一元及多元線性回歸實(shí)例

1、野外實(shí)習(xí)資料的數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析· 一元線性回歸分析 一元回歸處理的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，即兩個(gè)變量X和Y之間如果存在一定的關(guān)系，則通過觀測所得數(shù)據(jù)，找出兩者之間的關(guān)系式。如果兩個(gè)變量的關(guān)系大致是線性的，那就是一元線性回歸問題。對(duì)兩個(gè)現(xiàn)象X和Y進(jìn)行觀察或?qū)嶒?yàn)，得到兩組數(shù)值：X1，X2,，Xn和Y1，Y2，Yn,假如要找出一個(gè)函數(shù)Y=f(X),使它在X=X1,X2, ,Xn時(shí)的數(shù)值f(X1),f(X2), ,f(Xn)與觀察值Y1，Y2，Yn趨于接近。在一個(gè)平面直角坐標(biāo)XOY中找出（X1，Y1），（X2，Y2），（Xn，Yn）各點(diǎn)，將其各點(diǎn)分布狀況進(jìn)行察看，即可以清楚地看出其各點(diǎn)分布狀況接近

2、一條直線。對(duì)于這種線性關(guān)系，可以用數(shù)學(xué)公式表示：Y = a + bX這條直線所表示的關(guān)系，叫做變量Y對(duì)X的回歸直線，也叫Y對(duì)X的回歸方程。其中a為常數(shù)，b為Y對(duì)于X的回歸系數(shù)。對(duì)于任何具有線性關(guān)系的兩組變量Y與X，只要求解出a與b的值，即可以寫出回歸方程。計(jì)算a與b值的公式為：式中：為變量X的均值，Xi為第i個(gè)自變量的樣本值，為因變量的均值，Yi為第i個(gè)因變量Y的樣本值。n為樣本數(shù)。當(dāng)前一般計(jì)算機(jī)的Microsoft Excel中都有現(xiàn)成的回歸程序，只要將所獲得的數(shù)據(jù)錄入就可自動(dòng)得到回歸方程。得到的回歸方程是否有意義，其相關(guān)的程度有多大，可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小來決定。通常用r來表示兩個(gè)變量X和

3、Y之間的直線相關(guān)程度，r為X和Y的相關(guān)系數(shù)。r值的絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度就越高。當(dāng)r為正值時(shí)，叫做正相關(guān)，r為負(fù)值時(shí)叫做負(fù)相關(guān)。r 的計(jì)算公式如下：式中各符號(hào)的意義同上。在求得了回歸方程與兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)后，可以利用F檢驗(yàn)法、t檢驗(yàn)法或r檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否顯著相關(guān)。具體的檢驗(yàn)方法在后面介紹。2多元線性回歸分析一元回歸研究的是一個(gè)自變量和一個(gè)因變量的各種關(guān)系。但是客觀事物的變化往往受到多種因素的影響，即使其中有一個(gè)因素起著主導(dǎo)作用，但其它因素的作用也是不可忽視的。因此，我們還需要研究多種變量的關(guān)系，這種多個(gè)變量之間的關(guān)系就叫做多元回歸問題。例如，水稻的產(chǎn)量不僅與生長期內(nèi)的

4、雨量有關(guān)，而且與溫度也有關(guān)系。所以尋求水稻的產(chǎn)量不僅與生長期內(nèi)的雨量之間的相互關(guān)系，就是多元回歸問題。如果假設(shè)自變量為X1，X2，Xm，因變量為Y，而且因變量與自變量之間是線性的關(guān)系，則因變量Y與自變量為X1，X2，Xm的多元線性回歸方程為：Y = a+b1X1+b2X2+bmXm式中：a，b1，b2，bm為常數(shù)。因此，只要能夠求出a，b1，b2，bm這些常數(shù)，就可以得到因變量Y與自變量為X1，X2，Xm之間的多元回歸方程。具體的算法比較簡單，但很煩瑣。這里不再敘述。求解多元回歸的計(jì)算機(jī)程序很多，只要將自變量的數(shù)據(jù)以及與其相對(duì)應(yīng)的因變量的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)程序中，立刻就可以求出a，b1，b2，bm

5、各常數(shù)的值，從而可以獲得因變量Y與自變量為X1，X2，Xm的多元線性回歸方程。例如，設(shè)已知因變量Y的自變量X1，X2，X3，共得18組數(shù)據(jù)，并已知Y對(duì)Xi存在著線性關(guān)系，求其回歸方程。樣品X1X2X3Y10.4531586420.4231636033.119377140.6341576154.724595461.7651237779.4444681810629173931012.658112511110.937111761223.146114961323.150134771421.64473931523936143541726.8582021

