[理]階段質量檢測(八)平面解析幾何doc

1、階段質量檢測 (八 )平面解析幾何(時間 120 分鐘，滿分150 分 )第卷(選擇題，共50 分)一、選擇題 (本大題共10 小題在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1拋物線 y2 ax(a 0)的焦點到其準線的距離是()|a|B.|a|C |a|D aA. 422解析： 由已知焦點到準線的距離為p |a|2 .答案： B2過點 A(4，a)與 B(5 ，b)的直線與直線yx m 平行，則 |AB|()A 6B. 2C 2D不確定b a解析： 由題知 1， b a1.5 4 |AB| (5 4) 2 (b a) 2 2.答案： B223已知雙曲線x y 1 的離心率為 e，拋

2、物線 x 2py2 的焦點為 (e,0)，則 p 的值為 ()41211A 2B 1C. 4D.16解析： 依題意得 e 2，拋物線方程為y21 x，故1 2，得 p1 .2p8p16答案： D4若直線 ax 2by 2 0(a 0，b 0)始終平分圓x2 y2 4x 2y 8 0 的周長， 則 12的 a b最小值為()A 1B 5C4 2D32 2解析： 由 (x 2)2 (y 1)2 13，得圓心 (2,1)， 直線平分圓的周長，即直線過圓心 a b 1. 12 (1b2a3 22，2)(a b) 3 bab abab2a當且僅當 a b ，即 a2 1， b22時取等號，1 2 a b

3、的最小值為 3 2 2.答案： D5 ABC 的頂點 A( 5,0)， B(5,0) ， ABC 的內切圓圓心在直線x 3 上，則頂點 C 的軌跡方程是()22B.x22A.x y 1 y 19161692222C.x y 1(x 3)D. x y 1(x 4)916169解析： 如圖 |AD | |AE| 8， |BF |BE| 2， |CD| |CF |，所以 |CA| |CB|8 2 6.x2根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B 為焦點， 實軸長為6 的雙曲線的右支，方程為 9 y216 1(x 3)答案： Cx2y2y5e6雙曲線 22 1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為

4、5x(e 為雙曲線離心率 )，則有 ()abA b 2aB b 5aC a2bD a 5bb 5解析： 由已知 a 5 e， ba 55× ca， c 5b，又 a2 b2 c2， a2 b2 5b2， a2b.答案： C7拋物線 y 4x2 上的一點 M 到焦點的距離為1，則點 M 的縱坐標是()1715C 1517A.16B.1616D161解析： 準線方程為y16，115由定義知16 yM 1? yM16.答案： C228 (2009 全·國卷 )雙曲線 x y 1 的漸近線與圓 (x 3)2 y2 r2(r>0) 相切，則 r ()63A. 3B 2C 3D

5、6解析： 雙曲線的漸近線方程為y ±1 x 即 x± 2y 0 ，圓心 (3,0) 到直線的距離d2|3| 3.( 2)2 1答案： A22x y2的左、右焦點分別為F 1、 F，其一條漸近線9 (2009 四·川高考 )已知雙曲線 1(b>0)22b方程為 y x，點 P(3，y0)在該雙曲線上，則PF ·PF()12A 12B 2C 0D 4解析： 由漸近線方程yx 得 b2，x2y2點 P(3， y0) 代入 2 b2 1 中得 y0 ±1.不妨設 P(3， 1)， F 1(2,0)， F 2( 2,0)， PF ·PF

6、(23， 1) ·( 2 3， 1)12341 0.答案： C10(2009 天·津高考 )設拋物線 y2 2x 的焦點為 F ，過點 M (3，0)的直線與拋物線相交于A、S BCF B 兩點，與拋物線的準線相交于點C， |BF | 2，則 BCF 與 ACF 的面積之比 S ACF()42C.41A.5B.37D.2解析：如圖過A、 B 作準線 l： x= 1 的垂線，垂足分別為A1， B1，2由于 F 到直線 AB 的距離為定值S BCF|BC|S ACF |CA|.又 B1BC A1AC.|BC|BB1 | |CA| |AA1 |，由拋物線定義|BB1|BF |2

