三角形中的常用輔助線方法總結(jié)

1、數(shù)學(xué)：三角形中的常用輔助線典型例題人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找 出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：(1)可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段(或兩個(gè)角)分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；(2)可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；(3)可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；(4)若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：(1)遇

2、到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變 換中的“對(duì)折”。例1:如圖，A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ AB或AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD 交BD的延長線于點(diǎn) E。求證：BD=2CEF思路分析：1)題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2)解題思路：要求證BD=2CE可用加倍法，延長短邊，又因?yàn)橛?BD平分/ABC的條件，可以 和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長 BA, CE交于點(diǎn)F,在 ABEF和ABEC中， /1 = /2, BE=BE , /BEF=/BEC=90 ,ABEF ABEC,. EF

3、=EC,從而 CF=2CE。又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90 ,故/ 1 = / 3。在 A ABD 和 AACF 中，-/ 1 = /3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 ,A ABD 仁 AACF,BD=CF ,BD=2CE 。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解 題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空問；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。(2)若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變

4、換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2:如圖，已知 AABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證： AABC是等腰三角形。思路分析：1)題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)。2)解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件 都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC ,可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長 AD至ij E,使DE=AD ,連接BE。又因?yàn)?AD是BC邊上的中線，BD=DC又/ BDE= / CDAA BED A CAD,故 EB=AC , / E=/ 2, AD

5、是/ BAC的平分線/ 仁/ 2,./ 1 = Z E,AB=EB從而AB=AC即AABC等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可 得到全等三角形。(3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角 形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例 3:已知，如圖，AC平分/ BAD CD=CB ABAD 求證：/ B+/ ADC=180 。思路分析：1)題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2)解題思路：因?yàn)锳C是/BAD的平分線，所以可過點(diǎn)C作/ BAD勺兩邊的垂線，構(gòu)造直角三 角形，

6、通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CH AB于E, CF，AD于F。. AC平分 / BADCE=CF在 RtACBff口 RtzXCDF中，v CE=CF CB=CD RtACBE RtACDF / B=/ CDF/ CDF+Z ADC=180 ,. / B+/ ADC=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。(4)過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平 移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4:如圖，A ABC中，AB=AC E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn)，連EF交BC于D,若EB=CF 求證：DE=DFA思路

7、分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形 A DEB與A DFC不可能全等，又知 EB=CF ,所以需通過添 加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E作EG/CF,構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過E作EG/AC交BC于G貝叱 EGBW ACB又 AB=AC B=/ ACB. ./B=/ EGB . ./EGD=DCF .EB=EG=C F /EDBN CDF a ADGE3 ADCFDE=DF解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法:AAF*F例 5: ABCt, / B

8、AC=60 , C C=40 , AP平分/ BACC BC于 P, BQ分/ ABC交 AC于 Q 求 證：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+A勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左 式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^O作BC的平行線。得 AD堂AAQO得到OD=OQAD=AQ只要再證出BD=O僦可以了。解答過程：證明：如圖(1)，過O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60 40 =80 , 又. / AQO=C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO

9、又/ DAO= QAO OA=AO . .AD堂 AAQOOD=O QAD=AQ又 ; OD/ BP, ./ PBO= DOB 又./ PBO=DBO ./ DBO= DOB .BD=OD又. / BPAW C+/PAC=70 , / BOP= OBA+ BAO=70 , ./ BOP=BPO .BP=OB . AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：(1)本題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形，即“截長法” (2)本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖(2),過O作OD/ BC交AC于D,則4AD堂ABOA而得以解決。B P圖(2)如圖

10、，過。作DE*BC交AB于D,交AC于E,則ADD公AAQCi, AB。絲AEO從而得以解決口如圖(4),過P作PD#BQ交AB的延長線于D,則dAPD經(jīng)APC從而 得以解決口D/如圖(5),過P作PD/ BQ交AC于D,則4AB國/XADPR而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法， 體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同 的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。 從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋 轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。(5)截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一

