《數(shù)值計(jì)算方法》試題集及答案()

1、計(jì)算方法期中復(fù)習(xí)試題、填空題:1、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)1.3,則用辛普生(辛卜生)公式計(jì)算求得31f(x)dx,用三點(diǎn)式求得f(1)答案2、f1,f(2)2,f(3)1,則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為拉格朗日插值多項(xiàng)式為。11答案：-1,L2(x)2(x2)(x3)2(x1)(x3)2(x1)(x2)3、近似值x*0.231關(guān)于真值x0.229有(2)位有效數(shù)字;4、設(shè)f(x)可微，求方程xf(x)的牛頓迭代格式是()xn1答案xnf(xn)19)5、對(duì)f(x)x3x1,差商f0,1,2,3(1),f0,1,2,3,4(o)；6、計(jì)算方法主要研究(截?cái)?誤差和

2、(舍入)誤差；7、用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為2n18、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=,則二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為()；11、兩點(diǎn)式高斯型求積公式110f(x)dx=(0f(x)dx1.31.31二f()f()22v132v3)，代數(shù)精度為(5);346y102312、為了使計(jì)算x1(x1)(x1)的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表y達(dá)式改寫(xiě)為10(3(46t)t)t,t1x1_,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式W2研vT999改寫(xiě)為U麗1J19990313、用二分法求方程f(x)xx10在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根的所在

3、區(qū)間為，1,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為,。1 _14、計(jì)算積分0.5'xdx，取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為,用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為,梯形公式的代數(shù)精度為，辛卜生公式的代數(shù)精度為/。15、設(shè)f(0)0,f(1)16,f(2)46,則l1(x)l1(x)x(x2)_,f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為_(kāi)N2(x)16x7x(x1)_0bnf(x)dxAkf(xk)16、求積公式ak0的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有(2n1)次代數(shù)精度。517、 已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求1f(x)dx=(12)。18、 設(shè)f(1)=1,f

4、(2)=2,f(3)=0,用三點(diǎn)式求f(1)()。19、如果用二分法求方程x3x40在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分(10)次。x30x1S(x)1(x1)3a(x1)2b(x1)c1x320、已知2是三次樣條函數(shù)，則a=(3),b=(3),c=(1)。21l0(x),l1(x),ln(x)是以整數(shù)點(diǎn)x0,x1,Xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則nn1k(x)xklj(xk)k0(1),k0(xj),當(dāng)n2時(shí)n(x4x23)lk(x)42k0(xx3)022、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。24、若用二分法求方程fx23、改變函數(shù)f（x）

5、Vx1xx（x1）的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)Sx25、設(shè)2x3,0x132xaxbxc，1x2是3次樣條函數(shù)，則a=3,b=-3,c=1。1exdx626、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算0,要求誤差不超過(guò)10,利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用477個(gè)求積節(jié)點(diǎn)427、若f(x)3x2x1,則差商f2,4,8,16,32328數(shù)值積分公式121f(x)dx-f(1)8f(0)9f(1)的代數(shù)精度為2選擇題1、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為（B）oA.2B.5C.3D.42、舍入誤差是（A）產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測(cè)

6、量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值3、是冗的有（B）位有效數(shù)字的近似值。A.6B.5C.4D.74、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是（C）誤差。A.模型B.觀測(cè)C.截?cái)郉.舍入x5、用1+3近似表示曲x所產(chǎn)生的誤差是（D）誤差。A.舍入B.觀測(cè)C.模型D.截?cái)?、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效數(shù)字。A.5B.6C.7D.87、設(shè)f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A)。A.-0.5B.0.5C.2D.-28、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A.3B.4C.5D.29、(D)的3位有效數(shù)字是X102。(A)X103(B)X10-

7、2(C)(D)X10-110、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x=j(x),則f(x)=0的根是(B)o(A)y=j(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B)y=x與y=j(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=x與y=j(x)的交點(diǎn)11、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,Rn(x)f(x)(B),xn)(xx1)(xx2)-(xxn1)(xxn),f(n1)()Pn(x)f(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),f(n1)()(D)

8、Rn(x)f(x)Pn(x)(n1(x)(n1)!12、用牛頓切線法解方程f(x)=0,選初始值x0滿(mǎn)足(A),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。(A)f(x0)f(x)0(B)f(x0)f(x)0(C)f(x0)f(x)0(D)f(x0)f(x)013、為求方程x3x21=0在區(qū)間口內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫(xiě)成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)。c11x，迭代公式:xk1j(A)x1xk1(B)，迭代公式:xk1x1xk(C)x2,迭代公式：xk1(12、1/3xk)(D)x2,迭代公式：xk12xkxk14、在牛頓-柯特斯求積公式:bf(x)

9、dx(baa)Ci(n)0f(xi)(n)I-,中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時(shí),公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)()時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(4)(1)n8,(2)n7,(3)n10,23、有下列數(shù)表(1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次15、取向1.732計(jì)算x(石1)4卜列方法中哪種最好(A) 2816.3；(B) (4273)2.C)(416_2揚(yáng)2；(D)_16_(77i)4S(x)26、已知3x_3_2(x1)a(x2)24是三次樣條函數(shù)，則a,b的值為(A)6,6;(B)6,8;(C)8(D)8,8。x012f(x)-2-12所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是(0Xi123