7、.|AA1|AF |AF |3由 |BF | |BB1 | 2 知 xB 2， yB3，3 AB： y 03(x 3) 3 2y2把 x 2 代入上式，求得yA 2， xA2，5 |AF | |AA1| 2.S BCF|BF|24故 S ACF |AF | 55. 2答案： A第 卷(非選擇題，共100 分 )二、填空題 (本大題共5 小題請把正確答案填在題中橫線上)2x211若雙曲線 a2 y 1的一個焦點為(2,0) ，則它的離心率為 _解析： 由 a2 14， a3， e 2 2 3. 3 3答案： 23312已知點 ( x0， y0)在直線ax by 0(a， b 為常數(shù) )上，則(

8、x0 a)2 (y0 b)2的最小值為_解析：(x0 a)2 (y0 b)2可看作點 (x0，y0 )與點 ( a，b)的距離而點 (x0， y0)在直線 axby 0 上，所以|a·a b·b|(x0 a)2 (y0 b)2的最小值為點 ( a，b) 到直線 ax by 0 的距離a2 b2 a2 b2.答案：a2 b213 (2009 福·建高考 )過拋物線y2 2px(p>0)的焦點 F 作傾斜角為 45°的直線交拋物線于A、B 兩點，若線段 AB 的長為8，則 p _.解析： 由焦點弦 |AB|2p得 |AB|2p，22sin sin 45

9、° 2p |AB|× 12， p 2.答案： 214直線 l 的方程為 y x 3，在 l 上任取一點 P，若過點 P 且以雙曲線12x2 4y2 3 的焦點為橢圓的焦點作橢圓，那么具有最短長軸的橢圓方程為_解析： 所求橢圓的焦點為 F 1( 1,0)，F(xiàn) 2(1,0),2a |PF 1 | |PF 2|.欲使 2a 最小，只需在直線l 上找一點 P，使 |PF 1| |PF 2|最小，利用對稱性可解x2y2答案： 54 12A，與拋物線準15過拋物線 y 2px( p>0)的焦點 F 的直線 l 與拋物線在第一象限的交點為線的交點為 B，點 A 在拋物線準線上的射影

10、為C，若 AF FB ， BA ·BC 48，則拋物線的方程為 _解析： 設拋物線的準線與x 軸的交點為D ，依題意， F 為線段 AB 的中點，故 |AF | |AC| 2|FD | 2p，|AB|2|AF | 2|AC| 4p， ABC30°， | BC |23p，BA ·BC 4p·2 3p·cos30 ° 48，解得 p 2， 拋物線的方程為y2 4x.答案： y2 4x三、解答題 (本大題共6 小題解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16已知：圓C： x2 y2 8y 12 0，直線 l： ax y 2a 0.(

11、1) 當 a 為何值時，直線l 與圓 C 相切；(2) 當直線 l 與圓 C 相交于 A、 B 兩點，且 AB 2 2時，求直線 l 的方程解：將圓 C 的方程 x2 y2 8y 12 0 配方得標準方程為x2 (y 4)2 4，則此圓的圓心為 (0,4) ，半徑為 2.(1) 若直線 l 與圓 C 相切，則有|4 2a| 2.a2 1解得 a34.(2) 過圓心 C 作 CD AB，則根據(jù)題意和圓的性質，|4 2a|CD，a2 1得 CD2 DA 2 AC2 22，1DA 2AB2.解得 a 7，或 a 1.故所求直線方程為7x y 14 0 或 xy 2 0.17過點 P(2,4)作兩條互

12、相垂直的直線l1、 l2 ，若 l1 交 x 軸于 A 點， l2 交 y 軸于 B 點，求線段 AB 的中點 M 的軌跡方程解： 設 M 的坐標為 (x， y)，則 A、 B 兩點的坐標分別是(2x,0)， (0,2y)，連結 PM，l1 l2 ，2|PM |=|AB|.而 |PM| = ( x2)2( y4)2 ，|AB|= (2 x) 2(2 y)2,2 ( x 2)2( y 4)24x 24 y2 .化簡，得x+2y-5=0 即為所求的軌跡方程18 (2010 南·通模擬 )已知動圓過定點F(0,2)，且與定直線L ： y 2 相切(1) 求動圓圓心的軌跡 C 的方程；(2)