11、條線段與特定線段相等，或是將某條 線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證 明線段的和、差、倍、分等類的題目。例 6:如圖甲，AD/ BC 點(diǎn) E在線段 AB上，/ADE=/CDR /DC=/ECB 求證：CDzADfBG圖甲思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：截長法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是CRAE+BC可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB 只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC如圖乙CH = CB= GCECE=CE

12、.-.FCEABCE(SAS , / 2=/ 1。又AD/ BC /AD(+/BCD：180 , /DC+/CD=90 ,. /2+/3=90 , / 1 + /4=90 , / 3=/4。在4FDE與 ADE中，AFDE = ZADEDE = DEZ3 = Z4 .FDEEAADE（ASA , . DF=DACD=DF+CF, . CD=AE+BC解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長法或補(bǔ)短法： 截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條； 補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。1）對(duì)于證明有關(guān)線

13、段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想 辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊 構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。同步練習(xí)（答題時(shí)間：

14、90分鐘）這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，開動(dòng)腦筋好好想一想吧！加油！你一定行!1、已知，如圖1,在四邊形ABCM, BCAB, AD=DC BD平分/ ABC 求證：/ BADVBCD：180 。2、已知，如圖2, / 1 = /2, 求證：/ BAP+/BCP=180 。P為BN上一點(diǎn)，且PDl BC于點(diǎn)D, ABO2BD3、已知，如圖 3,在ABCt, / C= 2/B, /1 = /2。求證：AB=AC+CQA1圖34、已知，如圖4，Ds E為ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證】AB+AOBD+DE+CE-A圖45、如圖5，AD為ABC的中線，求證：AB+ACXAD.圖56、如圖6所示，

15、AD是ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EFd 求證；AC=BF.試題答案命的材料圖6你熱愛生命嗎？那么別浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)闀r(shí)間是組成生-富蘭克林1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?800 ,因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中 缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長法或補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn)。證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E,彳DF，BC于點(diǎn)F,如圖1-2*TBD平分在比AHDE與母 6外,DE = DFAD= CD - RtAADEiRtACDFHL), ./ DAE：/DCF又/BAa/DAE：180 , /BAa/DCF：180 ,即/ BA

16、D+ZBCB18002、分析：與1相類似，證兩個(gè)角的和是180 ,可把它們移到一起，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證 明/BCP：/ EAP因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E,如圖2-2；N1=N2,且產(chǎn)ZLLBC,在俯 HPEWE& BPD 中,PE=PD BF = RP -/.咫A BF絲母 BEX也）,二BE用工,AB+BC=2BD,，RB+B2D0=孫電/.AB+DCBESDCBE-AB=AS.在比AHFE與母 CPD中，P = PDMD+DE+NE 在BDK, mb+mdbd在CENt, CN+NEQE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEM

17、D+DE+NE+BD+CE . AB+AOBD+DE+EC（方法二：圖4-2）延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在 ABR GFCfilzXGDB有：AB+AFBD+DG+GFGF+F8GE+CEDG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE-toEC5、分析：要證 AB+AO2AD由圖想至I：AB+BDADAC+CDAD所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD亍2AD 左邊比要證結(jié)論多BD+CD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AR即加倍中線，把所要 證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去工圖5-2證明：延長AD至E,使D

18、E=AD,連接BE, CETAD為dABC的中線（已知），BD=CD C中線定義）在ACDWEBD 中BD = CD （已證）W /I二/X對(duì)頂角相等）AD = ED （輔助線作法） . .AC四 AEBD （SAJS. BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 ABE中有：AB+BEAE三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC2AD6、分析：欲證AC=BF只需證AC BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有含有 AC BF的兩個(gè) 全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有 AC BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在 同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個(gè) 三角形以后的這兩條線段，所對(duì)的角相等即可。思路一、以三角形ADE基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段 AC使AC BF在三角形BFH中方法