圓壓軸八大模型題-弧中點地運用

1、實用標準文檔文案大全圓壓軸題八大模型題(一)瀘州市七中佳德學校易建洪引言：與圓有關的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習題。一般都會在固定習題模型的基礎上變化與括展，本文結合近年來各省市中考題，整理了這些習題的常見的結論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。類型1弧中點的運用在。中，點C是AD的中點，CH AB于點E.(1)在圖1中，你會發(fā)現(xiàn)這些結論嗎？ AP=CP= FP; CH= AD;AC2 = AP - AD=CF- CB= AE AB.(2)在圖2中，你能找出所有與 ABC相似的三

2、角形嗎?【分析】(1)由等弧所對的圓周角相等及同角或等角的余角相等得：/ CAD= Z B=Z ACE / PCF= / PFC 所以 AP= CP= FP一 . 一 C c c(1)由垂徑te理和弧中點的性質(zhì)得，DC= AC= AH,一，C C再由弧疊加得： CH=AD,所以CH= AD.(1)由共邊角相似易證： AC ABQ AC2 ADQ AC。 BCA進而得 AC2 =AEAB; AC2= APAD； AC2= CFCB(2)垂徑定理的推論得：C0LAD,易證：RtA ABC RtAACE RtA CBE Rt ACM RtABDFRtA AC8 RCGF此外還有 RtAAPE RtA

3、 AOG RtA ABDs RtA CPG運用這些相似三角形可以解決相關 的計算與證明題.建議：將下列所有例題與習題轉化到圖1或圖2上觀察、比較、思考和總結?！镜淅?2018 湖南永州)如圖，線段AB為。的直徑，點C, E在。0上， BC=CE, CD± AB,垂足為點D,連接BE,弦BE與線段CD相交于點F.(1)求證：CF= BF;(2)若cos/ ABE=,在AB的延長線上取一點 M,使BM=4,。的半徑為6.求證:5直線CM是。的切線.【分析】（1）延長cd與圓相交，由垂徑定理得到BC=前 再由 菽=窟得到=13=15,等弧所對的角相等，等角對等邊。（2）由垂徑定理的推論得

4、 OC，BE,再由銳角三角函數(shù)得到邊 BH、OH的長度，由對應邊成比例得BE/ CM,由/ MCO=（圖4）/BHO=90°證得結論。證明：（1）延長CD交。O于G,如圖，. CDL AB,，前=窺BC=CE, CE= BG,，/CBE= / GCB,，CF= BF;（2）連接OC交BE于H,如圖，BC= CE,OCX BE,在 RtA OBH 中，cos/ OBH=型=1, OB 5. BH = J_X6 = 9, OH= 7 =邁,55 V 5518OH _ _5_ 3 OB _ 6 _ 3OC-V-75 ON-6+4 "75.而/ HOB= /COM,OC OM.OH

5、BsOCM, ./ OCM=/ OHB= 90° ,OCXCM,直線 CM是。的切線.【點拔】弧中點得到弧等、弦等、圓周角等，進一步引出角平分線、垂徑定理、相似三角形。再 結合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位線定理，垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)定理。 可以組合出綜合性比較強的有關的習題組。抓邊等角等是關鍵，要善于分解圖形?！咀兪竭\用】（圖 1-2）1. （2018 四川宜賓）如圖，AB是半圓的直徑， AC是一條弦，D是AC的中點，DEL AB于點E 且DE交AC于點F, DB交AC于點G,若塔=g,AE 4則”=GB噂)2. (2010 瀘州)如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為B

6、C邊上的一點，且 AE與DE分別 平分/ BAD和/ADC。(1)求證：AE±DE; (2)設以AD為直徑的半圓交 AB于F,連接圖9(圖 1-3)、 一 一，F(xiàn)G 3DF交AE于G,已知 CD= 5, AE= 8,求值。 AF(1) 證明：在 ABCD中，AB / CD, Z BAD+ / ADC= 180 ° . AE 與 DE平分/ BAD 和/ ADC：/ EAD= 1 / BAD, / EDA= 1 / ADC,22：/AED= 180 - (/ EAD+ Z EDA)1 1=180 - ( - Z BAD+ 1 / ADQ2 2 1 ，_ _，=180 - -

7、(Z BAD+ /AD。2 =180 - 90 =90°.-.AE± DE(2)解：在 ABCD中，V AD/ BC：/ EAD= / AEB,且/ BAE= / DAE：/ BAE= / AEB, ： AB= BE, 同理：DC= EC= 5又AB= DC,AB= BE= DC= EC= 5,：BC= AD= 10在RtAED中，由勾股定理可得：DE= . AD2 - AE2 =，102 -82 =6. /BAE= / EAD, Z AFD= Z AED= 90° ： AF8 AAED,AF AE 8 4FG ED 633. (2012 瀘州)如圖， ABC內(nèi)接

8、于。O, AB是。的直徑，C是AD的中點，弦 CHAB(圖 1-4)于點H,連結AD,分別交 CE BC于點P、Q,連結BD。(1)求證：P是線段AQ的中點；15(2)若。的半徑為5, AQ=工,求弦CE的長。(1)證明：: AB是OO的直徑，弦CEXAB, C CCC CAC = AE .又: C 是AD 的中點，AC = CD ,c c 1- AE = CD . . / ACP = / CAP . PA=PC,AB 是直徑./ ACB = 90°. ./PCQ = 90° /ACP, / CQP = 90° / CAP, ./ PCQ=/ CQP. PC =

