題型四 規(guī)律探索題

1、.類型1數(shù)與式的規(guī)律探究1.2019安徽中考下面兩個(gè)多位數(shù)1248624、6248624,都是按照如下方法得到的:將第一位數(shù)字乘以2,假設(shè)積為一位數(shù),將其寫(xiě)在第2位;假設(shè)積為兩位數(shù),那么將其個(gè)位數(shù)字寫(xiě)在第2位.對(duì)第2位數(shù)字再進(jìn)展如上操作得到第3位數(shù)字,后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)展如上操作得到的.當(dāng)?shù)谝晃粩?shù)字是3時(shí),仍按如上操作得到一個(gè)多位數(shù),那么這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是A.495B.497C.501D.5032.2019合肥蜀山區(qū)二模觀察以下等式: 1=12; 2+3+4=32; 3+4+5+6+7=52; 4+5+6+7+8+9+10=72;請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律判斷以下等式正確

2、的選項(xiàng)是A.1 008+1 009+3 025=2 0162B.1 009+1 010+3 026=2 0172C.1 009+1 010+3 027=2 0182D.1 010+1 011+3 028=2 01923.2019安徽中考觀察以下關(guān)于自然數(shù)的等式:32-4×12=5;52-4×22=9;72-4×32=13;根據(jù)上述規(guī)律解決以下問(wèn)題:1完成第四個(gè)等式:92-4×2=;2寫(xiě)出你猜測(cè)的第n個(gè)等式用含n的式子表示,并驗(yàn)證其正確性.4.2019合肥包河區(qū)二模觀察以下式子:2×0+1=12;4×2+1=32;8×6+1=

3、72;16×14+1=152;1請(qǐng)按規(guī)律寫(xiě)出第個(gè)式子: ; 2根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第個(gè)式子n為正整數(shù),并驗(yàn)證其正確性.5.2019蕪湖二模觀察以下各個(gè)等式的規(guī)律:第1個(gè)等式:22-12-12=1;第2個(gè)等式:32-22-12=2;第3個(gè)等式:42-32-12=3;請(qǐng)用上述等式反映出的規(guī)律解決以下問(wèn)題:1直接寫(xiě)出第4個(gè)等式;2猜測(cè)第n個(gè)等式用含n的代數(shù)式表示,并證明你猜測(cè)的等式是正確的.6.2019合肥45中三模一定數(shù)量的石子可以擺成如下圖的三角形和四邊形,古希臘科學(xué)家把數(shù)1,3,6,10,15,21,稱為“三角形數(shù),把1,4,9,16,25,稱為“正方形數(shù).同樣,可以把數(shù)1

4、,5,12,22,稱為“五邊形數(shù).將“三角形數(shù)、“正方形數(shù)、“五邊形數(shù)按從小到大的順序依次填在下面表格里:三角形數(shù) 1 3 6 10 15 21a 正方形數(shù) 1 4 9 16 25b 49 五邊形數(shù) 1 5 12 22c 51 70 1按照規(guī)律,表格中a=,b=,c=; 2觀察表中規(guī)律,第nn為正整數(shù)個(gè)“五邊形數(shù)是 . 7.2019安慶模擬特殊兩位數(shù)乘法的速算假如兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字一樣,個(gè)位數(shù)字相加為10,那就能立即說(shuō)出這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積.假如這兩個(gè)兩位數(shù)分別寫(xiě)作AB和AC即十位數(shù)字為A,個(gè)位數(shù)字分別為B,C,且B+C=10,A>3,那么它們的乘積是一個(gè)四位數(shù),前兩

5、位數(shù)字是A和A+1的乘積,后兩位數(shù)字是B和C的乘積.如47×43=2 021,61×69=4 209.1請(qǐng)你直接寫(xiě)出83×87的值;2設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為xx>3,個(gè)位數(shù)字分別為y和zy+z=10,通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為100xx+1+yz;399 991×99 999=. 8.2019宣城模擬閱讀以下材料,并解決相關(guān)的問(wèn)題.按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列,排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng),記為a1,依此類推,排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng),記為an.一般地,假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫

6、做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示q0,如:數(shù)列1,3,9,27,為等比數(shù)列,其中a1=1,公比q=3.1等比數(shù)列3,6,12的公比q為,第4項(xiàng)是; 2假如一個(gè)數(shù)列a1,a2,a3,a4,是等比數(shù)列,且公比為q,那么根據(jù)定義可得到a2a1=q,a3a2=q,a4a3=q,anan-1=q,所以a2=a1q,a3=a2q=a1q·q=a1q2,a4=a3q=a1q2·q=a1q3,由此可得an=用含a1,n和q的代數(shù)式表示; 3假設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的公比q=12,第2項(xiàng)a2=110,求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).9.2019合肥高新區(qū)模擬我們

