數值計算方法復習

1、2016計算方法復習務必通過本提綱例子和書上例子掌握如下書本內容：1. 會高斯消去法；會矩陣三角分解法；會Cholesky分解的平方根法求解方程組2. 會用插值基函數；會求Lagrange, 會計算差商和Newton插值多項式和余項3. 會Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩陣，譜半徑，收斂性4. 會寫非線性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速5. 會用歐拉預報校正法和經典四階龍格庫塔法求解初值問題6. 會最小二乘法多項式擬合7. 會計算求積公式的代數精度；(復化)梯形公式和(復化)辛普生公式求積分；高斯-勒讓德求積公式第1章、數值計算引論(一)考核知識點誤

2、差的來源類型；絕對誤差和絕對誤差限，相對誤差和相對誤差限，有效數字；誤差的傳播。(二) 復習要求1.了解數值分析的研究對象與特點。2.了解誤差來源與分類,會求有效數字; 會簡單誤差估計。3.了解誤差的定性分析及避免誤差危害。（三）例題例1. 設x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數字。例2. 為了提高數值計算精度, 當正數充分大時, 應將改寫為 。例3. 的相對誤差約是的相對誤差的1/3 倍.第2章、非線性方程的數值解法(一)考核知識點對分法；不動點迭代法及其收斂性；收斂速度; 迭代收斂的加速方法；埃特金加速收斂方法；Steffensen斯特芬森迭代法；牛頓法；弦截法

3、。(二) 復習要求1.了解求根問題和二分法。2.了解不動點迭代法和迭代收斂性；了解收斂階的概念和有關結論。3.理解掌握加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛頓法及其收斂性、下山法, 了解重根情形。5.了解弦截法。（三）例題1.為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是( )(A) (B)(C) (D)迭代公式解：在(A)中,=1.076故迭代發(fā)散。應選擇(A)?？梢则炞C在(B)，(C)， (D)中，j(x)滿足，迭代收斂。2.用Newton法求方程在區(qū)間內的根, 要求。解 此方程在區(qū)間內只有一個根，而且在區(qū)間

4、（2，4）內。設則 ， Newton法迭代公式為， 取，得。 3設可微，求方程根的Newton迭代格式為4. 牛頓切線法是用曲線f(x)上的點的切線與x軸的交點的橫坐標逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲線f(x)上的；兩點的連線與x軸的交點的橫坐標逐步逼近f(x)0的解.5. 試確定常數使迭代公式 .產生的序列收斂到，并使收斂階盡量高.解 因為迭代函數為，而.根據定理知，要使收斂階盡量高，應有，由此三式即可得到所滿足的三個方程為： ，.解之得，且，故迭代公式是三階收斂的.P25.例2-4P30.例2-6P33.例2-8P35例2-10P35.例2-11P38.例2-13P39.例2-14P

5、41.例2-16P45.例2-18P48.例2-20第3章、線性代數方程組的數值解法(一)考核知識點高斯消去法，列主元消去法；矩陣三角分解法；平方根法；追趕法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法，超松弛迭代法SOR，迭代解數列收斂的條件。(二) 復習要求1.了解矩陣基礎知識，了解向量和矩陣的幾種范數。2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4.掌握直接三角分解法，平方根法，了解追趕法，了解有關結論。5.了解矩陣和方程組的性態(tài)，會求其條件數。6.了解迭代法及其收斂性的概念。7.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭

6、代法。（三）例題1.分別用順序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脫爾分解)求解線性方程組解：1) Gauss消去法，回代 x3=3, x2=2, x1=12) 直接三角分解法(杜利脫爾分解)：=LU解Ly=b得y=(14,-10,-72)T解，Ux=y得x=(1,2,3)T2. 用平方根法（Cholesky分解）求解方程組：解：由系數矩陣的對稱正定性，可令，其中L為下三角陣。求解可得，求解可得3.討論的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收斂性其中，解：Jacobi迭代法的迭代矩陣則Jacobi迭代收斂Gauss-Seidel迭代矩陣Gauss-Seidel迭代發(fā)散.4.已知方

7、程組，其中，(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；(2)討論上述兩種迭代法的收斂性。解：（1）Jacobi迭代法： Jacobi迭代矩陣： 收斂性不能確定 （2）Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代矩陣： 該迭代法收斂 5. 給定方程組，用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法是否收斂？解：由系數矩陣可知，（1）雅可比迭代矩陣為，由可知，因而雅可比迭代法發(fā)散。（2）高斯-塞德爾迭代矩陣為，由可知，因而高斯-塞德爾迭代法收斂。P68.例3-3P68.例3-4P72.例3-5P76.例3-7P77.例3-8P78.例3-9P79.例3-10P8

