經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課后答案(概率統(tǒng)計(jì)第三分冊(cè))綜述

1、70寫(xiě)出下列事件的樣本空間：（1）把一枚硬幣拋擲一次；（2）把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次；（3）擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止；（4）一個(gè)庫(kù)房在某一個(gè)時(shí)刻的庫(kù)存量（假定最大容量為M）.解（1）Q=正面，反面正，反（2） =（正、正），（正、反），（反、正），（反、反）（3） =（正）,（反,正），（反,反，正），（4） q=x；0x0.P(B)HP(A18 .已知RA)=a,P(B)=b,ab#O(b0.3a),RAB=0.7a,求P(B+A),P(B-A),P(B+A).解由于AB與AB互不相容，且A=(ABl+AB因此有RA6=RAl-P(A-B)=0.3aRA+B=RA)+P(B)P(AB=

2、0.7a+bRBA)=P(B)-RAB=b-0.3aP(b+A)=1-P(AB=1-0.3a19 .50個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中一次抽取三個(gè)，計(jì)算取到廢品的概率.解設(shè)事件A表示“取到廢品”，則A表示沒(méi)有取到廢品，有利于事件入的樣本=1- P( A) = 1-點(diǎn)數(shù)目為#A=C：6,因止匕RA)=0.225520 .已知事件BnA,P(A)=lnb豐0,P(B)=lna,求a的取值范圍.解因B=A故RBARA),即lnanlnb,=anb,又因RA)0,P(B)W1,可得b1,awe,綜上分析a的取值范圍是：1bae21 .設(shè)事件A與B的概率都大于0,比較概率RA),RAB,RA+B

3、),P(A)+RB)的大小(用不等號(hào)把它們連接起來(lái)).解由于對(duì)任何事件A,B,均右ABAA+B且RA+B=RA)+RB)-P(AB,RABA0,因此有RABP(A)P；A+B)=0.93，RB|a)=0.85_P(A+B)=P(A+P(AB)=P(A)+P(a)P(B|a)_=0.92+0.08X0.85=0.988P(Ab)=RA+B)-P(B)=0.988-0.93=0.05825 .分析學(xué)生們的數(shù)學(xué)與外語(yǔ)兩科考試成績(jī)，抽查一名學(xué)生，記事件A表示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，B表示外語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀，若RA)=RB)=0.4,RAB=0.28,求P(A1B),RBA),P(A+B).解RA|均=迪=空8=0.7

4、P(B)0.4RB1 A)=P:0.7P(A)26.RA+B=RA)+P(B)-P(AB=0.52設(shè)AB是兩個(gè)隨機(jī)事件.0RA)1,0RB)0,故A與B不可能互不相容.29 .某種電子元件的壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.8,求3個(gè)這種元件使用1000小時(shí)后，最多只壞了一個(gè)的概率.解設(shè)事件Ai表示“使用1000小時(shí)后第i個(gè)元件沒(méi)有壞”，i=1,2,3,顯然A,A,A相互獨(dú)立，事件A表示“三個(gè)元件中最多只壞了一個(gè)，則A=AAA+A1AA+AA2A+A1AA3,上面等式右邊是四個(gè)兩兩互不相容事件的和，且RA)=RA)=RA)=0.8PA)=P(A1)3+3t(A1)2P(A1)=0.83+3X0

5、.82X0.2=0.89630 .加工某種零件，需經(jīng)過(guò)三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別為0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無(wú)關(guān)，求零件的合格率.解設(shè)事件A表示“任取一個(gè)零件為合格品”，依題意A表示三道工序都合格.RA)=(10.3)(10.2)(10.2)=0.44831 .某單位電話(huà)總機(jī)的占線(xiàn)率為0.4,其中某車(chē)間分機(jī)的占線(xiàn)率為0.3,假定二者獨(dú)立，現(xiàn)在從外部打電話(huà)給該車(chē)間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m為任何正整數(shù)).解設(shè)事件A表示“第i次能打通”，i=1,2,，m,則RA)=(10.4)(1-0.3)=0.