6、681829.95112499通過求解，得到a=41.6516b1=1.7410b2=-0.0062b3=0.1553所以，回歸方程為Y=41.6516+1.7410 X1 -0.0062 X2+0.1553 X3通?？刹捎脝蜗嚓P(guān)系數(shù)、偏相關(guān)系數(shù)和復(fù)相關(guān)系數(shù)來說明這三個(gè)自變量與因變量之間是否有明顯的線性關(guān)系以及它們之間相關(guān)的程度如何。單相關(guān)系數(shù)是指在不考慮其他因素影響的條件下，所求兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)。用rX1X2、rYX1和rYX2分別表示X1和X2、Y和X1以及Y與X2之間的單相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)是指在這三個(gè)變量中，將其中一個(gè)變量保持常數(shù)時(shí)，其他兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)。用rYX1X2和r

7、YX2X1分別表示X2為常數(shù)時(shí)，Y與X1的偏相關(guān)系數(shù)和X1為常數(shù)時(shí)，Y與X2的偏相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)可以用單相關(guān)系數(shù)求得。當(dāng)這三個(gè)變量中，同時(shí)考慮兩個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量相關(guān)系數(shù)時(shí)，叫做復(fù)相關(guān)系數(shù)。用r（X1X2）Y表示X1和X2、兩個(gè)自變量對(duì)于Y的復(fù)相關(guān)系數(shù)。3.方差分析方差分析法是分析多組平均數(shù)之間差異顯著性時(shí)常用的一種統(tǒng)計(jì)方法。方差（或均方）是一個(gè)表示變異程度的量，它是離均差的平方和與自由度之商。在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中往往存在著許多造成生物形狀變異的因素，這些因素有比較重要的，也有較次要的。分析時(shí)主要是把平方和與自由度按不同的變異起因分解為若干部分，從而構(gòu)成來自不同起因的方差。利用它來檢驗(yàn)各組平

8、均數(shù)之間差異的顯著性。在正態(tài)總體及方差相同的基本假定下，我們將利用方差比給出F分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。因此這種方法稱為方差分析法。方差分析是分析和處理試驗(yàn)或觀測數(shù)據(jù)的主要方法之一。它首先被應(yīng)用于農(nóng)業(yè)試驗(yàn)，目前它在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、生物、醫(yī)學(xué)等各部門有著廣泛的應(yīng)用。方差分析的方法往往與試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方式緊密地聯(lián)系在一起。對(duì)于從不同試驗(yàn)設(shè)計(jì)中得出觀測資料，進(jìn)行方差分析時(shí)將有不同的計(jì)算方法，類型繁多，但其基本原理卻大同小異。在這里將結(jié)合一個(gè)較簡單的例子介紹方差分析的數(shù)學(xué)模型和基本方法，以便于讀者對(duì)方差分析的方法有一個(gè)大致的了解。在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，分組試驗(yàn)，如分為a組，每組作b個(gè)水平的試驗(yàn)，共得到a×b個(gè)

9、數(shù)據(jù)。然后，算出組平均值和總平均值，組內(nèi)和組間的離差平方和，組內(nèi)和組間方差，作F檢驗(yàn)。 F 組間方差/組內(nèi)方差 假設(shè) HO: 1 2··· b ，表示各水平的均值相等。當(dāng) F F 時(shí)，HO: 真；當(dāng) F > F時(shí)， HO：假。試驗(yàn)中必不可少地會(huì)產(chǎn)生誤差。誤差有兩種：條件誤差和試驗(yàn)誤差。前者是由試驗(yàn)條件不同而引起的系統(tǒng)性誤差，后者是在相同試驗(yàn)條件下引起的隨機(jī)誤差。例如，把四種不同的飼料分別喂給4組小雞，每組5只，它們的增重情況如下：組別增重（Xij）15549422152261112308963342978195924試問四組小雞在平均增重量方面有沒有明顯的差

10、別？通過計(jì)算，得到組內(nèi)和組間方差分別為719.2和8706.3，因此，F(xiàn)=8706.3/719.2=12.1對(duì)于給定的顯著性水平，將有臨界值F一，當(dāng)=0.01時(shí)，F(xiàn)0.01(3,16)=5.3，其中3與16是自由度。所以F=12.1>5.3= F0.01(3,16)故，否定各種飼料效果一致的假設(shè)，可以認(rèn)為四種飼料的效果有極明顯的差別。目前現(xiàn)成的計(jì)算機(jī)方差分析計(jì)算程序很多，如SPASS、SAS軟件等，將數(shù)據(jù)輸入后，都可以直接計(jì)算，并按要求輸出結(jié)果。上述例子是單因素的方差分析，比較簡單。對(duì)于多因素的方差分析，由于比較復(fù)雜，這里就不再敘述了。4. T檢驗(yàn)生物學(xué)中所遇到的絕大多數(shù)問題，總體標(biāo)準(zhǔn)差

