二面角大小的幾種求法

1、二面角大小的幾種求法二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉化為其平面角的大小， 從而又化歸為三角形的內角大小， 在其求解過程中，主要是利用平 面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識。求二面角大小的關鍵是，根據(jù)不同問題給出的幾何 背景，恰在此時當選擇方法，作出二面角的平面角，有時亦可直接運用射影面積公式求出二面 角的大小。I. 尋找有棱二面角的平面角的方法（定義法、三垂線法、垂面法、射影面積法）一、定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點（特殊點） ，過該點在 兩個半平面內作垂直于棱的射線， 兩射線所成的角就是二面角的平面角， 這是一種最基

2、本的方 法。要注意用二面角的平面角定義的三個“主要特征”來找出平面角。例空間三條射線 CA CP CB, / PCA=/ PCB=60q / ACB=90q 求p二面角B-PC-A的大小解：過PC上的點D分別作DEL AC于E, DF丄BC于F,連EF./ EDF為二面角 B-PC-A 的平面角，設 CD=a v/ PCAW PCB=600 CE=CF=2a DE=DF=3a，又 v/ ACB=900 二 EF=2,2a ,2 2 2/ EDF=3a3a -8a 12 3a2- 31. 在三棱錐 P-ABC中，n APB= BPC= CPA=600求二面角 A-PB-C的余弦值。2. 如圖，已

3、知二面角 a - a - B 等于 120, PAa, AGa, PB丄 B, Bp，求/ APB 的大小。PA!平面 ABCD PA=AB=a 求二面角 B-PC-D 的DB3. 在四棱錐P-ABCD中, ABCD是正方形,大小。二、三垂線法：已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作 出二面角的平面角。例 在四棱錐 P-ABCD中, ABCD是平行四邊形，PA!平面 ABCD PA=AB=a / ABC=30 , 求二面角P-BC-A的大小。解：如圖，PA!平面BD過A作AhUBC于H,連結PH,貝U PhUBC/ ABC=30，求二面角 P-BC-A的大小6. 如圖

4、，在三棱錐 P-ABC中，PA!平面 ABC PA=AB AC=BC=1 / ACB=900 M是 PB的中點。求證：BCL PC (2)平面MAC與平面ABC所成的二面角的正切B7. ABC中，/ A=90, AB=4 AC=3平面ABC外一點P在平面ABC內的射影是 AB中點M 二面角 P-AC B的大小為45。求(1) 二面角 P-BC-A的大?。?2)二面角 C PB-A 的大小。8. 如圖，已知 ABC中, AB BC S為平面 ABC外卜的一點，SAL平面 ABC AML SB于M ANL SC于N,(1)求證平面SABL平面SBC 求證/ ANM是二面角 A-SC- B的平面角.

5、NM9. 第8題的變式：如上圖，已知 ABC中，AB丄BC? S為平面 ABC外的一點，SU平面 ABC / ACB= 600, SA= AC= a, 求證平面SABL平面SBC(2)求二面角 A- SC- BC的正弦值.10. 如圖,ABCD-A1B1C1D是長方體，側棱 AA1長為1,底面為正方體且邊長為 2, E是棱BC的中點，求面 C1DE與面CDE所成二面角的正切值。OE11. 如圖4,平面。丄平面目，口 Q B =l , A a , B B，點A在直線I上的射影為A1,點B在I的射影為B1，已知AB=2 AA仁1, BB1= 2,求：二面角 A1- AB- B1的大小。因 PB=

6、2 a,BC=a,PC= 3 a,中由余弦定理，得：cos / BHD=2 2 2BH DH -BD2BHLBDNa-2a 2又 OV/ BHDCn，則三、垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線 所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。例 在四棱錐 P-ABCD中，ABCD是正方形，P從平面ABCDPA=AB=a求解：（垂面法）如圖，PAL平面BD BD丄AC=BD丄BC =過BD作平面 BDHL PC于 社 PC! DH BH:/ BHD為二面角B-PC-D的平面角1PB- BC=S PBCPC BH貝U BH=DH 又 BD=2a

