生活中的優(yōu)化問題舉例教案01

1、§生活中的優(yōu)化問題舉例(2課時)教學(xué)目標(biāo)：1. 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用2. 提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題. 教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題. 教學(xué)過程： 一創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大(小)值的有力工具這一節(jié)，我們利 用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.二新課講授導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物

2、理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法： 首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系， 建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān) 系，并確定函數(shù)的定義域， 通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境， 即核心問題是建立適當(dāng) 的函數(shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中， 導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：三.典例分析例1 海報版面尺寸的設(shè)計學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dmf,上、下兩邊各空 2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使

3、四周空心面積最?。?28解：設(shè)版心的高為 xdm,則版心的寬為 dm,此時四周空白面積為x128512S(x) (x 4)(2) 128 2x8, x 0。xx求導(dǎo)數(shù)，得'512S (x)2 令。xA '512令S (x) 2 廠 0,解得x 16(x16舍去)。x于是寬為1281288。x 16當(dāng) x (0,16)時，S'(x)<0；當(dāng) x (16,)時，S'(x)>0.因此，x 16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2

4、飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響(1) 你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？(2) 是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？背景知識】：某制造商制造并出 售球型瓶 裝的某種飲料瓶子的 制造成本是0.8 r2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm問題：(1)瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大?(2)瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最?。?解：由于瓶子的半徑為 r，所以每瓶飲料的利潤是y f r0.2 433 r0.8 r230.8 r23,0 r 6令f r0.8 (r22r)0解得r 2 (r0

5、舍去)當(dāng)r 0,2時，fr0 ;:當(dāng)r2,6 時，fr 0.當(dāng)半徑r2時，fr0匕表示f:r單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高;當(dāng)半徑r 2時,r 0它表示f r單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低.(1) 半徑為2 cm時，利潤最小，這時 f 2 0，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值.(2) 半徑為6 cm時，利潤最大.換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)r 3時，f 3 0,即瓶子的半徑為 3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)r 3時，利潤才為正值.當(dāng)r 0, 2時，f r 0 , f r為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半

6、徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為2cm時，利潤最小.例3 .磁盤的最大存儲量問題計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特(bit )。為了保障磁盤的分辨率，小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利，問題：(1)(2)磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長度不得磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域.磁盤的存儲量越大？現(xiàn)

7、有一張半徑為 是不是r越小， r為多少時，磁盤具有最大存儲量(最外面的磁道不存儲任何信息)？解：由題意知：存儲量 =磁道數(shù)x每磁道的比特數(shù)。設(shè)存儲區(qū)的半徑介于 r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存m儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達乙丄。所以，磁盤總存儲量nR r 2 r 2 f(r)xr(R r)m n mn(1)它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.f (r)2rmn(2)為求f (r)的最大值，計算f (r)0 .R令f (r)0,解得

8、r -2f (r)0 ;當(dāng)rf (r) 0.2 R2mn 4R因此r -時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例4 .汽油的使用效率何時最高我們知道，汽油的消耗量 w (單位：L)與汽車的速度v (單位：km/h)之間有一定 的關(guān)系，汽油的消耗量 w是汽車速度v的函數(shù).根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題：(1) 是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？(2) “汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率(單位：L/m )就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G，其中，w表示汽油消耗量(單位：L),ss表示汽油行駛的路程 (單位：km).

9、這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的問題.通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率g (即每小時的汽油消耗量，單位：L/h)與汽車行駛的平均速度 V (單位:km/h)之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系g f v .因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題.平均消耗率g （即每小時的汽油消耗量， 單位：L/h ）與汽車行駛的平均速度 v （單位：km/h） 之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題.w解：因為 G w i gs S Vt這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求g的最小值從圖象上

10、看，g表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜VV率進一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最小在此切點處速度約為90 km/h 因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為 90 km/h 從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即f 90 ,約為L 例5 在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時， 箱底的容積最大？最大容積是多 少？2容積V(x)x2h60x223x(0 x 60) V (x)60x3x2(0 x 60)2令 V (x)60x=0，解得2x=0（

