一次函數(shù)經(jīng)典例題大全

1、一.定義型例1.函數(shù)y二(所一3)工.一'+3是一次函數(shù),求其解析式.解：由一次函數(shù)定義知=3,故一次函數(shù)的解析式為y=-6x+3.注意：利用定義求一次函數(shù)y=kx+b解析式時,要保證kw0.如本例中應(yīng)保證m-3w0.二.點斜型例2.一次函數(shù)y=kx-3的圖像過點(2,-1),求這個函數(shù)的解析式.解：一次函數(shù)的圖像過點(2,-1),J,1=2k3,即k=1.故這個一次函數(shù)的解析式為y=x-3.變式問法：一次函數(shù)y=kx-3,當(dāng)x=2時,y=-1,求這個函數(shù)的解析式.三.兩點型例3.某個一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別是(-2,0)、(0,4),那么這個函數(shù)的解析式為.解：設(shè)一次

2、函數(shù)解析式為y=kx+b,由題意得(0=-2Jk+b(k=2Ib=4b=4一、人,I,故這個一次函數(shù)的解析式為y=2x+4那么該函數(shù)的解析式為.由圖可知一次函數(shù)的圖像過點(1,0)、(0,2)故這個一次函數(shù)的解析式為y=-2x+2例4.某個一次函數(shù)的圖像如下圖,解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b(0=A:+b(k=-2二0+&b-2,"有i'五.斜截型例5.直線y=kx+b與直線y=-2x平行,且在y軸上的截距為2,那么直線的解析式為解析：兩條直線=+瓦；+當(dāng)k1=k2,bwb2時,h/z.直線y=kx+b與直線y=-2x平行,上二一2.又.直線y=kx+b在y軸上的

3、截距為2,故直線的解析式為y=-2x+2六.平移型例6.把直線y=2x+1向下平移2個單位得到的圖像解析式為.解析：設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b,二直線y=2x+1向下平移2個單位得到的直線y=kx+b與直線y=2x+1平行=2直線y=kx+b在y軸上的截距為b=1-2=-1,故圖像解析式為V=七.實際應(yīng)用型例7.某油箱中存油20升,油從管道中勻速流出,流速為0.2升/分鐘,那么油箱中剩油量Q(升)與流出時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式為.解：由題意得Q=20-0.2t,即Q=-0.2t+20故所求函數(shù)的解析式為Q=-0.2t+20(OVfVlOO)注意：求實際應(yīng)用型問題的函數(shù)關(guān)系式要寫出自變量的取值

4、范圍.八.面積型例8.直線y=kx-4與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積等于4,那么直線解析式為解：易求得直線與x軸交點為“,所以4一|川所以|k|=2,即k二±2故直線解析式為y=2x-4或y=-2x-4九.對稱型假設(shè)直線I與直線y=kx+b關(guān)于(1) x軸對稱,那么直線1的解析式為y=-kx-b(2) y軸對稱,那么直線的解析式為y=-kx+b一1,(3)直線y=x對稱,那么直線i的解析式為匕亡五(4)直線y=-x對稱,那么直線1的解析式為_kXk(5)原點對稱,那么直線I的解析式為y=kx-b例9.假設(shè)直線l與直線y=2x-1關(guān)于y軸對稱,那么直線l的解析式為.解：由(2)得直線l的

5、解析式為y=-2x-1十.開放型例10.函數(shù)的圖像過點A(1,4),B(2,2)兩點,請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數(shù)解析式,并簡要說明解答過程.解：(1)假設(shè)經(jīng)過A、B兩點的函數(shù)圖像是直線,由兩點式易得y=-2x+6(2)由于A、B兩點的橫、縱坐標(biāo)的積都等于4,所以經(jīng)過A、B兩點的函數(shù)圖像還可_4以是雙曲線,解析式為V-K(3)其它(略)十一.幾何型例11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,a、B是x軸上的兩點,g4CB=90,/C4E=30°,以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點,假設(shè)C點的坐標(biāo)為(0,3).(1)求圖像過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式,并求其對稱軸；

6、(2)求圖像過點E、F的一次函數(shù)的解析式.A(-3,3,0)、B(V3,0),由待定系數(shù)法可求得二解：(1)由直角三角形的知識易得點次函數(shù)解析式為1z2小口3丁,對稱軸是x=-V3(2)連結(jié)OE、OF,那么.E_LAC,OFJ_HC.過E、F分別作x、y軸的垂線,垂足為3,93y/33M、N、P、G,易求得E、F,由待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)解析小3v=,4式為32十二.方程型例12.假設(shè)方程x2+3x+1=0的兩根分別為建,戶,求經(jīng)過點P仃P(guān)和Q5P的一次函數(shù)圖像的解析式解：由根與系數(shù)的關(guān)系得«+=X«p=-l,1,a2+伊=(a+)2-2afi=9+2=11,；+:二門：