13、 若 AB 是軌跡 C 的動弦，且 AB 過 F(0,2)，分別以 A、 B 為切點作軌跡 C 的切線，設兩切線交點為 Q，證明： AQ BQ.解： (1) 依題意，圓心的軌跡是以F (0,2)為焦點， L： y 2 為準線的拋物線因為拋物線焦點到準線距離等于4，所以圓心的軌跡是x28y.(2) 證明：因為直線 AB 與 x 軸不垂直，設 AB： y kx 2.A(x1， y1) ，B(x2， y2) y kx2，由1 2 y 8x ，可得 x2 8kx 16 0，x1 x2 8k， x1x2 16.1 21拋物線方程為y 8x，求導得 y 4x.11111所以過拋物線上A、 B 兩點的切線斜

14、率分別是k14x1， k24x2，k1k24x1·4x216x1·x2 1.所以 AQ BQ.19給定拋物線 C：y2 4x，F(xiàn) 是 C 的焦點，過點F 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點，記 O為坐標原點(1) 求 OA ·OB 的值；(2) 設 AF FB ，當 OAB 的面積 S 2， 5 時，求 的取值范圍解： (1) 根據(jù)拋物線的方程可得焦點F(1,0)，設直線 l 的方程為x my 1，將其與 C 的方程聯(lián)立，消去x 可得 y2 4my4 0.設 A，B 點的坐標分別為 (x1， y1)， (x2， y2)(y1>0> y2)，則 y

15、1y2 4.因為 y21 4x1， y22 4x2，12 2所以 x1x2 16y1y2 1，故 OA ·OB x1x2y1y2 3.(2) 因為 AF FB ，所以 (1 x1， y1) (x2 1， y2)，1 x1 x ，2即 y1 y2，又 y12 4x1，22 4x2 ，y21由 消去 y1，y2 后，得到 x1 x2，將其代入 ，注意到 >0 ，解得 x2 .從而可得y22，y1 211故 OAB 的面積 S |OF | ·|y1 y2|，2因 1 2 恒成立，所以只要解 1 5即可，3 53 5.解之得22120已知 A、B、D 三點不在一條直線上，且A

16、( 2,0)，B(2,0)，| AD|2， AE 2( AB AD )(1) 求 E 點的軌跡方程；(2) 過 A 作直線交以A、B 為焦點的橢圓于M ，N 兩點， 線段 MN 的中點到y(tǒng) 軸的距離為45，且直線MN 與 E 點的軌跡相切，求橢圓的方程解： (1) 設 E (x， y)，由 AE 12( AB AD )，可知 E 為線段 BD 的中點，又因為坐標原點O 為線段 AB 的中點，所以 OE 是 ABD 的中位線，所以 |OE1AD | 1，| |2所以 E 點在以 O 為圓心， 1 為半徑的圓上，又因為 A， B， D 三點不在一條直線上，所以 E 點不能在 x 軸上，所以 E 點

17、的軌跡方程是 x2y2 1(y 0)22(2) 設 M (x1， y1)， N(x2， y2)，中點為 (x0， y0)，橢圓的方程為x2y 1，直線 MN 的aa2 4方程為 yk( x 2)( 當直線斜率不存在時不成立)，由于直線 MN 與圓 x2 y2 1(y 0)相切，|2k|3所以21，解得 k ±3 ，k 13所以直線 MN 的方程為y ±3 (x2)，3x22將直線 y ±2y3(x 2)代入方程a 1，a2 4整理可得： 4(a23)x24a2x 16a2 3a40，所以 x0x1 x2a22.2(a2 3)又線段 MN 的中點到 y 軸的距離為4

18、，52a 4即 x0 2(a2 3) 5，解得 a 2 2.x2y2故所求的橢圓方程為8 41.21 (2010 ·東北四市模擬)已知 O 為坐標原點，點A、 B 分別在 x 軸， y 軸上運動，且 |AB|3 8，動點 P 滿足 AP 5 PB ，設點 P 的軌跡為曲線C，定點為 M (4,0) ，直線 PM 交曲線 C 于另外一點Q.(1) 求曲線 C 的方程；(2) 求 OPQ 面積的最大值解： (1) 設 A(a,0)， B(0， b)， P(x， y)，則 AP (xa， y)， PB ( x，b y)， AP 35 PB ，3x a 5x， a 8x， b8y.353y5(b y).2222xy又 |AB| a b 8， 25 9 1. 曲線 C 的方程為 x2y225 91.x2y2(2) 由 (1)可知， M (4,0)為橢圓259 1