7、在 BHD223很棱1的距離分別為4、3、警，求二面角一-Dz BHD=r 二面角B-PC-D的大小是務12. 空間的點P到二面角-1 - -的面:- 的大小.13. 如圖，在三棱錐 S ABC中，SA!底面 ABC AB丄BC DE垂直 平分SC且分別交 AC SC于D E,又SA= AB SB= BC 求二面角 E BD- C的度數(shù)。CiMCII.尋找無棱二面角的平面角的方法（射影面積法、平移或延長（展）線（面）法）四、射影面積法：利用面積射影公式S射=S原cos 其中二為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角。例 在四棱錐 P-ABCD中，ABCD為正方形，P從平面 ABCD PA=

8、 AB= a,求平面 PBA與平面PDC所成二面角的大小。AD _ PA解：（面積法）如圖， AD _ AB = AD _ PBA于A ,PAP! AB = A同時，BC丄平面BPA于 B，故 PBA是 PCD在平面PBA上的射影設平面PBA與平面PDC所成二面角大小為6,S PCD14. 如圖，設 M為正方體 ABCD-A1B1C1D的棱CC1的中點，求平面BMD1與底面ABCD所成的二面角的大小。15.如圖，AC :.,bd - ，a 與 B 所成的角為 600, AC _ I 于 C, BD _ I 于 B, AC= 3, BD =4, CD= 2,求A、B兩點間的距離。16.在四棱錐P

9、-ABCD中, ABCD為正方形, 面PDC所成二面角的大小。PA!平面 ABCD PA= AB= a,求平面 PBA與平五、平移或延長（展）線（面）法：對于一類沒有給出棱的二面角， 應先延伸兩個半平面, 使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例在四棱錐 P-ABCD中, ABCD為正方形，PA!平面 ABCD PA= AB= a,求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。（補形化為定義法）解：（補形化為定義法）如圖，將四棱錐P-ABCD補形得正方體ABCD-PQMN則PQL PA PD于是/ APD是兩面所成二面角的平面角在 Rt PAD中, PA=AD 則/ APD=45

10、。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45六、向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標， 然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。例(2009天津卷理)如圖，在五面體 ABCDEI中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為 EC的中點，AF=AB=BC=FE=AQ2,(1)求異面直線BF與DE所成的角的大小;(II) 證明平面AMD平面CDE(III) 求二面角A-CD-E的余弦值。解：如圖所示，建立空間直角坐標系，以點A為坐標原點

11、。設 AB = 1,依題意得B 1,0,0 ,C 1,，,0,(I )解:BF 二-1,0, , DE= 0,-1,于是 coS：BF,DE；：BF DE 0 0 1BF DE所以異面直線BF與DE所成的角的大小為600.1 ,1,1 , CE 二 一 1,0,1 , AD 二 0,2,0 ,可得 CE *AM 二 0 ,CE *AD 二 0因此,CE _ AM , CE _ AD 又 AM AD 二 A,故 CE _ 平面 AMD .(II )證明：由AM =D 0,2,0 , E 0,1,1 , F 0,0,1 , M | ,1,2 .而CE二平面CDE，所以平面 AMD 平面CDE.u

12、CE = 0, u *DE = 0.又由題設，平面ACD的一個法向量為v= (0,0,1).(III )解：設平面CDE的法向量為u=(x , y , z),則于是*x + z = 0，令x = 1,可得 u= (1,1,1).廠 y + z = 0.18. ( 2008湖北)如圖,在直三棱柱ABC -ABG中,平面ABC_側面A1ABB1.(I) 求證：AB_BC ；(II) 若直線AC與平面ABC所成的角為二，二面角A-BC-A的大小為;：, 試判斷，與的大小關系，并予以證明.分析：由已知條件可知：平面 ABB1 A1丄平面BCC1 B仏平面ABC于是很容易想到以 B點為空 間坐標原點建立