7、!=二一.0-二mw嘰11二*鄧一一lli+b=3im右llk+b=ll|那么有I4,歹二-7二點P(11,3)、Q(-11,11)設(shè)過點P、Q的一次函數(shù)的解析式為y=kx+b/-J-11h-7解得I一故這個一次函數(shù)的解析式為十三.綜合型例13.拋物線y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的頂點D在雙曲線“一JC上,直線y=kx+c經(jīng)(a-b-3=012arjh4%1.=0過點D和點C(a,b)且使y隨x的增大而減小,a、b滿足方程組,求這條直線的解析式.13m2+10m-3解：由拋物線y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的頂點D用+3'ffl+3'在雙曲線上,可求得

8、拋物線的解析式為：y1=-7x2+14x-12,頂點D1(1,-5)及y2=-27x2+18x-18頂點D2(L5)組=Tp2=2一、一r,r14Ib?1r解方程組得1,I即Ci(-1,-4),C2(2,-1)I_1由題意知C點就是Ci(-1,-4),所以過Ci、Di的直線是9-2X委；過CD2的直3349線是44函數(shù)問題1正比例函數(shù),那么當(dāng)kw0時,y隨x的增大而減小.解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì),得k<00函數(shù)問題2點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個點,且y1>y2,那么x1與x2的大小關(guān)系是()A.x1>x2B.x1<x

9、2C.x1=x2D.無法確定解：根據(jù)題意,知k=3>0,且y1>y2.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時,y隨x的增大而增大,得x1>x2.應(yīng)選A.函數(shù)問題3一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0,且y隨x的增大而減小,那么此函數(shù)的圖象不經(jīng)過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解：由kb>0,知k、b同號.由于y隨x的增大而減小,所以k<0,從而b<0.故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,不經(jīng)過第一象限.應(yīng)選A.函數(shù)問題4一個彈簧,不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長,伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后

10、,彈簧總長是13.5cm,求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm,求自變量x的取值范圍.分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題,同時也是實際問題,其核心是彈簧的總長是空載長度與負載后伸長的長度之和,而自變量的取值范圍那么可由最大總長一最大伸長一最大質(zhì)量及實際的思路來處理.解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12,那么13.5=3k+12解之,k=0.5二.y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+12由題意,得：23=0.5x+12x=22解之,x=22,自變量x的取值范圍是0WxW22函數(shù)問題5某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤,假設(shè)到電腦公司刻錄,每張

11、需8元,假設(shè)學(xué)校自刻,除租用刻錄機120元外,每張還需本錢4元,問這些光盤是到電腦公司刻錄,還是學(xué)校自己刻費用較省此題要考慮X的范圍解:設(shè)總費用為Y元,刻錄X張,那么電腦公司：Y1=8X學(xué)校：Y2=4X+120當(dāng)X=30時,Y1=Y2,當(dāng)X>30時,Y1>Y2,當(dāng)X<30時,Y1<Y2函數(shù)問題6(1) y與x成正比例函數(shù),當(dāng)y=5時,x=2.5,求這個正比例函數(shù)的解析式(2)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,2)和B(3,5)兩點,求此一次函數(shù)的解析式.解：(1)設(shè)所求正比例函數(shù)的解析式為y=kX,把y=5,x=2.5代入上式得,5=2.5k,解之,得k=2,所求正比例函數(shù)的解

12、析式為y=2X(2)設(shè)所求一次函數(shù)的解析式為y=kx+b此圖象經(jīng)過A(1,2)、B(3,5)兩點,此兩點的坐標(biāo)必滿足y=kx+b,將x=-1、y=2和x=3、y=-5分別代入上式,得2=-k+b,-5=3k+b解得k=-7/4,b=1/4,此一次函數(shù)的解析式為y=-7x/4+1/4點評：(1)不能化成帶分數(shù).(2)所設(shè)定的解析式中有幾個待定系數(shù),就需根據(jù)條件列幾個方程.函數(shù)問題7拖拉機開始工作時,油箱中有油20升,如果每小時耗油5升,求油箱中的剩余油量Q(升)與工作時間t(時)之間的函數(shù)關(guān)系式,指出自變量t的取值范圍,并且畫出圖象.分析：拖拉機一小時耗油5升,t小時耗油5t升,以20升減去5t

