于學(xué)習(xí)者在應(yīng)用中加深對(duì)向量知識(shí)的理解與掌握。2.2 應(yīng)用向量法解決一些解析幾何問(wèn)題 2.2.1求體積 已知四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)、。求它的體積。解：由初等幾何知，四面體ABCD的體積V等于以AB、AC和AD為棱的平行六面體的六分之一，因此，而，故，從而 本題利用混合積的幾何意義來(lái)求四面體的體積，方法簡(jiǎn)捷。 2.2.2求點(diǎn)的坐標(biāo)例：已知的三個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則，因?yàn)锳BCD為平行四邊形，固有，得