大一高等數(shù)學(xué)第六章定積分應(yīng)用習(xí)題

1、微微 元元 法法理理 論論 依依 據(jù)據(jù)名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點(diǎn)的特點(diǎn)解解 題題 步步 驟驟定積分應(yīng)用中的常用公式定積分應(yīng)用中的常用公式一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、理論依據(jù)、理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定積分定積分的微分的的微分的分就是分就是這表明連續(xù)函數(shù)的定積這表明連續(xù)函數(shù)的定積于是于是即即的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是則它的變上限積分則它的變上限積分上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 2 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方法稱微元法方法稱微元法計(jì)算積分或原函數(shù)的計(jì)算積分或原函數(shù)的

2、這種取微元這種取微元積分積分的無(wú)限積累的無(wú)限積累到到從從就是其微分就是其微分所求總量所求總量知知由理論依據(jù)由理論依據(jù)dxxfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是與與一一個(gè)個(gè)變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間 ba,具具有有可可加加性性，就就是是說(shuō)說(shuō)，如如果果把把區(qū)區(qū)間間 ba,分分成成許許多多部部分分區(qū)區(qū)間間，則則U相相應(yīng)應(yīng)地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來(lái)來(lái)表表達(dá)達(dá)這這個(gè)個(gè)量量U.3

3、 3、所求量的特點(diǎn)、所求量的特點(diǎn)1)根根據(jù)據(jù)問(wèn)問(wèn)題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以所求量）以所求量U

4、的元素的元素dxxf)(為被積表達(dá)式，在為被積表達(dá)式，在區(qū)間區(qū)間,ba上作定積分，得上作定積分，得 badxxfU)(，即為所求量即為所求量U4 4、解題步驟、解題步驟5 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）

5、在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)(ty 連續(xù)連續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù) dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)xoyabxdxx dy弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt

6、在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng) drrs )()(22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)(5) 細(xì)棒的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(為線密度為線密度x (7) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水壓力水壓力xyoabxdxx

7、 )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為引力系數(shù)為引力系數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12二、典型例題二、典型例題例例1 1.3;2;1)0(sincos00033體積及表面積體積及表面積體體它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它的弧長(zhǎng)它的弧長(zhǎng)它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線星形線已知已知 ataytaxa aoyx解解.10A設(shè)面積為設(shè)面積為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 aydxA04

8、0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L設(shè)設(shè)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 體積為體積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多多少少若若再再將將滿滿池池水水

9、全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度時(shí)時(shí)水水求求在在池池中中水水深深內(nèi)內(nèi)注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半徑徑為為以以每每秒秒RhhRa oxyRh解解如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系.).0()(222RyRRyx 半半圓圓的的方方程程為為于是對(duì)半圓上任一點(diǎn)于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 時(shí)水池內(nèi)水的體積為時(shí)水池內(nèi)水的體積為為為的球缺的體積即水深的球缺的體積即水深故半球內(nèi)高為故半球內(nèi)高為的立體的立體軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成圓繞圓繞因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th時(shí)時(shí)

10、已已注注水水的的時(shí)時(shí)間間為為又又設(shè)設(shè)水水深深,)(athV 則則有有atdyyRyh 02)2(即即得得求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對(duì)對(duì),t,)2(2adtdhhRh 故所求速度為故所求速度為.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即將將池池內(nèi)內(nèi)將將滿滿池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功約約為為所所需需降降到到抽抽水水時(shí)時(shí)使使水水位位從從dyyRyy )0()1(),(2水水的的比比重重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為故將滿池水全部提升到池沿

11、高度所需功為 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例例3 3.,4,20,3050,的的靜靜壓壓力力求求閘閘門門一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水米米頂頂部部高高出出水水面面如如果果閘閘門門米米高高為為米米米米和和分分別別為為梯梯形形的的上上下下底底如如圖圖所所示示一一等等腰腰梯梯形形閘閘門門解解xyo164 xdxx AB如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系,的的方方程程為為則則梯梯形形的的腰腰 AB.2321 xy此閘門一側(cè)受到靜水壓力為此閘門一側(cè)受到靜水壓力為 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.45

12、22 ).(1043. 47牛牛 一一、 選選擇擇題題：1 1、 曲曲線線xyln 與與直直線線ex1 ，ex 及及0 y所所圍圍成成 的的區(qū)區(qū)域域的的面面積積 S（ ） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；（C C）ee1 ； （D D）11 e . .2 2、曲線、曲線 sin2 r與與 2cos2 r所圍圖形公共部分所圍圖形公共部分 的面積的面積 S（ ） ；） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題3 3、曲曲線線,cos3 ax 3sinay 所所圍圍圖圖形形的的面面積積 S（ ） ； （

13、A A）2323a ； （B B）283a ； （C C）221a； （D D）2161a . .4 4、由球面、由球面9222 zyx與旋轉(zhuǎn)錐面與旋轉(zhuǎn)錐面2228zyx 之之 間包含間包含z軸的部分的體積軸的部分的體積 V( )( )； （A A） 144； （B B） 36； （C C） 72； （D D） 24 . .5 5、用一平面截半、用一平面截半r徑徑為為的球，設(shè)截得的部分球體高的球，設(shè)截得的部分球體高 為為)20(rhh 體體V積積為為，則，則 V（ ） ；） ；（A A）)2(32hrh ； （B B）)3(32hrh ；（C C）)2(2hrh ； （D D）)3(42hrh

14、 . . 6 6、曲線、曲線422 xxy上點(diǎn)上點(diǎn))4,0(0M處的切線處的切線 TM0 與曲線與曲線)1(22 xy所圍圖形的面積所圍圖形的面積 S（ ） ；） ； （A A）;49 （B B）94； （C C）1213； （D D）421. .7 7、拋物線、拋物線pxy22 )0( p自點(diǎn)自點(diǎn))0,0(至點(diǎn)至點(diǎn)),2(pp 的一段曲線弧長(zhǎng)的一段曲線弧長(zhǎng)L= =（ ） ；） ； (A)(A) pppln)21ln(22 ； (B)(B) )21ln(22212ppp； (C)(C) )21(ln22 pp； (D)(D) )21ln(22 p . .8 8、曲曲線線xhry ，hx 0，軸

15、軸繞繞 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體 的的側(cè)側(cè)面面積積 S（ ） ； （A A）22hrr ； （B B）22hrh ； （C C）22hrhr ； （D D）222hrr . .二、在區(qū)間二、在區(qū)間 e,1內(nèi)求內(nèi)求0 x一一點(diǎn)點(diǎn)，使，使,0,ln yxy 1 y及及0 xx 所圍成兩塊面積之和為最小所圍成兩塊面積之和為最小 . .三三 、設(shè)設(shè)曲曲邊邊梯梯形形是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf，軸軸x與與兩兩直直線線bxax ,所所圍圍成成的的，求求證證：存存在在直直線線 x ),(ba 將將曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積平平分分 . .四四、求求擺擺線線 )cos1()sin(tayttax，)20( t 1 1、軸軸繞繞 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所成成曲曲面面的的面面積積 ； 2 2、軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所成成曲曲面面的的面面積積 . .五五、有有一一旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體，它它由由曲曲線線211xy ，軸軸y，軸軸x以以及及直直線線1 x所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成，已已知知其其上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的體體密密度度等等于于該該點(diǎn)點(diǎn)到到旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸的的距距離離，求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量 . .六六、以以a每每秒秒的的流流量量往往半半R徑徑為為的的半半球球形形水水池池內(nèi)內(nèi)注注水水1 1、 求求在在水水池池