13、升就是余下的油量.解：函數(shù)關(guān)系式：Q=20-5t,其中t的取值范圍：0WtW4.圖象是以(0,20)和(4,0)為端點的一條線段(圖象略).點評：注意函數(shù)自變量的取值范圍.該圖象要根據(jù)自變量的取值范圍而定,它是一條線段,而不是一條直線.函數(shù)問題8一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(2,0),且與兩坐標(biāo)軸截得的三角形面積為3,求此一次函數(shù)的解析式.分析：從圖中可以看出,過點P作一次函數(shù)的圖象,和y軸的交點可能在y軸正半軸上,也可能在y軸負半軸上,因此應(yīng)分兩種情況進行研究,這就是分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.解：設(shè)所求一次函數(shù)解析式為y=kx+b點P的坐標(biāo)為(一2,0)|OP|=2設(shè)函數(shù)圖象與y軸交于點B(0,m)

14、根據(jù)題意,SAPOB=3,|m|二3,一次函數(shù)的圖象與y軸交于B1(0,3)或B2(0,3)將P(2,0)及B1(0,3);或P(2,0)及B2(0,3)的坐標(biāo)代入y=kx+b中,得-2k+b=0,b=3;或-2k+b=0,b=-3.解得k=1.5,b=3;或k=-1.5,b=-3.所求一次函數(shù)的解析式為y=1.5x+3或y=-1.5-3.點評：(1)此題用到分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.涉及過定點作直線和兩條坐標(biāo)軸相交的問題,一定要考慮到方向,是向哪個方向作.可結(jié)合圖形直觀地進行思考,預(yù)防丟掉一條直線.(2)涉及面積問題,選擇直角三角形兩條直角邊乘積的一半,結(jié)果一定要得正值【考點指要】一次函數(shù)的定

15、義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級知識點,特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起,以選擇題、填空題、解做題等題型出現(xiàn)在中考題中,大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.函數(shù)問題9如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2WxW6,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11<y<9.求此函數(shù)的的解析式.分析：由于函數(shù)的增減性不明確,所以分(1)K>0時,x=-2,y=11;X=6,y=9.(2) KV0時,此時x=-2,y=9;X=6,y=11.當(dāng)

16、k4.時,函數(shù)值陵X增大而誠小,解；根據(jù)題意,當(dāng)k.時,糜*增大而增大,當(dāng)切鈉時,殲11,乙當(dāng)爐-卅,於耐,-2k+b=9I-2k+b=-11n*'函數(shù)*晰式為吟2,b=-6b=4*函所式為可以因此j函數(shù)解析式為尸不呻就.【考點指要】此題主要考察了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解,假設(shè)k>0,那么y隨x的增大而增大；假設(shè)k<0,那么y隨x的增大而減小.根本概念題本節(jié)有關(guān)根本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系,以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件.例1以下函數(shù)中,哪些是一次函數(shù)哪些是正比例函數(shù)(1)y=-lx;(2)y=-2；(3)y=-3-5x;2x(4) y=-

17、5x(5)y=6x-(6)y=x(x-4)-x2.2分析此題主要考查對一次函數(shù)及正比例函數(shù)的概念的理解.解：(1)(3)(5)(6)是一次函數(shù),(1)(6)是正比例函數(shù).一2c例2當(dāng)m為何值時,函數(shù)y=-(m-2)x'+(m-4)是一次函數(shù)分析某函數(shù)是一次函數(shù),除應(yīng)符合y=kx+b外,還要注意條件kw0.一2cm2-3=1,._o<.m=-2.-(m-2)#0,解：:函數(shù)y=(m-2)xm,+(m-4)是一次函數(shù),一2c,當(dāng)m=-2時,函數(shù)y=(m-2)x_3+(m-4)是一次函數(shù).小結(jié)某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：一次項(或自變量)的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.而某函數(shù)假設(shè)是正比例

18、函數(shù),那么還需添加一個條件：常數(shù)項為0.根底知識應(yīng)用題本節(jié)根底知識的應(yīng)用主要包括：(1)會確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；(2)會畫一次函數(shù)(正比例函數(shù))圖象及根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題；(4)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式.例3一根彈簧長15cm,它所掛物體的質(zhì)量不能超過18kg,并且每掛1kg的物體,彈簧就伸長0.5cm,寫出掛上物體后,彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并判斷y是否是x的一次函數(shù).分析(1)彈簧每掛1kg的物體后,伸長0.5cm,那么掛xkg的物體后,彈簧的長度y為(l5+0.5x)cm