6、42RA)=0.58X0.42=0.2436RAn)=0.58-1X0.4232 .一間宿舍中有4位同學(xué)的眼鏡都放在書(shū)架上，去上課時(shí)，每人任取一副眼鏡，求每個(gè)人都沒(méi)有拿到自己眼鏡的概率.解設(shè)A表示“第i人拿到自己眼鏡”，i=1,2,3,4.P(A)=,設(shè)事件B4表示“每個(gè)人都沒(méi)有拿到自己的眼鏡”.顯然B則表示“至少有一人拿到自己的眼鏡”.且b=A1+A2+A3+A.Rb)=RA+A+A+A)4=p(A)-P(AA)、P(AAjAk)-P(AA2A3A4)i31玉:j豈19jkRAA)=P(A)RA1A)_ 1 1一一一4 31=12(1 ij4)RAAA尸RA)RAIA)P(A|AA)=1x1

7、x1=(1ijk0.5,RA)0,又設(shè)一個(gè)蟲(chóng)卵能孵化為昆蟲(chóng)的概率等于p(0p n0 _k _nn * (n k)! P(Bk)”n-k z0 (n -k)!-e_e q ( p) e_pk=0,1,2,k其中q=1p.應(yīng)用全概率公式有P(Bk)八P(An)P(Bk|An)八P(A)P(Bk|An)n3n*二二nx-,n!kn_k二一epqn土n!k!(n-k)!(p)ke-=(q)nik!n+(n-k)!由于克(Zq嚴(yán)q)i=e用，所以有習(xí)題二1 .已知隨機(jī)變量X服從01分布，并且RXW0=0.2,求X的概率分布.解X只取0與1兩個(gè)值，RX=0=PX0-PX0.所以它可以是一個(gè)離散型概率分布.

8、11 .隨機(jī)變量X只取1,2,3共三個(gè)值，其取各個(gè)值的概率均大于零且不相等并又組成等差數(shù)列，求X的概率分布.解設(shè)RX=2=a,KX=1=ad,RX=3=a+d.由概率函數(shù)的和為1,可知a=l,但是ad與a+d均需大于零，3因此1d|1,X的概率分布為3X123P1-d11+d333其中d應(yīng)滿(mǎn)足條件：a0,求常數(shù)c.,m解1=p；X=m=-e，m1m.1m!-.m-m由于生=1+fL=e%所以有m衛(wèi)m!m4m!.二C.m、e-=c(e“-1)e-=c(1-e-)=1m4m!1解得c二1-e-13 .甲、乙二人輪流投籃，甲先開(kāi)始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人投籃的命中率分別為0.4及0.5,

9、求：(1)二人投籃總次數(shù)Z的概率分布；(2)甲投籃次數(shù)X的概率分布；(3)乙投籃次數(shù)Y的概率分布.解設(shè)事件A表示在第i次投籃中甲投中，j表示在第j次投籃中乙投中，i=1,3,5,，j=2,4,6,，且A,B2,A,B4,相互獨(dú)立.PZ2k-1二pA1B1A2k2B2k_2A2kJ.=(0.6X0.5)J0.4=0.4(0.3)k=1,2,PZ=2k)=p(A1B1A2kaB2k2A2kB2k)=0.5x0.6x(0.6X0.5)J=0.3k_k=1,2,(2) p收=n.=pA1B1A2njB2n2A2n1,PA1B1A2n與B2nNA2n/B2nK0.60.5)n1(0.40.60.5)n1

10、一=0.70.3n=1,2,(3) P；Y=04=P(A)=0.4PlYn,=P.A1B1A2n-B2n.P.A1B1A2n1B2nA2n1J=(0.60.5)n10.6(0.50.50.4)=0.420.3nAn=1,2,14.一條公共汽車(chē)路線(xiàn)的兩個(gè)站之間，有四個(gè)路口處設(shè)有信號(hào)燈，假定汽車(chē)經(jīng)過(guò)每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過(guò)，具概率為0.6,遇到紅燈或黃燈則停止前進(jìn)，其概率為0.4,求汽車(chē)開(kāi)出站后，在第一次停車(chē)之前已通過(guò)的路口信號(hào)燈數(shù)目X的概率分布(不計(jì)其他因素停車(chē)).解X可以取0,1,2,3,4.PX=0=0.4PX=1=0.6XO.4=0.24PX=2=0.62X0.4=0.144PX=3=

11、0.63X0.4=0.0864PX=4=0.64=0.129615.f(x)=/sin x,0,x Wa , b, 其他.問(wèn)f(x)是否為一個(gè)概率密度函數(shù)，為什么？如果/打3(1) a=0,b=;(2)a=0,b=jt；(3)a=兀,b=兀.22解在0, m與,兀2 sin xdx =1,而在卜2 上,sinx W0.因此只有(1)中的a,b可以使f (x)是兀上，SinXA0,但是J0sinxdx=1,個(gè)概率密度函數(shù).(x2x_27,、c16.f(x)=cex0,0,x0,問(wèn)f(x)是否為密度函數(shù)，為什么？解易見(jiàn)對(duì)任忖x(OO,+00),f(x)A0,又2x0二xe/cdx=1cf(x)是一

