基本物理量的測(cè)量與誤差分析

1、實(shí)驗(yàn)1：基本物理量的測(cè)量與誤差分析土卓1401 邱宏浩 U201415471 摘要：本實(shí)驗(yàn)由幾個(gè)基本實(shí)驗(yàn)組成，注重培養(yǎng)學(xué)生在物理實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能等方面的科學(xué)素質(zhì)。單擺實(shí)驗(yàn)是個(gè)經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，許多著名的物理學(xué)家，例如伽利略、牛頓等，都對(duì)單擺實(shí)驗(yàn)進(jìn)行過(guò)細(xì)致地研究。關(guān)鍵詞：?jiǎn)螖[ 扭擺 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 誤差分析一、引言【實(shí)驗(yàn)背景】本實(shí)驗(yàn)由幾個(gè)基本實(shí)驗(yàn)組成，注重培養(yǎng)學(xué)生在物理實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能等方面的科學(xué)素質(zhì)。單擺實(shí)驗(yàn)是個(gè)經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，許多著名的物理學(xué)家，例如伽利略、牛頓等，都對(duì)單擺實(shí)驗(yàn)進(jìn)行過(guò)細(xì)致地研究。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，與剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)軸的位置及質(zhì)量分布有關(guān)，且形狀復(fù)雜

2、、質(zhì)量分布不均勻的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通常很難直接計(jì)算，需要用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定，本實(shí)驗(yàn)中會(huì)采用扭擺法測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及切變模量，切變模量是剪切應(yīng)力與應(yīng)變的比值，是材料的力學(xué)性能指標(biāo)之一?！緦?shí)驗(yàn)?zāi)康摹?、學(xué)會(huì)幾種常用測(cè)量?jī)x器的正確使用方法。2、學(xué)會(huì)并掌握誤差均分原理及其應(yīng)用。3、學(xué)會(huì)不確定度法分析評(píng)估實(shí)驗(yàn)結(jié)果。4、研究單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，測(cè)量本地的重力加速度。5、研究扭擺的運(yùn)動(dòng)，測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量?！緦?shí)驗(yàn)原理】（一）誤差均分原理設(shè)間接測(cè)量量值為y，它是由n個(gè)互不相關(guān)的直接測(cè)量x1 x2 x3 xn通過(guò)函數(shù)關(guān)系f得到y(tǒng)=fx1,x2,xn得到，則直接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度和相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的傳遞公式為：U2

3、y=i=1nfxi2uc2(xi)Ur2y=i=1nlnfxi2uc2(xi)在單擺實(shí)驗(yàn)中為要求Ury1%，由誤差均分原理，擺長(zhǎng)誤差:UL0.35mm，周期誤差：UT0.005s，為滿足周期誤差范圍至少要測(cè)量40個(gè)周期的時(shí)間。（二）單擺如圖（1），理想單擺時(shí)一根長(zhǎng)度為l、沒(méi)有質(zhì)量和彈性的柔軟細(xì)線，下端系有一個(gè)沒(méi)有體積、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在與地面垂直的平面內(nèi)繞支點(diǎn)o作擺角q趨于0的自由振動(dòng)。 其擺動(dòng)周期T為：T=2(l/g)1/2 而實(shí)際的單擺懸線有質(zhì)量、彈性，擺球是有質(zhì)量有體積的剛性小球，擺角不為零，受空氣浮力影響，其周期公式為：T=2lg1+d220l2-ml12m1+d2l+mlm+02+2

4、16式中，T是擺動(dòng)周期，g是重力加速度，l、mL是單擺擺線長(zhǎng)度及質(zhì)量，d、m、是擺球的直徑，質(zhì)量和密度，0為空氣密度，是擺角。 實(shí)驗(yàn)時(shí)，選擇一根長(zhǎng)度為l的柔軟細(xì)線與直徑為d的小球構(gòu)成單擺，不計(jì)空氣浮力的影響，使小球在豎直平面內(nèi)作小角度（不大于5）擺動(dòng)，則擺動(dòng)周期為T=2l+d/2g得出公式： g=2T2(l+d/2)（三）扭擺 將一細(xì)金屬絲（鋼絲）的上端固定，下端聯(lián)結(jié)一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的物體，以金屬絲為軸將物體扭轉(zhuǎn)一小角度后松開(kāi)，物體將在鋼絲彈性扭轉(zhuǎn)力矩M的作用下作周期性的自由擺動(dòng)。若鋼絲在扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)中的角位移以F表示，爪手整個(gè)裝置對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是I0，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律則有：M=-KF=I0d2F