19、,即y=15+0.5x.(2)自變量x的取值范圍就是使函數(shù)關(guān)系式有意義的x的值,即0WxW18.(3)由y=15+0.5x可知,y是x的一次函數(shù).解：(l)y=15+0.5x.(2)自變量x的取值范圍是0WxW18.(3)y是x的一次函數(shù).學(xué)生做一做烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長約600千米,火車從烏魯木齊出發(fā),其平均速度為58千米/時,那么火車離庫爾勒的距離s(千米)與彳T駛時間t(時)之間的函數(shù)關(guān)系式是老師評一評研究此題可采用線段圖示法,如圖11-19所示.火車/力、日才/立置-5號-于水一方匚一口口干式派-丁烏管木齊庫爾勒圖2L1-19火車從烏魯木齊出發(fā),t小時所走路程為58t千米,此時,距離

20、庫爾勒的距離為s千米,故有58t+s=600,所以,s=600-58t.例4某物體從上午7時至下午4時的溫度M(C)是時間t(時)的函數(shù)：M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12時,t=1表示下午1時),那么上午10時此物體的溫度為C.分析此題給出了函數(shù)關(guān)系式,欲求函數(shù)值,但沒有直接給出t的具體值.從題中可以知道,t=0表示中午12時,t=1表示下午1時,那么上午10時應(yīng)表示成t=-2,當(dāng)t=-2時,M=(-2)3-5X(-2)+100=102(C).答案：102例5y-3與x成正比例,且x=2時,y=7.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x=4時,求y的值；(3)當(dāng)y=4時,求

21、x的值.分析由y-3與x成正比例,那么可設(shè)y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,那么可以寫出關(guān)系式.解：(1)由于y-3與x成正比例,所以設(shè)y-3=kx.把x=2,y=7代入y-3=kx中,得7-3=2k,k=2.二.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x,即y=2x+3.(2)當(dāng)x=4時,y=2X4+3=11.(3)當(dāng)y=4時,4=2x+3,1.x=.2學(xué)生做一做y與x+1成正比例,當(dāng)x=5時,y=12,那么y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是.老師評一評由y與x+1成正比例,可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=k(x+1).再把x=5,y=12代入,求出k的值,即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

22、系式為y=k(x+1).當(dāng)x=5時,y=12,.12=(5+1)k,k=2.y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2.【注意】y與x+1成正比例,表示y=k(x+1),不要誤認為y=kx+1.例6假設(shè)正比例函數(shù)y=(1-2m)x的圖象經(jīng)過點A(xi,y.和點B(x2,y),當(dāng)Xi<x2時,y1>y2,那么m的取值范圍是()1A.m<OB.m>0C.m<D.m>M分析此題考查正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),由于當(dāng)X1VX2時,y1>y2,說明y隨x的增,_-,1一大而減小,所以1-2m<O,m>,故正確答案為D項.2學(xué)生做一做某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15萬

23、元,方案今后每年增加2萬元.(1)寫出年產(chǎn)值y(萬元)與年數(shù)x(年)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出函數(shù)的圖象；(3)求5年后的產(chǎn)值.老師評一評(1)年產(chǎn)值y(萬元)與年數(shù)x(年)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=15+2x.(2)畫函數(shù)圖象時要特別注意到該函數(shù)的自變量取值范圍為x>0,因此,函數(shù)y=15+2x的圖象應(yīng)為一條射線.畫函數(shù)y=12+5x的圖象如圖1121所示.3當(dāng)x=5時,y=15+2X5=25萬元,5年后的產(chǎn)值是25萬元.例7一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1122所示,求函數(shù)表達式.分析從圖象上可以看出,它與x軸交于點-1,0,與y軸交于點0,-3,代入關(guān)系式中,求出k為即可.解：由圖象

24、可知,圖象經(jīng)過點-1,0和0,-3兩點,代入到y(tǒng)=kx+b中,得0=-k+b,3=0+b,k=-3,b=3.,此函數(shù)的表達式為y=-3x-3.例8求圖象經(jīng)過點2,-1,且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達式.分析1圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達式的一次項系數(shù)為2,那么可設(shè)此表達式為y=2x+b,再將點2,-1代入,求出b即可.解：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達式為y=2x+b,圖象經(jīng)過點2,-1,.-l=2X2+b.b=-5,所求一次函數(shù)的表達式為y=2x-5.綜合應(yīng)用題本節(jié)知識的綜合應(yīng)用包括：1與方程知識的綜合應(yīng)用；2與不等式知識的綜合應(yīng)用；3與實際生活相聯(lián)系,通過函數(shù)解決生活中的實際問題.