9、PQ .1 .PA = PQ,即P是AQ的中點;(2)解：AC = CD又ACQ = Z BCA, . CAQs CBA .AC15AQ 萬BC又 ABAB 10 410, AC = 6, BC = 8.根據(jù)直角三角形的面積公式，得：.CH = 24 .又 CH = HE,548CE = 2CH =.54. (2014?瀘州)如圖，四邊形 且 dc2=ce?ca .(1)求證：BC = CD;AC?BC = AB?CH,6X8= 10CH .ABCD內(nèi)接于O O, AB是O O的直徑，AC和BD相交于點 E,(2)分別延長AFLCD 交 CDCD= 2-72,求AB, DC交于點P,過點A作的

10、延長線于點 F,若PB = OB, DF的長.(1)證明：: dc2=ce?ca,DC CACE ./ CDB， CDEA CAD ,DC:/ DAC, 四邊形 ABCD內(nèi)接于O O,1 .BC = CD;(2)解：方法一：如圖，連接 OC,. BC = CD,d / DAC / CAB/ CAB,又 AO = CO,/ ACO ,DAC = / ACO ,2 .AD / OC,PC POPD PA '. PB = OB,CD =2 應,Q圖aPCPC 2.23又 PC?PD = PB?PA .4 72? (4 亞+ 2 拒)=OB?3OB2 .OB = 4,即 AB=2OB=8, P

11、A=3OB = 12, 在 RtAACB 中，ac= Jab2 _bc2 =舊 _(2揚2 =2后,. AB 是直徑， ./ ADB=/ACB = 90 ./ FDA +/ BDC =90°,/ CBA + / CAB = 90°BDC = / CAB , . / FDA = / CBA ,又AFD =/ ACB = 90°,.AFD sMCBAF AC 2 14 _ 7FD = CB = 2 2在 RtAAFP 中，設 FD = x,則 AF= J7x ,在 RtAAPF 中有，(77x)2 +(x+6V2)2=122,求得df = 3叵2方法二；連接 OC ,

12、過點O作OG垂直于CD ,一PC PO易證 PCOA PDA ,可得 =PD PA '一PG POAPGOA PFA ,可得=PF PA '圖bPC PG PC可得， =，由方法一中 pc = 4)2代入產(chǎn)PC、2PC 2.2 DFPD PFPC 2.2即可得出DF =3x2(圖 1-6)5. (2015?瀘州)如圖， ABC內(nèi)接于O O, AB = AC, BD為O O的弦，且 AB / CD ,過點 A作 OO的切線 AE與DC的延長線交于點 E, AD與BC交于點F.(1)求證：四邊形 ABCE是平行四邊形;(2)若 AE = 6, CD = 5,求 OF 的長.【解答】

13、(1)證明：: AE與。相切于點A, ./ EAC =/ABC, AB= AC ./ABC =/ACB, ./ EAC = /ACB, AE II BC, AB II CD,.四邊形ABCE是平行四邊形；(2)解：如圖，連接 AO,交BC于點H,雙向延長 OF分別交AB, CD與點N, M, . AE是OO的切線，由切割線定理得， ae2= ec?de,. AE = 6, CD = 5,.-62=CE (CE+5),解得：CE = 4,(已舍去負數(shù))，由圓的對稱性，知四邊形 ABDC是等腰梯形，且 AB = AC= BD = CE=4, 又根據(jù)對稱性和垂徑定理，得 AO垂直平分 BC, MN垂

14、直平分 AB, DC,設 OF = x, OH=y, FH = z,. AB = 4,1.BF =-2BC = 6, CD = 5,BC FH = 3 z,DF =CF = 1 BC+ FH = 3+ z,2易得 OFHdfm BFN ,DF DMBFBMOFOHOFOH即3zx521 y3-zB+得:2y一得:6=國x 2y3 z _ 51 3-z 43 y = x41z 二 一3x29 2二一 x164,7 x =21，。昨迤216.如圖，AB是。的直徑，C P是弧AB上的兩點,AB= 13, AC= 5.(2)如圖，若P是弧AB的中點，求PA的長;如圖，若P是弧BC的中點，求PA的長.解

15、:(1)如答圖，連接 PB一 一 c,.AB是。的直徑且 P是AB的中點, ./ PAB= / PBA= 45° , / APB= 90°又在等腰三角形 ABC中有AB= 13,_ . ，一，P點為BC的中點,與O辟目交于M點，作PHL AB于點HOPL BC / OMB= 90 ° ,又. AB為直徑，./ ACB= 90° .圖e/ ACB= / O陽.OP/ AC. . . / CAB= / PCB.又./AC2 /OH2 90° , .AC即OHPAB AC13oj5= oh AB= 13，AC= 5, Op=513513 = OH-5

16、1,解得 OHh 2.AH= OAF OH= 9.在 RtAOPH,有 HP；=O? -0H'=3fi在 RtAAHPf:二廿；三二7.如圖， ABC內(nèi)接于。O,且AB為OO的直徑./ ACB勺平分線交。O于點D,過點D作。O 的切線PD交CA的延長線于點 P,過點A作AECD于點E,過點B作BF,CD于點F.（圖 1-8）(1)求證：DP/ AB；(2)若AC= 6, BC= 8,求線段PD的長.解：(1)證明：如圖，連接 OD.AB為。O的直徑，ACB= 90° .一/ACB勺平分線交。O于點 D, / ACD= / BCD= 45，/DAB= /ABD= 45°。. DA助等腰直角三角形。 .DOL AB. .PD為。O的切線，ODL PD. . DP/ AB.(2)在 RtAACE,、匕=JAJLBC'