13、坐標系，并將相關線段寫成用坐標表示的向量，先求出二面角的兩個半平 面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。（答案：.a口aca、-arcsin，且,)/ 2 2， . 2 2 / 2 2a cb. a ca c由此可見，二面角的類型和求法可用框圖展現(xiàn)如下:不見棱型嚴定義法 解法f三垂線法-亠垂面法fffi積法分析：所求二面角與底面 ABC所在的位置無關，故不妨利用定義求解。略解：在二面角的棱 PB上任取一點 Q 在半平面 PBA和半平面PBC上作QMPB, QN PB, 則由定義可得 MQN即為二面角的平面角。設 PM=a則在 RtPQM和RXPQN中可求得QM=QN=3a；又由 PQN ： P

14、QM# PN=a,故在正三角形 PMN中 MN=a在三角形 MQf中由余弦定2理得COS. MQN=，即二面角的余弦值為-。33PA 丄 AB PB = PD 因為 AB=AD=a PA _ AD - PB 二 PD， BC 二 DC 二 PBD = PDC。AB=AD=a,PC=PC,過B作BHL PC于H,連結DH DHL PC 故/ BHC為二面角 B-PC-D的平面角因 PB=/2a,BC=a,PC=/3a,丄 PB- BC=S PBCPC BH 則 BH=DH又 BD2a。在 BHD223中由余弦定理，得：cos / BHD=BH2 DH2 -BD22BHLBDa-2a 21，又 0

15、Z BHI 則/BHD=3 二面角B-PC-D的大小是基礎練習1.二面角是指（）A兩個平面相交所組成的圖形B 一個平面繞這個平面內一條直線旋轉所組成的圖形C從一個平面內的一條直線出發(fā)的一個半平面與這個平面所組成的圖形D從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形2. 平面a與平面B、y都相交，則這三個平面可能有（）A 1 條或2條交線B 2條或3條交線C僅2條交線D 1條或2條或3條交線3. 在300的二面角的一個面內有一個點，若它到另一個面的距離是10,則它到棱的距離是（）A 5B 20C10 V2D5丘24 .在直二面角 a -l-中，Rt ABC在平面a內，斜邊BC在棱1上，若AB與面3所成的

16、角為600,則AC與平面（3所成的角為（）A 300B450C 600D 12005. 如圖，射線 BD BA BC兩兩互相垂直，AB=BC=1 BD,2則弧度數(shù)為二的二面角是（）3A. D-AC-B B. A-CD-B C. A-BC-D D. A-BD-C6. ABC在平面a的射影是厶A1B1C1如果 ABC所在平面和平面 a成&角，有（）A. S A1B1C仁血 ABC- si nBB. S A1B1C1= ABC- cos 6 ABC =SA1B1C- cos 6C. S ABC =S A1B1C1- si n6D. S7. 如圖，若P為二面角M-l-N的面N內一點，PB丄l , B為

17、垂足，A為I上一點，且/ PABa,PA與平面M所成角為B,二面角M-I-N的大小為丫，則有（）A sin a =sin B sin 丫B sin B =sin a sin 丫C sin 丫 =sin a sin B D以上都不對8. 在600的二面角的棱上有兩點 A B, AC BD分別是在這個二面角的兩個面內垂直于 AB 的線段，已知：AB=6 AC=3 BD=4 貝U CD=。9. 已知 ABC和平面 a, / A=300, / B=600, AB=2 AB a,且平面ABC與 a所成角為300,則點C到平面a的距離為10. 正方體 ABCA1B1C1D1中，平面 AA1C1C和平面 A1BCD1所成的二面角（銳角）11. 已知菱形的一個內角是 600,邊長為a，沿菱形較短的對角線折成大小為 600的二面 角，則菱形中含600角的兩個頂點間的距離為。12. 如圖， ABC在平面 a內的射影為 ABC1若/ ABC1=6, BC1=a且平面 ABC與平面 a所成的角為,求點C到平面a的距離13 .在二面角a -AB- B的一個平面 a內，有一直線 AC它與棱AB成450角，AC與平面B成300角，求二面角a -AB- B的度數(shù)深化練習14.若二面角內一點到二面角的兩個面的距離分別為a和2a，到棱的距離為2a，貝眥面角的度數(shù)是