8、8.例3-15P89.例3-16P91.例3-17P98.例3-24P110.例3-30P111.例3-31P118.例3-36第4章、插值法(一)考核知識點插值多項式，插值基函數，拉格朗日插值多項式，差商及其性質，牛頓插值多項式，差分與等距插值；分段線性插值；樣條函數，三次樣條插值函數。(二) 復習要求1.了解插值的概念。2.掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余項公式。3.了解均差的概念及基本性質，掌握牛頓插值法。4.了解差分的概念，會牛頓前插公式、后插公式。5.了解埃爾米特(Hermite)插值及其余項公式。6.知道高次插值的病態(tài)性質,會分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂

9、性。7.會三次樣條插值,知道其誤差和收斂性。（三）例題例1. 設,則-x(x-2)，的二次牛頓插值多項式為;例2. 設l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3為互異節(jié)點的三次插值基函數,則= 例3. 給定數據表：，1246741011求4次牛頓插值多項式，并寫出插值余項。解：一階差商二階差商三階差商四階差商1421-34061710由差商表可得4次牛頓插值多項式為：，插值余項為。例4 已知函數y=f(x)的觀察數據為xk2045yk5131試構造f(x)的拉格朗日多項式Pn (x)，并計算f(1)。解 先構造基函數 所求三次多項式為P3(x)= P3(1)例5.

10、 已知一組觀察數據為012123試用此組數據構造Lagrange插值多項式, 并求。解： ，所以 =，。例6.，求，.解：，P130.例4-4P131.例4-5P133.例4-7P135.例4-10P142.例4-13P143.例4-14P145.例4-15第5章、曲線擬合(一)考核知識點勒讓德多項式；切比雪夫多項式；曲線擬合; 最小二乘法，正則方程組，線性擬合,超定方程組的最小二乘解,多變量的數據擬合,多項式擬合;正交多項式曲線擬合.(二) 復習要求1.了解函數逼近的基本概念,了解范數和內積空間。2.了解正交多項式的概念,了解切比雪夫多項式和勒讓德多項式以及它們的性質,知道其他常用正交多項式

11、。3.了解曲線擬合的最小二乘法并會計算,了解用正交多項式做最小二乘擬合。（三）例題1已知實驗數據如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求一個形如的經驗公式，使它與下列數據相擬合，并求均方誤差。解：由題意，。故法方程為，解得。均方誤差為2. 給定數據表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數據.解 ， 正則方程 的解為， 得到三次多項式P174.例5-1P176.例5-3P178.例5-5P180.例5-6P181.例5-7P182.例5-8第6章、數值積分與數值微分(一)考核知識點代數精度；插值型求積公式，牛

12、頓柯特斯公式，梯形公式和辛普森公式, 復合求積公式，求積公式的誤差，步長的自動選擇，龍貝格求積公式，高斯型求積公式。(二點、三點)高斯勒讓德求積公式。(二) 復習要求1.了解數值求積的基本思想、代數精度的概念、插值型求積公式及其代數精度、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性。2.掌握牛頓-柯特斯公式及其性質和余項; 梯形公式和辛普生公式.3. 掌握復化梯形公式和復化辛普森公式及其余項。4. 掌握龍貝格(Romberg)求積算法。5.會高斯求積公式。（三）例題1用下列方法計算積分，并比較結果。(1)龍貝格方法； (2)三點及五點高斯公式.解: (1)采用龍貝格方法可得k01.33333311.1666671

13、.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式時 此時 令則利用三點高斯公式，則利用五點高斯公式，則2.用復化梯形公式和復化辛普森公式計算下列積分：； n=8;解：。精確值為。P200.例6-5P205.例6-8P207.例6-9P210.例6-11P213.例6-12P214.例6-13P216.例6-14P219.例6-15P225.例6-17,例6-18第7章、常微分方程初值問題的數值解法(一)考核知識

14、點歐拉法, 后退歐拉法；梯形公式; 改進歐拉法；龍格庫塔法，局部截斷誤差。(二) 復習要求1.掌握歐拉法和改進的歐拉法，知道其局部截斷誤差。2. 知道龍格¾庫塔法的基本思想。知道二階、三階龍格¾庫塔法。掌握四階龍格庫塔法，知道龍格¾庫塔法的局部截斷誤差。（三）例題例1 用歐拉法解初值問題,取步長h=0.2。解h=0.2, f(x)=yxy2。首先建立歐拉迭代格式 當k=0，x1=0.2時，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)»y1=0.2×1(40×1)0.8當k1,x2=0.4時,已知x1=0.2, y1=0.8,有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(40.2×0.8)0.614 4當k=2,x3=0.6時,已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0.6)»y3=0.2×0.6144×