5、dt2其扭動(dòng)周期滿足：T0=2I0K在測(cè)量鋼絲扭轉(zhuǎn)系數(shù)K和擺動(dòng)物體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0的試驗(yàn)中，分別測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)本身繞軸擺動(dòng)的周期T0，再將一個(gè)內(nèi)外直徑，高度，質(zhì)量已知的圓環(huán)水平放在爪手上，測(cè)得轉(zhuǎn)動(dòng)周期T1，則可得：T12-T02=42KI1又K=GR4/2L，則：G=2KLR4由理論推導(dǎo)，圓環(huán)繞中心軸作水平擺動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1為：I1=Mb2+c28若使圓環(huán)繞豎直方向擺動(dòng)，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1為：I1=M(b2+c216+d212)其中，b為圓環(huán)內(nèi)直徑，c為圓環(huán)外直徑，d為圓環(huán)高度，M為圓環(huán)質(zhì)量。（四）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理： 理論分析證明，若質(zhì)量為M的物體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，若軸平行移動(dòng)距離為

6、x時(shí)，則物體對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：I=I0+Mx2二、實(shí)驗(yàn)過(guò)程【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1、固定單擺擺長(zhǎng)測(cè)量擺動(dòng)周期，計(jì)算本地重力加速度，檢驗(yàn)測(cè)量結(jié)果是否滿足精度要求。（1）按照要求設(shè)定擺長(zhǎng)為50cm；（2）用米尺和千分尺分別測(cè)量單擺的擺長(zhǎng)和擺球的直徑各5次；（3）搭建單擺，用秒表測(cè)量50個(gè)周期的時(shí)間，重復(fù)5次；（4）計(jì)算測(cè)量結(jié)果，寫(xiě)出結(jié)果表達(dá)式；（5）檢驗(yàn)測(cè)量結(jié)果是否滿足Urg1%。2、驗(yàn)證單擺擺長(zhǎng)與振動(dòng)周期平方成正比關(guān)系。（1）依次設(shè)置擺長(zhǎng)為50、55、60、65、70、75、80cm，用秒表測(cè)量單擺擺動(dòng)50個(gè)周期的對(duì)應(yīng)時(shí)間，記錄數(shù)據(jù)；（2）分別作擺長(zhǎng)與擺動(dòng)周期、擺長(zhǎng)與擺動(dòng)周期平方關(guān)系圖。3、測(cè)量鋼絲的扭

7、轉(zhuǎn)系數(shù)及系統(tǒng)本身繞對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（圓環(huán)繞對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知）。（1）反別用電子天平和游標(biāo)卡尺測(cè)量圓環(huán)的質(zhì)量和內(nèi)、外直徑各5次，記錄數(shù)據(jù)；（2）搭建單線扭擺，用智能計(jì)時(shí)儀器測(cè)量系統(tǒng)本身繞鋼絲轉(zhuǎn)動(dòng)的5個(gè)周期，重復(fù)5次；（3）測(cè)量在爪手上水平放置圓環(huán)時(shí)整個(gè)系統(tǒng)繞鋼絲轉(zhuǎn)動(dòng)的5個(gè)周期，重復(fù)5次；（4）計(jì)算鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)及轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)本身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0；（5）計(jì)算K和I0的不確定度，寫(xiě)出結(jié)果表達(dá)式。4、用扭擺法測(cè)量鋼絲或銅絲的切變模量G。（1）用米尺測(cè)量擺線的有效長(zhǎng)度1次；（2）用千分尺測(cè)量不同處的直徑5次；（3）用游標(biāo)卡尺測(cè)量圓環(huán)內(nèi)、外直徑和高度各1次；（4）用電子天平稱量圓環(huán)的質(zhì)量1次；（5）搭建單線