11、都是未知的。在未知時(shí)，平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)有兩種解決方法。其一是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)或從類似的工作中估計(jì)出一個(gè)值，用這個(gè)做檢驗(yàn)。使用估計(jì)的做檢驗(yàn)并不是很可靠的。因此在實(shí)際工作中，一般不用這種方法而廣泛使用t檢驗(yàn)。對(duì)于一個(gè)正態(tài)分布總體，若未知?jiǎng)t服從n-1自由度的t分布，因此，在未知時(shí)可以用t檢驗(yàn)做平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。t檢驗(yàn)的零假設(shè)H0為：=0備擇假設(shè)有以下三種情況：（1）HA：>0，若已知不可能小于0；（2）HA：<0，若已知不可能大于0；（3）HA：0，包括>0和<0 。三種備擇假設(shè)的拒絕域?yàn)椋海?）t>t ；（2）t< -t；（3）t > t/2，或表示為t

12、 > t（雙側(cè)） 。其中為給定的顯著性水平。t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：t = （-0）/（s/n1/2）例如，已知玉米單交種群單105的平均穗重0=300克，噴藥后，隨機(jī)抽取9個(gè)果穗，其穗重為分別：308、305、311、298、315、300、321、294、320克。問噴藥后與噴藥前的果穗重差異是否顯著？根據(jù)上面介紹的基本程序：· 已知玉米穗重是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，未知。 （2）假設(shè)：H0 ：=0=300HA：0=300由于問題要求檢驗(yàn)的是“果穗重差異是否顯著”，并沒有明確穗重一定增加或一定減少，所以備擇假設(shè)為HA：0（3）顯著性水平：根據(jù)實(shí)驗(yàn)的要求（差異是否“顯著”）規(guī)定=0

13、.05。（4）統(tǒng)計(jì)量的值：由于未知需使用t檢驗(yàn)。t = （-0）/（s/n1/2）t = （308-3000）/（9.62/91/2）=2.49(5)建立的拒絕域H0:因HA：0,所以是雙側(cè)檢驗(yàn)。當(dāng) t > t0.05（雙側(cè)）時(shí)拒絕H0，=0.05時(shí)，經(jīng)查表t8，0.05（雙側(cè)）=2.306。（6）結(jié)論：因t =2.49> t8，0.05（雙側(cè)）=2.306 ，所以結(jié)論是拒絕H0，接受HA。即噴藥前后果穗重的差異是顯著的。5. F檢驗(yàn)t檢驗(yàn)屬于單個(gè)樣本的顯著性檢驗(yàn)，即在樣本統(tǒng)計(jì)量與零假設(shè)所提出的總體參量之間做比較。這種檢驗(yàn)需要我們事先能夠提出合理的參量假設(shè)值和對(duì)參量有某種意義的備擇

14、值。然而，在實(shí)際工作中，很難提出這樣的假設(shè)值及備擇值。因此，限制了這種方法在實(shí)際工作中的應(yīng)用。為了避免上述問題的出現(xiàn)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常選擇兩個(gè)樣本，一個(gè)作為處理，一個(gè)作為對(duì)照。在這兩個(gè)樣本之間做比較。判斷它們之間是否存在足夠顯著的差異。當(dāng)它們之間的差異不能用偶然性解釋時(shí)，則認(rèn)為它們之間存在足夠顯著的差異，這兩個(gè)樣本來自兩個(gè)不同的總體。而F檢驗(yàn)是關(guān)于兩個(gè)方差的檢驗(yàn)，所以常用F檢驗(yàn)來解決上述問題。F檢驗(yàn)的程序概述如下：（1）假定從兩個(gè)正態(tài)總體中，獨(dú)立地抽取含量分別為n1和n2的兩個(gè)隨機(jī)樣本，計(jì)算出s12和s22?？傮w平均數(shù)1和2可以相等也可以不相等。（2）零假設(shè)H0為：1=2備擇假設(shè)有以下三種情況：（1）HA：1>2，若已知1不可能小于2； （2）HA：1<2，若已知1不可能大