人教版高數(shù)必修一第9講：指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)(教師版)

1、12指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)彘作業(yè)完成情況)貴醫(yī)教學(xué)目標(biāo))1、理解根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的概念，掌握有理指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì).2、掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。出區(qū)知識(shí)梳理)一、有理數(shù)指數(shù)哥及運(yùn)算性質(zhì)(1)正整數(shù)指數(shù)哥an(3)負(fù)整數(shù)指數(shù)哥a1、有理數(shù)指數(shù)哥的分類= aaa*|a (nN*)； (2)零指數(shù)哥 a0 = 1 (a # 0)；=二 a = 0,n N a(4) 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于 0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥沒有意義。2、有理數(shù)指數(shù)哥的性質(zhì)(1) aman =amHn(a A0,m,nw Q )(am ) = amn(a a 0,m,nw Q )(3) (ab ) =ambm(a>0,b>

2、;0, meQ )二、根式1、根式的定義：一般地，如果xn = a，那么x叫做a的n次方根，其中(n > 1,n w N" ), U 做根式，n叫做根指數(shù)，a叫被開方數(shù)。2、對(duì)于根式記號(hào)n/a,要注意以下幾點(diǎn):(1)nWN,且 n>1； (2)當(dāng) n 是奇數(shù)，則Van = a；當(dāng)n是偶數(shù)，則nan-aa-0a: 0(3)負(fù)數(shù)沒有偶次方根;3、規(guī)定：(4)零的任何次方根都是零。m(1) ann mva (a >0, m,n = N ,n>1)；(2)11-a 0,m, n Nm n m n - a a三、對(duì)指數(shù)函數(shù)定義的理解一般地，函數(shù)y = ax(a >

3、 0且a*1)叫做指數(shù)函數(shù)。1、定義域是R。因?yàn)橹笖?shù)的概念已經(jīng)擴(kuò)充到有理數(shù)和無理數(shù)，所以在 是任意實(shí)數(shù)。2、規(guī)定a >0,且a 01的理由：a >0的前提下，x可以(1)若 a =0,當(dāng)x>0時(shí),ax恒等于0;當(dāng)xECW, ax無意義。1(2)若 a <0,如 y =(_2)x,當(dāng) X =、41 _ ,，一一等時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在。2(3)若a =1, y =1x =1,是一個(gè)常量，沒有研究的必要性。為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a > 0 ,且a =1。3、式上的嚴(yán)格性：指數(shù)函數(shù)的定義表達(dá)式y(tǒng)=ax中，ax前的系數(shù)必須是 1。自變量x在指數(shù)的位置上。比如

4、y =2ax,y=ax +1,y = ax+等，都不是指數(shù)函數(shù)；有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻是，, x 一門 6 ,一 11如y =a (a >0且a #1),因?yàn)樗梢曰癁?y = I ，其中一A0 ,且一#1。la Ja a四、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì):a >10 <:a < 1圖象一 Jk性 質(zhì)定義域：R值域：(0,)圖像都過點(diǎn)(0,1 )在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)特別提醒：角坐標(biāo)系中的圖像的相對(duì)位置關(guān)系與底數(shù)大小的關(guān)系有如下規(guī)律:在y軸右側(cè)，圖像從下往上相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在y軸左側(cè)，圖像從上往下相應(yīng)的底數(shù)由小變大。即不論在y軸右側(cè)還是左側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針增

5、大。五、比較嘉值得大小底數(shù)相同：利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；指數(shù)相同：方法一：可轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同進(jìn)行比較；方法二：可借助函數(shù)圖像進(jìn)行比較。指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖像與底數(shù)大小的關(guān)系有如下規(guī)律：即無論在y軸右側(cè)還是在y軸左側(cè)底數(shù)按逆時(shí)針方向由小變大。指數(shù)、底數(shù)都不同：可利用中間量進(jìn)行比較。六、指數(shù)方程的可解類型，可分為：形如 aft)=ag(x)(a >0,a =1)的方程，化為 f (x)=g(x)求解。形如a2x+b,ax+c=0的方程，可令t=ax進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化成t2 + bt + c = 0(t a 0 )一元二次方程 進(jìn)行求解。七、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a >1 時(shí)，af