25、例8y+a與x+ba,b為是常數(shù)成正比例.1y是x的一次函數(shù)嗎請說明理由；2在什么條件下,y是x的正比例函數(shù)分析1判斷某函數(shù)是一次函數(shù),只要符合y=kx+bk,b中為常數(shù),且kw0即可；判斷某函數(shù)是正比例函數(shù),只要符合y=kxk為常數(shù),且kw0即可.解：1y是x的一次函數(shù).:y+a與x+b是正比例函數(shù),設(shè)y+a=kx+bk為常數(shù),且kw0整理得y=kx+kb-a.,kw0,k,a,b為常數(shù),y=kx+kb-a是一次函數(shù).2當(dāng)kb-a=0,即a=kb時,y是x的正比例函數(shù).例9某移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通使用者先交50元月租費,然后每通話1分,再付費0.4元；“神州行使用者不交月租

26、費,每通話1分,付話費0.6元均指市內(nèi)通話假設(shè)1個月內(nèi)通話x分,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元.1寫出y1,y2與x之間的關(guān)系；（2） 一個月內(nèi)通話多少分時,兩種通訊方式的費用相同3某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200元,那么選擇哪種通訊方式較合算分析這是一道實際生活中的應(yīng)用題,解題時必須對兩種不同的收費方式仔細分析、比擬、計算,方可得出正確結(jié)論.解：1y1=50+0.4x其中x>0,且x是整數(shù)y2=0.6x其中x>0,且x是整數(shù)2二,兩種通訊費用相同,：N=V2,即50+0.4x=0.6x.-.x=250. 一個月內(nèi)通話250分時,兩種通訊方式的費用相同.3當(dāng)y1=200時,有

27、200=50+0.4x,.x=375分.“全球通可通話375分.當(dāng)y2=200時,有200=0.6x,1“神州行可通話3331分.31.x=333,(分).31375>333_,選擇全球通較合算.3m6)在該函數(shù)的圖象上,把例10y+2與x成正比例,且x=-2時,y=0.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出函數(shù)的圖象；(3)觀察圖象,當(dāng)x取何值時,y>0?(4)假設(shè)點(m6)在該函數(shù)的圖象上,求m的值；(5)設(shè)點P在y軸負半軸上,(2)中的圖象與x軸、y軸分別交于AB兩點,且Saabf=4,求P點的坐標(biāo).分析由y+2與x成正比例,可設(shè)y+2=kx,把x=-2,y=0代入,可求

28、出k,這樣即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)進行分析,點(x=m,y=6代入即可求出m的值.解：(1);y+2與x成正比例,設(shè)y+2=kx(k是常數(shù),且kw.) .當(dāng)x=-2時,y=0.0+2=k(-2),k=-1.二函數(shù)關(guān)系式為x+2=-x,即y=-x-2.(2)列表；x0-2y-20描點、連線,圖象如下圖.x<-2時,y>0.m=-8.A(-2,0),B(0,-2).(3)由函數(shù)圖象可知,當(dāng)xW-2時,y>0.,當(dāng)(4)二,點(m6)在該函數(shù)的圖象上,6=-m-2,(5)函數(shù)y=-x-2分別交x軸、y軸于A,B兩點,188. Saabk一|AP|-|O

29、A|=4,|BP|=4.2|OA|2,點P與點B的距離為4.又二B點坐標(biāo)為(0,-2),且P在y軸負半軸上, .P點坐標(biāo)為(0,-6).例11一次函數(shù)y=(3-k)x-2k2+18.(1)k為何值時,它的圖象經(jīng)過原點(2)k為何值時,它的圖象經(jīng)過點(0,-2)?(3) k為何值時,它的圖象平行于直線y=-x?(4)k為何值時,y隨x的增大而減小分析函數(shù)圖象經(jīng)過某點,說明該點坐標(biāo)適合方程；圖象與y軸的交點在y軸上方,說明常數(shù)項b>O;兩函數(shù)圖象平行,說明一次項系數(shù)相等；y隨x的增大而減小,說明一次項系數(shù)小于0.解：(1)圖象經(jīng)過原點,那么它是正比例函數(shù).,k=-2.當(dāng)k=-3時,它的圖象經(jīng)

30、過原點.,-2k2+18=0,(2)該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,-2).-2=-2k2+18,且3-kw0,k=±<10.當(dāng)k=±J10時,它的圖象經(jīng)過點(0,-2)(3)函數(shù)圖象平行于直線y=-x,3-k=-1,k=4.當(dāng)k=4時,它的圖象平行于直線x=-x.(4) ,隨x的增大而減小,3-k<O.k>3.當(dāng)k>3時,y隨x的增大而減小.例12判斷三點A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一條直線上.分析由于兩點確定一條直線,應(yīng)選取其中兩點,求經(jīng)過這兩點的函數(shù)表達式,再把第三個點的坐標(biāo)代入表達式中,假設(shè)成立,說明在此直線上；假設(shè)不成立,

