指數(shù)函數(shù)與其性質(zhì)基礎(chǔ)

1、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性，明確指數(shù)函數(shù)的定義域；2.掌握指數(shù)函數(shù)圖象：(1)能在基本性質(zhì)的指導(dǎo)下，用列表描點(diǎn)法畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，能從數(shù)形兩方面認(rèn)識指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；(2)掌握底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象的影響；(3)從圖象上體會(huì)指數(shù)增長與直線上升的區(qū)別3.學(xué)會(huì)利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性來比較大小，包括較為復(fù)雜的含字母討論的類型；4.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；5.通過對指數(shù)函數(shù)的研究，要認(rèn)識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，更善于從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=a

2、x(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)镽.要點(diǎn)詮釋：（1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如y=ax(a0且a1)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)像，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：如果，則如果，則對于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在如果，則是個(gè)常量，就沒研究的必要了要點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：y=ax0a1時(shí)圖象圖象性質(zhì)定義域R，值域 （0，+）a0=1, 即x=0時(shí)，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)點(diǎn)ax=a，即x=1時(shí)，y等于底數(shù)a在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)x1x0時(shí)，0ax1x0時(shí)，0ax0時(shí)，ax1 既不是奇函數(shù)，也不是

3、偶函數(shù)要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論。（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快。當(dāng)時(shí)，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快。（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱。要點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1） 則：0ba1dc又即：x(0,+)時(shí)， （底大冪大） x(,0)時(shí)，（2）特殊函數(shù)的圖像：要點(diǎn)四、指數(shù)式大小比較方法(1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：若；當(dāng)兩個(gè)式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可【典型例題】類型

4、一、指數(shù)函數(shù)的概念例1函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值【答案】2【解析】由是指數(shù)函數(shù)，可得解得，所以【總結(jié)升華】判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)：（1）切入點(diǎn)：利用指數(shù)函數(shù)的定義來判斷；（2）關(guān)鍵點(diǎn)：一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)要求系數(shù)為1，底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)，指數(shù)必須是自變量舉一反三：【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）為指數(shù)函數(shù)其中（6）=，符合指數(shù)函數(shù)的定義，而（2）中底數(shù)不是常數(shù)，而4不是變數(shù)；（3）是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積；（4）中底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)類型二、函數(shù)的定義域、值域例2求下列函數(shù)的定義域、

5、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))【答案】（1）R，(0，1)；（2）R )；（3）；（4）(-，-1)1，+) 1，a)(a，+)【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽 (對一切xR，3x-1).，又 3x0， 1+3x1， ， 值域?yàn)?0，1).(2)定義域?yàn)镽， 2x0， 即 x=-1時(shí)，y取最小值，同時(shí)y可以取一切大于的實(shí)數(shù)， 值域?yàn)?.(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即，值域是.(4) 定義域?yàn)?-，-1)1，+)，又， 值域?yàn)?，a)(a，+).【總結(jié)升華】求值域時(shí)有時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y

6、0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1時(shí)，；0a1時(shí)，；0a1時(shí)，外層函數(shù)y=au在上為增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，外層函數(shù)y=au在上為減函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).例4已知函數(shù)為R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a取值的范圍是【思路點(diǎn)撥】由題意可得，由此解得a的范圍【答案】2，3）【解析】由于函數(shù)為R上的增函數(shù)，可得 ，解得2a3，故答案為

7、2，3）【總結(jié)升華】本題是一個(gè)分段函數(shù)，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)例5判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系：(1)1.8a與1.8a+1； (2)(3)22.5，(2.5)0， (4)【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)去比較大小。【答案】（1）1.8a1時(shí)，當(dāng)0a1，所以函數(shù)y=1.8x為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)閍a+1，所以1.8a1時(shí)，當(dāng)0a1， 所以y=1.3x在R上為增函數(shù)1.30.71.30=1， .【總結(jié)升華】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí)，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)(如0，1等)分別

8、與之比較，從而得出結(jié)果.總之比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.例6. (分類討論指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)化簡：【思路點(diǎn)撥】先把被開方數(shù)變形成完全平方式的形式，然后對進(jìn)行分類討論，去掉絕對值?！窘馕觥颗e一反三：【變式1】如果（，且），求的取值范圍【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由于，解得（2）當(dāng)時(shí)，由于，解得綜上所述，的取值范圍是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，類型四、判斷函數(shù)的奇偶性例7判斷下列函數(shù)的奇偶性： (為奇函數(shù))【答案】偶函數(shù)【解析】f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個(gè)元素)，令，則 g(x)為奇函數(shù)， 又 為奇函數(shù)， f(x

9、)為偶函數(shù).【總結(jié)升華】求的奇偶性，可以先判斷與的奇偶性，然后在根據(jù)奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出的奇偶性舉一反三：【變式1】判斷函數(shù)的奇偶性：.【答案】偶函數(shù)【解析】定義域x|xR且x0，又， f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數(shù).類型五、指數(shù)函數(shù)的圖象問題例8如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，而，則圖象C1、C2、C3、C4對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是_、_、_、_【答案】【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知，C2的底數(shù)C1的底數(shù)C4的底數(shù)C3的底數(shù)【總結(jié)升華】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題，同時(shí)還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”舉一反三：【變式1】 設(shè)，cba且，則下列關(guān)系式中一定成立的是（ ）A B C D 【答案】D【解析】=故可作出的圖象如圖所示，由圖可知，要使cba且f（c）f（a）f（b）成立，則有c0且a0，故必有，所以故選D【變式2】為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象()A向左平移9個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度B向右平移9個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度C向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度D向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)