12、個(gè)密度函數(shù)17.2x, f(x) =0,avx va +2.其他.確定(xa的值；若不是，說(shuō)明理由.)0,因此a40,但是，當(dāng)a= 0.5 ,求b的值.問(wèn)f(x)是否為密度函數(shù)，若是,解如果f(x)是密度函數(shù)，則fA0時(shí)，j22Mdx=x2|a豐=4a+44由于匿f(x)dx不是1,因此f(x)不是密度函數(shù).18.設(shè)隨機(jī)變量Xf(x)22-,ax+a,f(x)=J兀(1+x)0,其彳也.確定常數(shù)a的值，如果Pax100,f(x)=x20,x150)px 150 =禽 100 xdx48 P( A)= 2720.設(shè)隨機(jī)變量P |X |Xf1(x ) , f ( x ) =Ae|x1.確定系數(shù) A

13、;計(jì)算解1=/Ae8dx=2A。.-e%x=2A解得A=12,1e.dxP|X|E1=k1ex|dx=1 -e- ： 0.63221.設(shè)隨機(jī)變量Y服從0,5上的均勻分布，求關(guān)于x的二次方程4x2 十4xY+Y+2=0有實(shí)數(shù)根的概率.解4x2+4xY+Y+2=0.有實(shí)根的充分必要條件是=b24ac=167-16(Y+2)=16Y2-16Y-32A0設(shè)事件RA為所求概率.則P(A)=P116Y2-16Y-32-0:PY_2)P：Y-1)=0.622.設(shè)隨機(jī)變量Xcf (x) =1 -x2,0,確定常數(shù)c,f ( x ),| x |V1,其他.計(jì)算 P |X|2c1dx=carcsinx屋=c兀.1

14、-x21兀23.P |X|4 = 2112dx =-arcsinx1201一3設(shè)隨機(jī)變量0,F (x) = Ajx ,X的分布函數(shù)F ( x )為 x 0,0x1 ,x -1.確定系數(shù)A,計(jì)算P 10X 0.25 ),求概率密度f(wàn) ( x).連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn) ( 1 )=F (1 0),有 A= 1.0V x 1 ,其他.1f(x)=二2.x0,P10三X0.55;F(0.25)-F(0)=0.524.求第20題中X的分布函數(shù)F(x)解F(x)=P；.Xx:/，如當(dāng)t0時(shí),F(x)=/t二匕edt+0x1e-tdt25.解26.1 1g一二一(1-e)=1-e2 22

15、函數(shù)(1+x2)T可否為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),為什么？不能是分布函數(shù)，因F(s)=1隨機(jī)變量Xf(x)，并且f(x)=豐0.a兀(1x2)，確定a的值；求分布函數(shù)F(1=.二)；計(jì)算P(|X|1.兀(1x2),a.dx=arctan兀因此a=1F(x)=匚221(1+t)1dt=arctant兀11=arctanx2兀bdx=2兀(1x)j0|X |2 ，x -2 .1-4F(x)=x,0,確定常數(shù)A的值，計(jì)算由F(2+0)=FA1-=0,A=4。X4.2)，可得28.4P10X4.=P1(XX三4.=F=0.75隨機(jī)變量Xf(x)(4)-F(0)，f(x)=，確定A的值；求分布函數(shù)x解J

16、lhodx:3dxee1e=Aarcel嗎A因此A= 2,兀xF(x),二兀(e二)dt2 arctanet兀xnr；=2arctanex兀29.隨機(jī)變量Xf (0V xv af (x)0 0,其僦他.-2 0 汽2 a汽兀當(dāng)0c x兀時(shí),F ( x) ；22 dt 汽0,2 x F(x)=, r 1,2x2汽x 00x0) x 0隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,F(x)=a2x22ax2亞1- e*31.解求X的概率密度并計(jì)算f(x)0,J32iax0時(shí),0時(shí),-axe1P0X0.1P*0Vx-、a=P*0Vx0時(shí)，Y的取值為a2+b,ab+b,1.1x=h(y)(y_b),h(y)=Xyaa12