6、(x)，a ©下與 f(x)g(x)同解，當(dāng) 0<a<1 時(shí)，af(x)<aFP 與f (x )< g(x 洞解。金£典例講練類型一根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的互化例1 : (1)用根式表不下列各式:1a5 ； a；2a-3(2)用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥表示下列各式:解析:答案：見解析練習(xí)1:把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式：4蜘=答案：ab3練習(xí)2:用根式表不下列各式：x5答案：x= 5/x3.3x類型二根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的混合運(yùn)算例2:a計(jì)算：_ (a . °)L 32. a -> a解析:原式=a 3 a21一2 一a2a2 一一 一23-6 二 a答案:3

7、8練習(xí)1:化簡(jiǎn):11.5 3X ( 6 j+8°5X4/2+(3/2X3 22 3，答案：110練習(xí) 2：化簡(jiǎn) ,(3n ) + 3(3 n )=()A. 2兀 答案：DB. 6C. 2兀D. -6類型三指數(shù)函數(shù)的定義例3:下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？y=1°x； y=1°x+1; y= 1°，+1;y=2 TO，;y=( 1°)x；y = (1° +a)x(a>1°,且 aw 9)； N= x1°.解析：y=1°、符合定義，是指數(shù)函數(shù)；y=10x+1是由y=10x和y=10這兩個(gè)函數(shù)相乘得到的復(fù)合

8、函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；y=10x+1是由y=10x和y= 1這兩個(gè)函數(shù)相加得到的復(fù)合函數(shù)；y=2-10x是由y=2和y= 10x這兩個(gè)函數(shù)相乘得到的復(fù)合函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；y=( 10)x的底數(shù)是負(fù)數(shù)，不符合指數(shù)函數(shù)的定義；且aw 一由于10+a>0,且10+aw1,即底數(shù)是符合要求的常數(shù)，故y=(10 + a)x(a>10,9)是指數(shù)函數(shù)；y=x10的底數(shù)不是常數(shù)，故不是指數(shù)函數(shù).綜上可知，、是指數(shù)函數(shù).答案：、練習(xí)1：若函數(shù)y= (a3) (2 a1)x是指數(shù)函數(shù)，求 a的值.答案：4練習(xí)2：函數(shù)y= (a23a+ 3) ax是指數(shù)函數(shù)，則有()A. a= 1 或 a= 2B.

9、a= 1C. a=2D. a>0且 awl答案：C類型四指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)例4：函數(shù)f(x) = ax-b的圖象如圖所示，其中 a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 (B. a>1, b>0C. 0<a<1, b>0D. 0<a<1, b<0b<1,即一x對(duì)稱解析：由圖象呈下降趨勢(shì)可知0<a<1,又由圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于 1可知ab>0,b<0.答案：D練習(xí)1：若函數(shù)y=ax+mv 1( a>0)的圖象經(jīng)過第一、三和第四象限，則 ()A. a>1B. a>1，且 m<0C. 0&l

10、t;a<1，且 m>0D. 0<a<1答案：B練習(xí)2：在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) y=2x與y=9)的圖象之間的關(guān)系是()A.關(guān)于原點(diǎn)又稱B.關(guān)于x軸對(duì)稱C.關(guān)于y軸對(duì)稱 D.關(guān)于直線y =答案：C類型五指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例5:比較下列各組數(shù)的大小：(1)1.7 2.5, 1.7 3;(2)0.80.1,0.8 0.2;(3)1.7 0.3, 0.9 3.1;解析：(1)考察指數(shù)函數(shù)y=1.7x,由于底數(shù)1.7>1 ,所以指數(shù)函數(shù) y=1.7x在(8, +oo)上是增函數(shù). 2.5<3, . 1.7 2.5<1.7 3.(2)考察函數(shù) y=0.8x,由于0&

11、lt;0.8<1 ,所以指數(shù)函數(shù)y=0.8x在(8, +oo)上為減函數(shù).- 0.1> 0.2 , 0.8 0.1 <0.8 0.2.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得1 . 70.3>1.7°=1,0.93.1 <0.9 0=1, . 1.70.3>0.9 3.1.答案：<<>練習(xí)1:比較下列各題中兩個(gè)值的大小.(1)0.3 x與。丁+1;22J與2.答案：>>練習(xí)2:函數(shù)f (x) =axT + 2(a>0, aw 1)恒過定點(diǎn) .答案：(1,3)類型六指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例 6:函數(shù) f (x) = x2 bx+