11、舍去），x=40,并求得 V（40）=16 000由題意可知，當(dāng)x過小（接近0）或過大（接近 是最大值答：當(dāng)x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是 解法二：設(shè)箱高為xcm,則箱底長為（60-2 x）cm,60）時，箱子容積很小，因此， 16 00016 000cm360-2xxI” 60-2x解法一：設(shè)箱底邊 長為xcm,則箱高 h 60- cm,得箱子2則得箱子容積V(x) (602x) x(0 x 30).(后面同解法一，略)由題意可知，當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處.事實上，可導(dǎo)函數(shù) V (x) x2h2360 xx2、V(x)(602x)2x在各自的定義域中都

12、只有一個極值點， 從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例6.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設(shè)圓柱的高為 h,底半徑為R,則表面積S=2 n Rh+2n R由V=n R?h,得h 匕，貝UR2V7 2V 7S(R)= 2 n R一- + 2 n FT=+2 n FTRR即 h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值使所用材料最?。縎時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能提示：S=2 Rh + 2 R2S 2 R

13、2h= 2S 2 R2R2 = -(S22R2)R1 -SR2R3V'(R)=0 S 6R26 R22 Rh2 R222例6.在經(jīng)濟學(xué)中，生產(chǎn) 品的收益稱為收益函數(shù)，記為x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)R(x) , R(x) C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。(1)、如果C(x) = 10 6x30.003x2 5x 1000，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際C (x)最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量)(2)、如果C(x)=50x + 10000，產(chǎn)品的單價P= 100 ,那么怎樣定價，可使利潤最大?變式：已知某商品生產(chǎn)成本 C與產(chǎn)量q的函數(shù)

14、關(guān)系式為 C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的1函數(shù)關(guān)系式為 p 25-q 求產(chǎn)量q為何值時，利潤 L最大？8分析：利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價格由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.1 1 2解：收入 R q p q 25 q 25q q ,881 2 1 2利潤 L R C 25q q (100 4q) q 21q 100 (0 q 100)8 81L q 2141令L 0，即 一q 210,求得唯一的極值點q 844答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大例7 一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值 S時，使得濕周

15、匸AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時 的高h(yuǎn)和下底邊長b.1 /3解：由梯形面積公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC, DE=h,BC=b AD=h+b,3/ CD=cos302 3 S=(-h 2b)h (止 h b)h2 3322h ,AB=CD. I=h X 2+b3 、3由得b= Shh,代入，亠h3S 丄4.3,當(dāng)bp時,l' <叫3時,I' >0.Sh=4.3 時,I取最小值，此時例8 已知矩形的兩個頂點位于 x軸上，另兩個頂點位于拋物線 y = 4 x2在x軸上方 的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長.【解

16、】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為(x, y),且x > 0, y > 0,則另一個在拋物線上的頂點為(一x, y),在x軸上的兩個頂點為(一x, 0)、(x, 0),其中0v x v2.設(shè)矩形的面積為 S,貝U S = 2 x (4 x2), 0 v x v 2.由 S'(x)= 8 6 x2= 0，得 x =，易知34x = 是S在(0, 2)上的極值點，3即是最大值點，所以這種矩形中面積最大者的邊長為2.3和8.3 3【點評】應(yīng)用題求解，要正確寫出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件.應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值.練習(xí)：1 :

17、一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫費 40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？【解】假設(shè)每次進書 x千冊，手續(xù)費與庫存費之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即y = 150 X 30 + - X40, y' x2令 y' = 0,得 x = 15,且 yf!4500"+ 20,x9000,f (15)> 0,x所以當(dāng)x = 15時，y取得極小值，且極小值唯一，150故 當(dāng)x = 15時，y取得最小值，此時進貨次數(shù)

18、為150 = 10 (次).15即該書店分10次進貨，每次進15000冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少.2:有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千 米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費用最?。俊窘狻吭O(shè)水廠D點與乙城到岸的垂足 B點之間的距離為x千米，總費用為y元，則 CD = - x2402 .y = 500 (50 x) + 700 x21600=25000 500 x + 700 Jx2 1600 ,11 一 y' = 500+ 700 一 (x2+ 1600) 2 2 x2_700x_ x2160050 J 6令y '= 0,解得x =曲6答：水廠距甲距離為 50- 50 6千米時，總費用最省.3【