關(guān)于二項分布與超幾何分布問題區(qū)別舉例()

1、關(guān)于“二項分布”與“超幾何分布”問題舉例 一.基本概念1 .超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件 產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品， 則事件？X=k?發(fā)生的 概率為：P(X=k尸 CMC?) ,k= 0,1,2,3, ,m ;其中，m = min?M,n?,且 n? N , M? N . n,M,N ? N?為 超幾何分布；如果一個變量 X的分布列 為超幾何分布列，則稱隨幾變量 X服從M超幾何分布.其中，EX= n?一 N2 .二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件 A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中，事件 A 發(fā)生的概率為P,那么在n次獨立重復(fù)試 中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為： P(X=k)

2、= Cnkpk(1-p)n-k(k=0,123, ? ,n),此 時稱隨機變量X服從二項分布.記作：X B(n,p),EX= np3 .“二項分布”與“超幾何分布”的聯(lián)系與 區(qū)別(1) “二項分布”所滿足的條件每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相 同的；是一種放回抽樣.各次試驗中的 事件是相互獨立的；每次試驗只有兩種 結(jié)果，事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā) 生的次數(shù).(2) “超幾何分布”的本質(zhì)：在每次試驗 中某一事件發(fā)生的概率不相同，是不放回 抽樣，“當樣本容量很大時，超幾何分布近 似于二項分布；(3) “二項分布”和“超幾何分布”是兩種 不同的分布，但其期望是相等的

3、.即：把 一個分布看成是“二項分布”或“超幾何分 布”時，它們的期望是相同的.事實上，對 于“超幾何分布"/p= M，則EX=NMfk.g = n?.“超幾何分布”和“二項分 d CnN布”的這種“巧合”，使得“超幾何分布”期望 的計算大簡化.共同點：每次試驗只有兩種可能的結(jié)果： 成功或失敗。不同點：1、超幾何分布是不放回抽取， 二項分布是放回抽??；2、超幾何分布需要知道總體的容 量，二項分布不需要知道總體容量，但需 要知道“成功率;”聯(lián)系：當產(chǎn)品的總數(shù)很大時，超幾何分布 近似于二項分布。因此，二項分布模型和超幾何分布模型 最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不 放回抽樣.所以，在解有關(guān)

4、二項分布和超 幾何分布問題時，仔細閱讀、辨析題目條 件是非常重要的.二.典型例題例1 :袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球.求:(1)有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)X的分布列；(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Y的分布列.解：(1)有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)X 可能的取值為0, 1, 2, 3.又由于每次 取到黑球的概率均為1, 3次取球可以看 5成3次獨立重復(fù)試驗，則XB：3,5).5P(X =0)七P Li4L64 55125 )p(x =1)=c；2P(X =2) =C；P(X=3) "噌H4j =125 *因此，X的分布列為1012 .3tC20C3

5、P(Y =0) =-28C10(2).不放回抽樣時，取到的黑球數(shù)Y可 能的取值為0 , 1,2,且有：工；P(Y=1)二省二；P(Y=2)=咨15)C10 15)C10 15因此，Y的分布列為例2.在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4 件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品 中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多 于二等品件數(shù)的概率.(2)記：X表示“取出的3件產(chǎn)品中一 等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的數(shù)量”，求X的分布列并求EX；分析：由題可知：從10件產(chǎn)品中分 別任取兩次得到“一等品”或“二等品”的概 率是不相等的，因此是一種 不放回抽樣； 隨機變量X服從超幾何分布.解：記Ai:取出3件一等

6、品； A2：取出2件一等品；A3：取出1件一 等品，二件三等品.Al、A2、A3互斥,P(Ai)= C331C32。17C103 = 120 , P(A2)= C103= 40 ,P(A3)= CTCr =：；所以，p =C10340P(A1)+ P(A2)+ P(A3)=31120(2)X=0 ,1,2, 3; X服從超幾何分布,所以P（X=0）= P（一件一等品，一件二等品，一件三等品尸等10P（X=1）=P （二件一等品，一件二等品）c3t4"CF1-10P（X=2）=P（三件一等品，一件二等品）二C33c4C13030P（X=3）= P （三件一等品，零件二等品）30C3 c

7、4C3C101120nM3；3EX = N = 10 = 0.9說明：謹防錯誤地認為隨機變屬 X服31從二項分布，即：X B（3, 120 ）.例3.從某高中學(xué)校隨機抽取16名學(xué)生， 經(jīng)校醫(yī)檢查得到每位學(xué)生的視力，其中“好視力4人，以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估 計整個學(xué)校的整體數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù) 很多）任選3人，記X表示抽到“好視力” 學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.分析：本題就是從“該校（人數(shù)很多） 任選3人；由此得到“好視力”人教X,若 每次從該校任取一名學(xué)生為“好視力”這 一事件的概率顯然是相等的，因為 該校 “人數(shù)很多”相當于“有放回抽樣因此，隨 機變量X服從“二項分布”而不是“超幾何 分布”.解：由題可知：X= 0,1,2,3 ;由樣本估計總體，每次任取一人為“好視力”的概率161XB(3z);P(X=0)= C30()0(1-1一)3-042764 ；P(X=1)=1C31(一4)1(1-2764 ;p(X=2)= C32( 41)2(1- 4)3-1)3-2964 ；P(X=3)= C 33( 1 )3(141一)3-341一;EX = 643J= 3 . 44說明：假設(shè)問