12、c,滿足 f (1 + x) = f (1 x),且 f (0) = 3,比較 f ( bx)與 f ( cx)的大小.解析：.f (1 +x) =f (1 -x),f (x) =x2- bx+c 的對(duì)稱軸為 x= 1.b . 一一即 2= 1?b=2.又f(0) =3, c=3.f(bx) =f(2x) , f (cx) =f(3 x).若 x>0,則 3x>2x>1,而 f(x)=x2-2x+3在1 , +8)上為增函數(shù)，f(3x) >f(2x),即 f(cx) >f (bx),若 x<0,貝U0<3x<2x<1,而 f (x) =x2

13、 2x+3 在(1)上為減函數(shù)，f(3x)>f(2x),即 f (cx)>f (bx), 綜上所述，f (cx) >f(bx). 答案：f(cx)>f(bx).1- .x x - 0練習(xí) 1:設(shè) f (x) = 4,則 f f( -2) =.2x x :二 0-1答案：2練習(xí)2:設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x= 1對(duì)稱，且當(dāng)x>l時(shí)，f(x)=3x 1.3. 2 ,1,則f(3)、f(2)、f(3)的大小關(guān)系為.答案:f (2) <f (3)心 323施當(dāng)堂檢測(cè))1、把下列各式中的 a寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式(1) a5 =256； (2) a

14、- =28 ；11答案：（1） a = 2565； （2） a =28?332、計(jì)算（1） 92 ;（2） 16”332 333答案：（1） 92 = （32 2 =3 2=33=27； （2） 162 =（42 ）W=4"3 = 64' =專3、求下列各式的值（1）2J ； 4/（7 ；答案：（1）也f = 2；（2）4/（-2 =24、用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式表示下列各式：2, 、33 -2（1） a Ta（2）a 7a_12 _15_23 211答案：（1） a2 *Va = a2 ,a2 =a 2 =a2 ；（2）a3 *a2 = a3,a3=a 3 = a3x5、若函數(shù)y

15、 =(a2 -2a -3)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。答案：-：,1 -、5 u 1 - 5, -1 u 3,1/5 u 15,:6、函數(shù)y=2xJ3 +3恒過定點(diǎn)答案：3,4靖當(dāng)堂總結(jié))，事家庭餐業(yè))基礎(chǔ)鞏固1.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為() n/an=a；若 ae R,則（a2a+1）0=1； 3/x4+ y3 =x3 +y； 3/"5 =。（-5）2 .A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2.2設(shè)a>0,將寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)哥，其結(jié)果是 ()A.3a21B. a2C.5a67D. a6答案：D3 .計(jì)算:答案：2 24.右a<1,則化簡(jiǎn)4/( 4a -1 2

16、的結(jié)果是(A. l 4aB.C. 、1 一 4a答案：AD.，4a- 1，4a 15.函數(shù)y= ax在0,1上的最大值與最小值的和為3,則a=()1A，2B. 2C. 4答案:B能力提升6 .函數(shù)y= ax+1 +1( a>0且a w 1)的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)答案：(一1,2)7 .設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x>0時(shí)，f (x) =2x-3,則當(dāng)時(shí)，f (x) =答案：3-2 x8 .設(shè)函數(shù)f(x) = kaxa-x(a>0且aw 1)是奇函數(shù).(1)求常數(shù)k的值;(2)若a>1,試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明.答案：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽又f(x)為

17、奇函數(shù)，f(0)=0, 即 k 1 = 0, - k= 1.(2)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù).由(1)知 f (x) = ax- a x設(shè)任意實(shí)數(shù)xwx2,f (x2) f (x1) =ax2-a x2-a x1 + ax1.11=a _ a 1+ -fax1 a=a x2 a x1 Hxaa x2 a x 11+ x2=(a x2-a x1) H + a1X2.x1<x2, a>1, /. a1<a x2,a x2-a x1>0.1. f (x2) - f ( x1)>0，即 f ( x2)> f ( x1).故當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).9.已知定義域?yàn)閎2R的函數(shù)f(x)=。是奇函數(shù).(1)求a、b的值；(2)用定義證明f (x)在(一00,+8)上為減函數(shù)；(3)若對(duì)于任意tCR,不等式f (t2-2t) + f (2t2-k)<0恒成立，求k的范圍.答案：(1) .f(x)為R上的奇函數(shù)，f(0) =0, b= 1.又 f( 1) = f(1),得 a=1.(2)任取 x1 , XzC R,且 x1<x2,則1 2 x11-2 x2f (X1) f (x2) = 2 x1 + 1 2 x2+ 12(2x2 -2