10、f(Xi)-116、由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是(3；(A)5；(C)b(B)4；(D)20f(x)dxA#(Xi)a2f(x2)a3f(x3)的高斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精度為（(A) 9；(B) 7；(C) 5；(D)3。18、計(jì)算有的Newton迭代格式為xk1(A)xk3一x2丫xk12 xk；(B)xk232xk；(C)xkxk23 xk；(D)Xk1xk34 xk019、用二分法求方程4x2100在區(qū)間1,2內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為103則對(duì)分次數(shù)至少為(A)10;(B)12(C)8(D)9。20、設(shè)1i是以xkk(k9kli（k）0,1,L

11、為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則k0(A)x；(B)k;(C)i;(D)1。33、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有（）次代數(shù)精度(A)5;(B)4;(C)6;(D)3S（x）21、已知x30x232（X1）a（x2）b2x4是三次樣條函數(shù)，則22的值為（）(A)6,6;(B)6,8;(C)8,6;(D)8,8。35、已知方程x32x50在x2附近有根，下列迭代格式中在x02不收斂的是(A)xk13/2x75.xk1(B)2x353x2222、由下列數(shù)據(jù)x01234f(x)1243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為（）(A)4;(B)2;(C)1;(D)323、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型

12、求積公式的最高代數(shù)精度為（）(A)8;(B)9;(C)10(D)11。三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打？，否則打)1、已知觀察值(Xi，yi)(i0,1,2，m)，用最小二乘法求n次擬合多項(xiàng)式Pn(x)時(shí),pn(X)的次數(shù)n可以任意取。2、用1-2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。(XX0)(XX2)3、(X1x0)(x1X2)表示在節(jié)點(diǎn)Xi的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。(？)4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。5、矩陣A=135具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。四、計(jì)算題:1、求A、B使求積公式11f(X)dXAf(1.11)f(1)Bf()f()的小行回產(chǎn)目22

13、的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求21dx1X(保留四位小數(shù))。2A2A2B1B21f(x)dx求積公式為19f(1)f(1)112)f(2)一、3當(dāng)f(x)x時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)f(X)1右=3。所以代數(shù)精度為3xi1345f(xi)26542、已知21t2x3ixdx1出1t3119131811391/231123971400.69286分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(X)的三次插值多項(xiàng)式P3(X),并求f(2)的近似值(保留四位小數(shù))2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)L3(X)26(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(

14、x5)(41)(43)(45)(x1)(x3)(x4)(51)(53)(54)差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-101/41P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)(x1)(x3)(x4)4f(2)P3(2)5.55、已知xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次擬合曲線P2(x),并求f(0)的近似值答案:解:ixiyi2xi3xi4xixiy2xiyi0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為103P2(x)7Wx112x145a010a215

15、10al310a034a24110311ao一，a1一一71014311p2(x)-yx_3f(0)P2(0)-6、已知sinx區(qū)間,xiyi如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小并求該近似值。答案：解：應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差M3|R2(X)|3|3(X)|3!盡量小，即應(yīng)使13(x)|盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿(mǎn)足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)0.5,06,0.7最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果Sin0.638910.596274,sin0.638910.5962740.6)(0.638910.7)1a(0.638910.5)(0.638919-40.55032107、構(gòu)造求解方程e

16、10x20的根的迭代格式xn1(xn)，n0，1,2，討論其收斂性，并將根求出來(lái),1xn1xn1104o答案：解：令f(x)10x2,f(0)20,f(1)10e且f(x)ex10f(x)0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程f(x)0變形為則當(dāng)x(0,1)時(shí)(x)x)I(x)|xe10e10故迭代格式1x_xn1(2en)10收斂。取x00.5,計(jì)算結(jié)果列表如下:n0123xn127872424785877325n4567xn5959935173405259505250086且滿(mǎn)足I乂7x6|0.0000009510所以x0.09052500810、已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xif(Xi)試按最小二乘原理

17、求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)1解：當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)ex,則f(x)e，且oedx有一位整數(shù).Ri(n)(f)110max|f(x)|x0,11要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差2.R(n)(f)(b-alf()|由12n,只要R(n)(ex)j110412n212n22即可，解得ne10267.30877,6所以n68,因此至少需將0,168等份。12、取節(jié)點(diǎn)X。Qx10.5,x21,求函數(shù)xf(x)e在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式P2(x),并估計(jì)誤差解:P2(x)e(x0.5)(x1)(00.5)(01)0.5(x0)(x1)(0.50)(0.51)(x0)(x0.5)2(