8、扭擺，分別將圓環(huán)以水平和垂直兩種狀態(tài)放置在爪手上，用智能計(jì)時(shí)儀測(cè)量扭擺擺動(dòng)5個(gè)周期的時(shí)間5次；（6）計(jì)算鋼絲或銅絲的切變模量G和不確定度，寫(xiě)出結(jié)果表達(dá)式?！緦?shí)驗(yàn)方法和技術(shù)】1、單擺法測(cè)量當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋?選擇長(zhǎng)度為l的柔軟細(xì)繩與直徑為d的小球構(gòu)成單擺，不計(jì)空氣浮力的影響，使小球在豎直平面內(nèi)作小角度（不大于5）擺動(dòng)，粗測(cè)量重力加速度；2、對(duì)于數(shù)據(jù)的測(cè)量： 反復(fù)多次取平均值。【實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析和結(jié)論】1、單擺法測(cè)量重力加速度（擺角小于5）：表1.1 單擺數(shù)據(jù)擺球直徑（mm）擺長(zhǎng)（cm）單擺50個(gè)周期（s）120.00550.1071.66220.00550.0871.34320.00350.0771

9、.46420.00350.0871.47520.00250.1071.56平均值20.003650.08671.498U(y)0.000001m0.0002m0.03s平均周期：T=1.42996s；平均擺長(zhǎng)：l=0.500086m；擺球直徑平均值：d=0.0200036m；g=2T2l+d2=9.846m/s2Ug=(gT)2UT2+(gl)2Ul2+(gd)2Ud2=82l+d2T32Ug2+(2T)4Ug2+14(2T)4Ug2=0.001m/s2測(cè)量結(jié)果為：g=9.8460.001m/s2測(cè)量結(jié)果相較武漢本地的重力加速度(9.79 m/s2)偏大，造成誤差的可能原因有：（1）測(cè)量誤差，

10、對(duì)擺長(zhǎng)、小球直徑等的測(cè)量誤差；（2）在單擺實(shí)驗(yàn)中，擺線懸掛點(diǎn)不穩(wěn)定，影響單擺周期的測(cè)量；（3）計(jì)算為忽略空氣阻尼、擺線彈性以及小球形狀不規(guī)則的結(jié)果。2、驗(yàn)證單擺擺長(zhǎng)與振動(dòng)周期平方成正比的關(guān)系：表1.2 擺長(zhǎng)與周期數(shù)據(jù)記錄擺長(zhǎng)（cm）50個(gè)周期（s）周期（s）周期的平方（s2）5071.4414.29204.155574.5614.91222.376078.1615.63244.366581.4316.29265.237084.3116.86284.337587.1517.43303.808090.0018.00324.00作擺長(zhǎng)與擺動(dòng)周期以及擺長(zhǎng)與周期平方的圖像如下：圖1.1 擺長(zhǎng)周期圖由圖以

11、及線性回歸分析可知擺長(zhǎng)與擺動(dòng)周期的線性相關(guān)性很差；圖1.2擺長(zhǎng)周期平方圖由圖以及線性回歸分析可知擺長(zhǎng)與時(shí)間平方的線性相關(guān)性很好，且過(guò)原點(diǎn)，即擺長(zhǎng)與周期的平方成正比，由線性擬合的信息可知直線斜率為0.2466。3、測(cè)量鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)及系統(tǒng)本身繞對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：表1.3 圓環(huán)的基本參數(shù)數(shù)據(jù)記錄次數(shù)12345平均U(y)質(zhì)量(g)854.5854.6854.5854.5854.6854.540.05內(nèi)徑(cm)8.0008.0027.9968.0008.0028.0000.002外徑(cm)11.01011.01211.01011.00811.01011.0100.001表1.4 繞鋼絲轉(zhuǎn)動(dòng)的5個(gè)

12、周期系統(tǒng)本身轉(zhuǎn)動(dòng)5個(gè)周期時(shí)間(s)水平放置圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)5個(gè)周期時(shí)間(s)135.6290.09235.7590.18336.2091.12435.8489.78535.5790.23平均35.8090.28周期7.1618.06U(y)0.040.09轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及不確定度的計(jì)算： T0=7.16s T1=18.06s T02=42KI0 T12=42K(I0+I1) T12-T02=42KI1 I1=Mb2+c28=0.8540482+11.012810-4 kgm2=1.97710-3 kgm2 K=42I1T12-T02=2.8410-4 kgm2s-2 I0=T02K42=3.6810-4