7、學(xué)習(xí)了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五.觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;發(fā)現(xiàn):這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),從3起就沒(méi)有連續(xù)過(guò),而且股和弦是兩個(gè)連續(xù)整數(shù).1請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù):; 2假設(shè)第一個(gè)數(shù)用字母nn為奇數(shù),且n3表示,寫(xiě)出后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式表示,并用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明它們是一組勾股數(shù).類型2圖形中的規(guī)律探究10.2019六安地區(qū)二模觀察以下n×n的點(diǎn)陣與等式的關(guān)系,并填空:1根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,在n×n圖的后面的橫線上填上所對(duì)應(yīng)的等式,并證明等式成立.2根據(jù)等式的性質(zhì),將上圖所對(duì)應(yīng)的前4個(gè)等式的左側(cè)和右側(cè)式子分別相

8、加,等式仍然成立,即22-12+32-22+42-32+52-42=1+2×1+1+2×2+1+2×3+1+2×4.經(jīng)化簡(jiǎn),變形后得到52-12=4+2×1+2+3+4,即1+2+3+4=52-12-42,這種方法叫等式疊加法.假如將上圖2×2到n×n所對(duì)應(yīng)的n-1個(gè)等式進(jìn)展疊加,經(jīng)化簡(jiǎn),變形后可以得到1+2+3+n-1=. 11.2019合肥瑤海區(qū)二模1觀察下面的圖案與等式的關(guān)系,并填空.2通過(guò)猜測(cè),寫(xiě)出第n個(gè)圖案相對(duì)應(yīng)的等式.12.2019安徽中考【閱讀理解】我們知道1+2+3+n=n(n+1)2,那么12+2

9、2+32+n2的結(jié)果等于多少呢?在圖1所示三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12;第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即22第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n+n+nn個(gè)n,即n2.這樣,該三角形數(shù)陣中共有n(n+1)2個(gè)圓圈,所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+n2.圖1【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)如第n-1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為 n-1,2,n,發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為.由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為312+22+32+n2=.因此,12+22+32+n2=. 圖2【解決問(wèn)題】根據(jù)以

10、上發(fā)現(xiàn),計(jì)算12+22+32+201721+2+3+2017的結(jié)果為. 13.2019安徽中考在由m×nm×n>1個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中,研究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f.1當(dāng)m,n互質(zhì)m,n除1外無(wú)其他公因數(shù)時(shí),觀察以下圖形并完成下表:mnm+nf123213432354257347猜測(cè):當(dāng)m,n互質(zhì)時(shí),在m×n的矩形網(wǎng)格中,一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與m,n的關(guān)系式是不需證明; 2當(dāng)m,n不互質(zhì)時(shí),請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證你猜測(cè)的關(guān)系式是否仍然成立.參考答案1.A2.D【解析】由的等式規(guī)律可知,第n個(gè)等式的結(jié)果為2n-12,故A

11、,C中的等式錯(cuò)誤.第n個(gè)等式中等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)為2n-1,故B中的等式錯(cuò)誤,D中的等式正確.3.14172第n個(gè)等式為2n+12-4×n2=4n+1.左邊=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右邊,第n個(gè)等式成立.4.132×30+1=3122第個(gè)等式為:2n2n-2+1=2n-12.驗(yàn)證:左邊=2n×2n-2n×2+1=2n2-2×2n+1=2n-12=右邊,故2n2n-2+1=2n-12是成立的.5.1第4個(gè)等式是52-42-12=4.2第n個(gè)等式是(n+1)2-n2-12=n.證明:(n+1)2-n2-12=n2+2n+1-n2-12=2n

12、2=n=右邊,第n個(gè)等式是(n+1)2-n2-12=n.6.1283635解法提示:第nn為正整數(shù)個(gè)“三角形數(shù)為n(n+1)2,故a=7×82=28;第nn為正整數(shù)個(gè)“正方形數(shù)為n2,故b=62=36;第nn為正整數(shù)個(gè)“五邊形數(shù)為32n2-12n,故c=32×25-52=35.232n2-12n7.17 221.2驗(yàn)證:10x+y10x+z=100x2+10xz+10xy+yz=100x2+10xy+z+yz=100x2+100x+yz=100xx+1+yz.39 999 000 009解法提示:由題中規(guī)律可得,假如兩個(gè)n位數(shù)分別寫(xiě)作AB和AC即前n-1位數(shù)字部分均可表示為

13、AA>3,個(gè)位數(shù)字分別為B,C,且B+C=10,那么它們的乘積是一個(gè)2n位數(shù),前2n-2位數(shù)字是A和A+1的乘積,后兩位數(shù)字是B和C的乘積.故99 991×99 999=9 999 000 009.8.12242a1qn-13第1項(xiàng)a1=a2q=110÷12=15,第4項(xiàng)a4=a1·q3=15×123=140.9.111,60,612n2-12,n2+12說(shuō)明:n2+n2-122=n2+n4-2n2+14=4n2+n4-2n2+14=n4+2n2+14=n2+122,由勾股定理的逆定理可知,n,n2-12,n2+12是一組勾股數(shù).10.1n2-n-12=1+2n-1.證明:左邊=n2-n2+2n-1=2n-1,右邊=1+2n-2=2n-1=右邊,左邊=右邊,即n2-n-12=1+2n-1.2n2-1-(n-1)211.122323242