31、說明不在此直線上.解：設(shè)過A,B兩點的直線的表達式為y=kx+b.由題意可知,1=3k+b,fk=1,2=0+b,、b=-2.過A,B兩點的直線的表達式為y=x-2.當(dāng)x=4時,y=4-2=2.點C(4,2)在直線y=x-2上.A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一條直線上.學(xué)生做一做判斷三點A(3,5),B(0,-1),C(1,3)是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運用知識的靈活性和創(chuàng)新性,表達分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用.例13老師講完“一次函數(shù)這節(jié)課后,讓同學(xué)們討論以下問題：(1)x從0開始逐漸增大時,y=2x+8和y=6x哪一個的函數(shù)值先到達30

32、?這說明了什么(2)直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何甲生說："y=6x的函數(shù)值先到達30,說明y=6x比y=2x+8的值增長得快.乙生說："直線y=-x與y=-x+6是互相平行的.你認為這兩個同學(xué)的說法正確嗎分析(1)可先畫出這兩個函數(shù)的圖象,從圖象中發(fā)現(xiàn),當(dāng)x>2時,6x>2x+8,所以,y=6x的函數(shù)值先到達30.(2)直線y=-x與y=-x+6中的一次項系數(shù)相同,都是-1,故它們是平行的,所以這兩位同學(xué)的說法都是正確的.解：這兩位同學(xué)的說法都正確.例14某校一名老師將在假期帶著學(xué)生去北京旅游,用旅行社說：“如果老師買全票,其他人全部半價優(yōu)惠.乙旅行

33、社說：“所有人按全票價的6折優(yōu)惠.全票價為240元.(1)設(shè)學(xué)生人數(shù)為x,甲旅行社的收費為y甲元,乙旅行社的收費為y乙元,分別表示兩家旅行社的收費；(2)就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠.分析先求出甲、乙兩旅行社的收費與學(xué)生人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式,再通過比擬,探究結(jié)論.解：1甲旅行社的收費y甲元與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=240+1X240x=240+120x.乙旅行社的收費y乙元與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=240X60%Xx+1=144x+144.2當(dāng)丫甲=丫乙時,有240+120x=144x+144, .24x=96,x=4.當(dāng)x=4時,兩家旅行社的收費相同,去哪家都可以.當(dāng)y

34、甲y乙時,240+120x>144x+144, -24x<96,x<4.當(dāng)x<4時,去乙旅行社更優(yōu)惠.當(dāng)y甲<y乙時,有240+120x<140x+144, -24x>96,x>4.當(dāng)x>4時,去甲旅行社更優(yōu)惠.小結(jié)此題的創(chuàng)新之處在于先通過計算進行討論,再作出決策,另外,這兩個函數(shù)都是一次函數(shù),利用圖象來研究此題也不失為一種很好的方法.學(xué)生做一做某公司到果園基地購置某種優(yōu)質(zhì)水果,慰問醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對購置量在3000千克以上含3000千克的有兩種銷售方案.甲方案：每千克9元,由基地送貨上門；乙方案：每千克8元,由顧客自己租車運回,該公司

35、租車從基地到公司的運輸費為5000元.1分別寫出該公司兩種購置方案的付款y元與所購置的水果量x千克之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量X的取值范圍；2當(dāng)購置量在什么范圍時,選擇哪種購置方案付款少并說明理由.老師評一評先求出兩種購置方案的付款y元與所購置的水果量x千克之間的函數(shù)關(guān)系式,再通過比擬,探索出結(jié)論.1甲方案的付款y甲元與所購置的水果量x千克之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=9xx-3000;乙方案的付款y乙元與所購置的水果量x千克之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=8x+500Ox>3000.2有兩種解法：解法1:當(dāng)丫甲=丫乙時,有9x=8x+5000,x=5000. 當(dāng)x=5000時,兩種方案付款一樣,按

36、哪種方案都可以.當(dāng)y甲<y乙時,有9x<8x+5000, .x<5000.又x>3000, 當(dāng)3000WxW5000時,甲方案付款少,故采用甲方案.當(dāng)y甲>y乙時,有9x>8x+5000,.x>5000.當(dāng)x>5000時,乙方案付款少,故采用乙方案.解法2:圖象法,作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函數(shù)圖象,如圖11-24所示,由圖象可得：當(dāng)購置量大于或等于3000千克且小于5000千克時,y甲<y乙,即選擇甲方案付款少；當(dāng)購置量為5000千克時,y甲>y乙即兩種方案付款一樣；當(dāng)購置量大于5000千克時,y甲10000600005