17、fY(y)=h(y)fXh(y)=,y=a+b,ab+b,當(dāng)y=a+b,ab+b時(shí)，a(b-a)fY(y)=0.類(lèi)似地，若a0還是a0,ax+b均服從均勻分布.34.隨機(jī)變量X服從0 ,”上的均勻分布Y=c0sx求Y的概率密度hfY ( y ).y=cosx 在0,2-11 一 y2上單調(diào)，在(0 ,1)上，h)=x =arccos yfx ( x因此fY(y)=，端1-y20,0Vy0x0時(shí)，y=原單調(diào)，其反函數(shù)為x=y2y=2yfY(y)=,二22ye0,y0,y.0.當(dāng)x0時(shí)z=x2也是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為x=正fz(z)=2Vze,0，-Zz0時(shí)，f(x)=一二,2222二(1x)Y=

18、arctanX,fz工，分別計(jì)算隨機(jī)變量Y與Z的概率密度解由于y).=arctanx是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=tany,0,9i內(nèi)恒不為零，因此，當(dāng)0y0時(shí)也是x的單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=1x因此當(dāng)z0時(shí),fY(y)與xy=sec2y在1z2.zfz(z)=-12z21241()z22u(1z)fz(z)=X1+z2)0,z0z0X與X同分布.38.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為R圓心在原點(diǎn)的圓的上半圓周上隨機(jī)游動(dòng)求該質(zhì)點(diǎn)橫坐標(biāo)X的密度函數(shù)fx(x).解如圖，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圓周位置為M弧MA的長(zhǎng)記為L(zhǎng),顯然L是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，L服從0兀以上的均勻分布.1I,0lkR,fL(l)=成0,其他.M點(diǎn)向橫坐標(biāo)X也是數(shù)，

19、且隨機(jī)變量，它是弧長(zhǎng)L的函X=函數(shù)x反函數(shù)為l=FCos0=RCoslRCosLRR是l的單調(diào)函數(shù)(0l兀R),其lx-RR2fx(x)Farccos-R2-xx-R:2=2R-xR時(shí),1tR當(dāng)x0,1),因2.312a+3a=1故a=1/6EX-1-01=6隨機(jī)變量(EX)2EX=P663X服從參數(shù)為0.8的01分布，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明EX是否等于EX=PX=1EX=1X0.8=0.8(EX)0.8,(2EX)2=0.64隨機(jī)變量Xf(x整數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xnf(x)是奇函數(shù),且積分=0.5e-|x1,計(jì)算EX,n為正xnedx收斂，因此EXn-_.0.5x當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，EXn=0.5xe*|d

20、x=0e4x|dx=2o0.5xn0xnedx=1(n1)edx=n!44.隨機(jī)變量Xf(x),x,f(x)=2-x,0,0x1,1x2,煩tk.計(jì)算EX(n為正整數(shù)).EXn=jxnf(x)dx=j1xn%x+2(2-、n.x)xdx(2n1-1)-(2n2)-1n2n1n22n2-2(n1)(n2)45.隨機(jī)變量Xf(x),bcx0ExE1,其維他.b,c均大于0,問(wèn)EX可否等于1,為什么？解dj(x)dx=0cxbdx=-c=1b1而EX =b x .1ccxdx=b2由于方程組上二1b1c=1,b+2無(wú)解，因此EX不能等于1.46.計(jì)算第6,40各題中X的方差DX.解在第6題中，從第3

21、9題計(jì)算知EX=9,422741089841215EX=-=220220220220DX=EX(EX)2=0.46在第40題中，已計(jì)算出EX=300137252c5EX=n=cn=15cn1nn1=900137DXEX-(EX&1.7747.計(jì)算第23,29各題中隨機(jī)變量的期望和方差.解在第23題中，由于f(x)=氏(0x1),因此EX=EX2*1x2102.,dxDX=EX5(EX)2=45在第29題中，由于2x(0x兀),因此兀EX2儼2x1202-dx=一式n3C322x,汽,02dx=。兀2DX=EX(22EX)2=工1848.計(jì)算第34題中隨機(jī)變量Y的期望和方差.解EY=島fY(y)dy=j0T兀1-y2y2“1dy=一y2222dy二兀49.DY=1_2Tt27已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)0,1x2+x+,221x2+x221,F(x)為:x-1,-1x0,0x1,計(jì)算EX與DX.依題意，X的密度函數(shù)fx)為:f (x)=1 +x,1 -x,0,-1x0,0x1,其他.EX=01x(1x)dxi；x(1-xeX=IDM16212x(1x)dx0x(1一)dx=0、.1x)dx=650.已知隨機(jī)變量X的期望EX=w,方