18、xx(x)e,Mf(x)ex,f(10)(10.5)_05_1_0.5)(x1)4e.x(x1)2ex(x0.5)故截?cái)嗾`差14、給定方程f(x)1)2)3)|R2(x)|ex(x1)ex1分析該方程存在幾個(gè)根;1P2(x)|,|x(x0.5)(x1)|o用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字;說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的O解：1)將方程(x1)ex10(D改寫(xiě)為作函數(shù)fX)X1,f2(x)e的圖形（略）知（2）有唯一根x（1,2）。2）將方程（2）改寫(xiě)為Xk11eXk構(gòu)造迭代格式X01.5(k0,1,2,)3)(x)1e當(dāng)x1,2時(shí),(X)(2),(1)1,2,且計(jì)算結(jié)果列表如下:k12345

19、6789Xk(X)Xex|(x)|e11所以迭代格式Xk1(Xk)(k0,1,2,）對(duì)任意X01,2均收斂。15、解：43是f(x)130的正根,f(x)2x,牛頓迭代公式為xn1xnX232xnxn1Ite(n02)用牛頓（切線）法求M'3的近似值。取X0=,計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。取X0=,列表如下:n123xn16、已知f(-1)=2,f(1)=3,f（2）=-4,求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2（x）及f（1,5）的近似值，取五位小數(shù)。L2(x)2解：(x1)(x2)(11)(12)(x1)(x2)(x1)(x1)34(11)(12)(21)(21)-(X1)(X32)34-(x1)(

20、x2)-(x1)(x1)f(1.5)L2(1.5)310.041672417、n=3,用復(fù)合梯形公式求1e*dx,.、，、，、八一,0e的近似值（取四位小數(shù)），并求誤差估計(jì)。解:1x10r00T351e132(e,1.734220、解:ATf(x)ex,f(x)ex,0至少有兩位有效數(shù)字。(x)|e|R|exe0.0250.05108（8分）用最小二乘法求形如yxi19253038*span1,x2abx2的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù):1192解方程組111222252312382ATACATy19.032.349.073.3其中T43391ATA33913529603ATy173.6179980.

21、7C解得：0.92555770.0501025所以0.9255577,b0.050102521、（15分）用n8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算1exdx0e時(shí)，試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。用n8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似值。RTf解：T(8)hf(a)”()11210-e8210.00130276872f(xk)f(b)k1112(0.88249690.7788008160.606530660.53526140.472366550.41686207)0.367879470.632943422、（15分）方程x30在x1.5附近有根，把方程寫(xiě)成三種不同的

22、等價(jià)形式（1）x3Vx1對(duì)應(yīng)迭代格式xn1VXn1;(2)X1xn1X對(duì)應(yīng)迭代格式11-Xn；(3)xX31對(duì)應(yīng)迭代格式Xn13xn1。判斷迭代格式在Xo1.5的收斂性，選一種收斂格1.5附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。解：（1）21、O(x)-(x1)33，(1.50.181,故收斂;(3)選擇(x)(x)(1)：2x223x(1.5)(1.5)31.52Xo1.5x11.3572x20.171,故收斂;1.3309X31.3259x41.3249x51.32476x61.3247225、數(shù)值積分公式形如（1）試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設(shè)fc40，1，推導(dǎo)余項(xiàng)公式1

23、R(x)0Xf(X)dXS(x),并估計(jì)誤差。23.A解：將f（x）1,x,x,x分布代入公式得：3D701c一,B,B，D202030120力（為）f（x）構(gòu)造Herm讓e插值多項(xiàng)式H3滿(mǎn)足H3（x）f（x）i0其中xo0,Xi1則有:10xH3(x)dxS(x)f(4)()22f(x)H3(x)Tx(x1)_1.八1f(4)()32R(x)0xf(x)S(x)dx0x(x1)dx1x34!0(4)(4)(x1)2dx7記24T27、(10分)已知數(shù)值積分公式為:h2',f(x)dxf(0)f(h)h2f(0)f(h)21'l試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指

24、出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：f(x)1顯然精確成立;f(x)x時(shí),hxdx0h22h20hh121；f(x)2x時(shí),hx2dx020h2h202hhr2hf(x)3x時(shí),hx3dx0203_12_2_h1h03h;f(x)4x時(shí),hx4dx020h4f2。4h3土所以,其代數(shù)精確度為3。28、(8分)已知求所(a0)的迭代公式為:1,xk1-(xk2-)xkx00k0,1,2證明：對(duì)一切k1，2,7a,且序列Xk是單調(diào)遞減的,從而迭代過(guò)程收斂。Xk1證明:1a2(xk=axkxk.ak0,1,2故對(duì)一切k1,2,xk1又。id1)1%,即序列為是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過(guò)程收斂29、(9分)數(shù)值

25、求積公式0f(x)dx3ff(2)一-2是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)精度是多少x2x1一p(x)f(1)f(2)解：是。因?yàn)閒(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為1221p(x)dx2f(1)f(2)其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫(xiě)出求方程4xcosx1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)xn1xnCOSxn，n=0,1,2,sin對(duì)任意的初值X00，1,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算產(chǎn)115的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。用Newton插值方法：差分表:10010121111441211510+(115-100)(115-100)(115-121)f'''xf'''3!135100268115100115121115144156290.0016332、（10分）用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分_50.5100Si6f00.94614588S2122f4f0.94608693S2115S2S10.39310-5S20.94608693si