37、00004CKW03000020000>y乙,即選擇乙方案付款最少.【說明】圖象法是解決問題的重要方法,也是考查學(xué)生讀圖能力的有效途徑.U100020003000400050006000TOOOx/于克例15一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3<x<6,相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5WyW-2,那么這個函數(shù)的解析式為分析此題分兩種情況討論：當(dāng)k>0時,y隨x的增大而增大,那么有：當(dāng)x=-3,y=-5;當(dāng)x=6時,y=-2,把它們代入y=kx+b中可得J_5=_3kb,-2=6kb,k=3,函數(shù)解析式為y=-x-4.b=-4,當(dāng)k<O時那么隨x的增大而減小,那

38、么有：當(dāng)代入y=kx+b中可得x=-3時,y=-2;當(dāng)x=6時,y=-5,把它們-2=-3b+b,5=6k+b,1k二y=x-3.33,.函數(shù)解析式為b-3,函數(shù)解析式為y=1x-4,或y=-1x-3.答案：y=1x-4或y=-1x-3.3333【注意】此題充分表達了分類討論思想,方程思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用,切忌考慮問題不全面.中測試題預(yù)測例1某地舉辦乒乓球比賽的費用y元包括兩局部：一局部是租用比賽場地等固定不變的費用b元,另一局部與參加比賽的人數(shù)x人成正比例,當(dāng)x=20時y=160O;當(dāng)x=3O時,y=200O.1求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；2動果有50名運發(fā)動參加比賽,且全部費用由運發(fā)動分攤

39、,那么每名運發(fā)動需要支付多少元分析設(shè)舉辦乒乓球比賽的費用y元與租用比賽場地等固定不變的費用b元和參加比賽的人數(shù)x人的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+bkw0.把x=20,y=1600;x=30,y=2000代入函數(shù)關(guān)系式,求出k,b的值,進而求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)x=50時,求出y的值,再求得y+50的值即可.解：1設(shè)y1=b,y2=kxkw0,x>0,.y=kx+b.又.當(dāng)x=20時,y=1600;當(dāng)x=30時,y=2000,1600=20k+b,%=40,2000=30k+b,q=800.二.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=40x+800x>0.2當(dāng)x=50時,y=40X50+800

40、=2800元.,每名運發(fā)動需支付2800與0=56元答：每名運發(fā)動需支付56元.例2一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x=-4時,y的值為9;當(dāng)x=2時,y的值為-3.1求這個函數(shù)的解析式.2在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這個函數(shù)的圖象.分析求函數(shù)的解析式,需要兩個點或兩對x,y的值,把它們代入y=kx+b中,即可求出k在的值,也就求出這個函數(shù)的解析式,進而畫出這個函數(shù)的圖象.解：1由題意可知m="k+b,.Jk=-2,3=2k+b,、b=1.,這個函數(shù)的解析式為x=-2x+1.2列表如下:x012y10描點、連線,如圖11-26所示即為y=-2x+1的圖象.例3如圖1127所示,大拇指與小拇指盡量張開時

41、,兩指尖的距離稱為指距.某項研究說明,一般情況下人的身高h是指距d的一次函數(shù),下表是測得的指距與身高的一組數(shù)據(jù).圖】1-26指距d/cm20212223身高h/cm1601691781871求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；不要求寫出自變量d的取值范圍2某人身高為196cm,一般情況下他的指距應(yīng)是多少分析設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=kd+bkw0當(dāng)d=20時,h=160;當(dāng)d=21時,h=169.把這兩對d,h值代人h=kd+b得160=20k+b,%=9,J.JJ69=21k+b,b=-20.所以得出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)h=196時,即可求出d.解：1設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式為h=kd+b

42、kw0由題中圖表可知當(dāng)d=2O時,h=16O;當(dāng)d=21時,h=169.圖11-27把它們代入函數(shù)關(guān)系式,得；160=20k+b,J69=21k+b,:k=9,b=-20.,h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=9d-20.2當(dāng)h=196時,有196=9d-20.d=24.,當(dāng)某人的身高為196cm時,一般情況下他的指距是24cm.例4汽車由重慶駛往相距400千米的成都,如果汽車的平均速度是100千米/時,那汽車距成都的路程s千米與行駛時間t時的函數(shù)關(guān)系用圖象如圖1128所示表示應(yīng)為CD分析此題主要考查函數(shù)關(guān)系式的表達及函數(shù)圖象的知識,由題意可知,汽車距成都的路程s千米與行駛時間t時的函數(shù)關(guān)系式是s=4