13、kgm2 UI1=(b2+c28)2UM2+(2Mb8)2Ub2+(2Mc8)2Uc2=0.0001kgm2 UK=(42T12-T02)2UI12+2T142I1(T12-T02)22UT12+2T042I1(T12-T02)22UT02=0.00001 kgm2s-2 UI0=(T0242)2UK2+(2T0K42)2UT02=0.00002kgm2 結(jié)果表達(dá)式： K=(2.80.1)10-4kgm2s-2 I0=(3.70.2)10-4 kgm25、用扭擺法測(cè)量鋼絲或銅絲的切邊模量：表1.5 圓環(huán)參數(shù)數(shù)據(jù)記錄擺線長(zhǎng)（cm）擺線直徑(mm)圓環(huán)內(nèi)徑(mm)圓環(huán)外徑(mm)圓環(huán)高度(mm)圓

14、環(huán)質(zhì)量(g)147.110.38880.00110.1014.10854.720.39030.39340.39650.393平均47.110.392U(y)0.010.0030.010.010.010.1表1.6 圓環(huán)不同放置轉(zhuǎn)動(dòng)周期水平放置時(shí)5個(gè)周期時(shí)間(s)豎直放置時(shí)5個(gè)周期時(shí)間(s)161.5245.50261.0545.58361.2845.65461.3745.68561.2045.80平均61.2845.64周期12.269.13U(y)0.030.02 計(jì)算：圓環(huán)水平放置時(shí)周期：T1=12.26s圓環(huán)垂直放置時(shí)周期：T2=9.13s圓環(huán)繞中心軸作水平擺動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I1=Mb2+

15、c28=1.97710-3 kgm2圓環(huán)垂直擺動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I2=Mb2+c216+d212=1.00310-3 kgm2T12-T02=42KI1 T22-T02=42KI2 T12-T22=42K(I1-I2) K=42(I1-I2)T12-T22 K=5.7510-4kgm2s-2 G=2KLR4=1.171011kgm-1s-2 UG=(2LR4)2UK2+(8KLR5)2UR2=0.21011kgm-1s-2 測(cè)量結(jié)果：G=(1.20.2)1011kgm-1s-2【實(shí)驗(yàn)遇到的問(wèn)題及解決的方法】1、單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，擺長(zhǎng)長(zhǎng)度測(cè)量，由于繩有彈性，測(cè)量極不準(zhǔn)確，應(yīng)懸掛小球之后再進(jìn)行擺長(zhǎng)的測(cè)量；2、擺球不在同一平面內(nèi)作小角度單擺運(yùn)動(dòng)，應(yīng)在小球開(kāi)始擺動(dòng)后多等待一段時(shí)間，讓小球盡量穩(wěn)定在同一平面內(nèi)；3、扭擺法測(cè)切變模量實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量銅絲擺長(zhǎng)不夠準(zhǔn)確，且在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中為測(cè)量銅絲長(zhǎng)度導(dǎo)致銅絲折斷，更換至鐵絲后，實(shí)驗(yàn)3、4中的K值不同且實(shí)驗(yàn)3中的I0無(wú)法繼續(xù)在實(shí)驗(yàn)4中運(yùn)算，必須重新測(cè)量，或 在計(jì)算過(guò)程中消去I0。三、實(shí)驗(yàn)小結(jié)【體會(huì)或收獲】通過(guò)實(shí)驗(yàn)了解到了基礎(chǔ)物理測(cè)量的復(fù)雜，簡(jiǎn)單的物理量要通過(guò)多次反復(fù)地測(cè)量以減小誤差，對(duì)于測(cè)量的不確定度也要反復(fù)計(jì)算，細(xì)小的錯(cuò)誤就足以對(duì)所要測(cè)量的物理量的結(jié)果產(chǎn)生巨大影響，數(shù)據(jù)處理以及不確定度的計(jì)算需要合理利用計(jì)算機(jī)excel等工具。