43、00-100t,其中自變量t的取值范圍是0WtW4,所以有0Ws<400,因此這個函數(shù)圖象應(yīng)為一條線段,故淘汰掉D.又由于在S=400-100t中的k=-100<0,s隨t的增大而減小,所以正確答案應(yīng)該是C.小結(jié)畫函數(shù)圖象時,要注意自變量的取值范圍,尤其是對實際問題.例5函數(shù)：1圖象不經(jīng)過第二象限；2圖象經(jīng)過點2,-5.請你寫出一個同時滿足1和2的函數(shù)關(guān)系式：.分析這是一個開放性試題,答案是不惟一的,由于點2,-5在第四象限,而圖象又不經(jīng)過第二象限,所以這個函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限,只需在第一象限另外任意找到一點,就可以確定出函數(shù)的解析式.設(shè)經(jīng)過第一、二、四象限的直線解析式為y

44、=kx+bkwO,另外的一點為4,3,把這兩個點代入解析式中即可求出k,b.3=4k+b,5=2k+b,k=4,一一1.y=4x-13.答案：y=4x-13b=13.【注意】后面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)二次函數(shù)后可另行分析例6人在運動時的心跳速率通常和人的年齡有關(guān).如果用a表示一個人的年齡,用b表示正常情況下這個人運動時所能承受的每分心跳的最高次數(shù),另么b=0.8220-a.1正常情況下,在運動日一個16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是多少?（2） 一個50歲的人運動10秒時心跳的次數(shù)為20次,他有危險嗎分析1只需求出當(dāng)a=16時b的值即可.2求出當(dāng)a=50時b的值,再用b和20X60=120次

45、相比擬即可.解：1當(dāng)a=16時,b=0.8220-16=163.2次.163.2.正常情況下,在運動時一個16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是次.2當(dāng)a=50時,b=0.8220-50=0.8X170=136次,表示他最大能承受每分136次.而20X奐=120<136,所以他沒有危險.一個50歲的人運動10秒時心跳的次數(shù)為20次,他沒有危險.例7某市的A縣和B縣春季育苗,急需化肥分別為90噸和60噸,該市的C縣和D縣分別儲存化肥100噸和50噸,全部調(diào)配給A縣和B縣.C,D兩縣運化肥到A,B兩縣的運費元/噸如下表所示.目Xs'D縣3640B且30451設(shè)C縣運到A縣的化肥為

46、x噸,求總運費W元與x噸的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍；2求最低總運費,并說明總運費最低時的運送方案.分析1利用表格來分析C,D兩縣運到AB兩縣的化肥情況如下表.地A具90噸5縣®噸C縣100噸100-K50噸0Q-(lOQ-s)那么總運費W元與x噸的函數(shù)關(guān)系式為W=35x+4090-x+30100-x+4560-100-x=10x+4800.自變量x的取值范圍是40<x<90.解：1由C縣運往A縣的化肥為x噸,那么C縣運往B縣的化肥為100-x噸.D縣運往A縣的化肥為90-x噸,D縣運往B縣的化肥為x-40噸.由題意可知W35x+4090-x+30100-x+4

47、5x-40=10x+4800.自變量x的取值范圍為40<x<90.,總運費W元與x噸之間的函數(shù)關(guān)系式為w=1Ox+480O40WxW9O.2:10>0,WBx的增大而增大.,當(dāng)x=40時,Wfe小值=10X40+4800=5200元.運費最低時,x=40,90-x=50噸,x-40=0噸.當(dāng)總運費最低時,運送方案是：C縣的100噸化肥40噸運往A縣,60噸運往B縣,D縣的50噸化肥全部運往A縣.11-29例820XX年夏天,某省由于持續(xù)高溫和連日無雨,水庫蓄水量普遍下降,圖10008OC600400200口102030405060/天與干旱時間t天之間的函數(shù)關(guān)系為是某水庫的蓄水量V萬米2與干旱持續(xù)時間t天之問的關(guān)系圖,請根據(jù)此圖答復(fù)以下問題.1該水庫原蓄水量為多少萬米2?持續(xù)干旱310天后.水庫畜水量為多少萬米2假設(shè)水庫存的蓄水量小于400萬米3時,將發(fā)出嚴重干旱警報,請問：持續(xù)干旱多少天后,將發(fā)生嚴重干旱警報3按此規(guī)律,持續(xù)干旱多少天時,水庫將干涸分析由函數(shù)圖象可知,水庫的蓄水量V萬米2一次函數(shù),設(shè)一次函數(shù)的解析式是V=kt+bk,b是常數(shù),且kw0.由圖象求得這個函數(shù)解析式,進而求出此題123問即可.解：設(shè)水庫的蓄水量V萬米3與干旱時間t天之間的函數(shù)關(guān)系式是V=kt+bk,b