江蘇省專轉(zhuǎn)本高數(shù)模擬試題與解析第一套

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上江蘇省2013年普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試模擬試卷（一）高等數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.考生務(wù)必將密封線內(nèi)的各項(xiàng)填寫(xiě)清楚。2.考生必須要鋼筆或圓珠筆將答案直接寫(xiě)在試卷上，寫(xiě)在草稿紙上無(wú)效。3.本試卷五大題24小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、 選擇題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）。1、是的（ ）A、可去間斷點(diǎn)B、跳躍間斷點(diǎn) C、第二類間斷點(diǎn) D、連續(xù)點(diǎn)2、若是函數(shù)的可導(dǎo)極值點(diǎn)，則常數(shù)（ ）A、B、 C、 D、3、若，則（ ）A、B、 C、 D、4、設(shè)區(qū)域是平面上以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的

2、三角形區(qū)域，區(qū)域是在第一象限的部分，則：（ ）A、B、C、D、05、設(shè)，則下列等式成立的是（ ）A、B、C、D、6、正項(xiàng)級(jí)數(shù)(1) 、(2) ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A、若（1）發(fā)散、則（2）必發(fā)散 B、若（2）收斂、則（1）必收斂C、若（1）發(fā)散、則（2）不定D、若（1）、（2）斂散性相同二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共24分，請(qǐng)把正確答案的結(jié)果添在劃線上）。7、 8、函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的 9、 10、設(shè)向量、；且、互相垂直，則 11、交換二次積分的次序 12、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）。13、設(shè)函數(shù) 在內(nèi)連續(xù)，并滿足：、

3、，求。14、設(shè)函數(shù)由方程所確定，求、。15、計(jì)算。16、計(jì)算。17、已知函數(shù)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求、。18、求過(guò)點(diǎn)且通過(guò)直線的平面方程。19、將函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，并寫(xiě)出它的收斂區(qū)間。20、求微分方程滿足的特解。四、證明題（每小題9分，共18分）21、證明方程：在上有且僅有一根22、設(shè)其中函數(shù)在處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)。五、綜合題（每小題10分，共20分）23、已知曲邊三角形由、所圍成，求：（1）、曲邊三角形的面積；（2）、曲邊三角形饒軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積。 24、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，（1）、交換的積分次序；（2）、求。江蘇省2013年普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試模擬

4、試卷解析（一）高等數(shù)學(xué)一、 選擇題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）。1、是的（ ）A、可去間斷點(diǎn)B、跳躍間斷點(diǎn) C、第二類間斷點(diǎn) D、連續(xù)點(diǎn)解析：函數(shù)在處連續(xù)的定義為。實(shí)際上包含三個(gè)條件（1） 函數(shù)在處必須有定義；（2） 函數(shù)在處的極限存在；（3） 函數(shù)在處的極限值必須等于函數(shù)值；當(dāng)上述三個(gè)條件不全滿足時(shí)的點(diǎn)即為函數(shù)的間斷點(diǎn)。而初等函數(shù)在定義區(qū)間之內(nèi)均是連續(xù)的，所以，沒(méi)有定義的點(diǎn)一定是間斷點(diǎn)，分段函數(shù)的分段點(diǎn)是可能的間斷點(diǎn)。根據(jù)點(diǎn)處的極限情況來(lái)加以分類：而，即函數(shù)在處沒(méi)有定義，但左右極限均存在且相等，故

5、本題答案選A2、若是函數(shù)的可導(dǎo)極值點(diǎn)，則常數(shù)（ ）A、B、 C、 D、解析：該題考察函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件，若處可導(dǎo)且為極值點(diǎn)，則 故本題，即，于是，故本題答案選C3、若，則（ ）A、B、 C、 D、解析：該題考察不定積分的基本概念以及湊微分法。求的不定積分就是找那些導(dǎo)數(shù)為的所有函數(shù)全體，不定積分求解正確與否，只要反過(guò)來(lái)求導(dǎo)是否為被積函數(shù)即可。故本題答案選D4、設(shè)區(qū)域是平面上以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，區(qū)域是在第一象限的部分，則：（ ）A、B、C、D、0解析：該題考察函數(shù)奇偶性（對(duì)稱性）的二重積分在對(duì)稱區(qū)域上的積分性質(zhì)。設(shè)積分區(qū)域關(guān)于 軸對(duì)稱，(1) 若關(guān)于是奇函數(shù)，則有(2) 若關(guān)于是偶函數(shù)，則

6、有其中是的上半?yún)^(qū)域。類似的，若積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，(1) 若關(guān)于是奇函數(shù)，則有(2) 若關(guān)于是偶函數(shù)，則有其中是的右半?yún)^(qū)域。oxy故本題答案選A5、設(shè)，則下列等式成立的是（ ）A、B、C、D、解析：該題考察二元顯函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，偏導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是將其中一個(gè)變量當(dāng)作常量對(duì)另一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)。，即，故本題答案選A6、正項(xiàng)級(jí)數(shù)(1) 、(2) ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A、若（1）發(fā)散、則（2）必發(fā)散 B、若（2）收斂、則（1）必收斂C、若（1）發(fā)散、則（2）不定D、若（1）、（2）斂散性相同解析：該題考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)，比較審斂法。若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則一定收斂，因?yàn)楫?dāng)足夠大時(shí)，由比較審斂法知收斂。

7、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則的斂散性不能確定。如與。（請(qǐng)讀者自行驗(yàn)證）故本題答案選C (其它選項(xiàng)可以舉反例)二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共24分，請(qǐng)把正確答案的結(jié)果添在劃線上）。7、 ；解析：求極限時(shí)，先判斷極限類型，若是或型可以直接使用羅比達(dá)法則，其余類型可以轉(zhuǎn)化為或型。羅比達(dá)法則求極限的好處主要有兩方面，一是通過(guò)求導(dǎo)降階，二是通過(guò)求導(dǎo)將難求極限的極限形式轉(zhuǎn)變?yōu)槿菀浊髽O限的形式。不過(guò)，在求極限時(shí)應(yīng)靈活使用多種方法，特別是無(wú)窮小量或是無(wú)窮大量階的比較，使用等價(jià)無(wú)窮小或是等價(jià)無(wú)窮大的目的是將函數(shù)轉(zhuǎn)換為冪的形式，方便判別階數(shù)。 8、函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格郎日中值定理的 ；解析：在江蘇省“專轉(zhuǎn)本”考

8、試中，微分中值定理考察的層次為識(shí)記與理解。主要考察羅爾定理與拉格朗日定理的條件與結(jié)論，定理的條件是充分的，但不必要。若遇到證明至少存在一點(diǎn)的表達(dá)式，特別是帶有導(dǎo)數(shù)的，一般都是利用羅爾定理構(gòu)造輔助函數(shù)證明。，即 又，所以于是，得。9、 ；解析：該題考察奇偶函數(shù)的定積分在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)。10、設(shè)向量、；、互相垂直，則 ；解析：該題考察向量的基本運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算。兩向量數(shù)量積為對(duì)應(yīng)分量乘積之和，結(jié)果是一個(gè)數(shù)量。兩向量垂直的充要條件是數(shù)量積為0。（平行的充要條件是向量積為0向量或分量對(duì)應(yīng)成比例）由條件，得。11、交換二次積分的次序 ；解析：二重積分問(wèn)題是很多“專轉(zhuǎn)本”同學(xué)的難點(diǎn)。首先要理解二重積分

9、的幾何意義，特別是對(duì)稱型簡(jiǎn)化積分計(jì)算。在直角坐標(biāo)系下，首先要畫(huà)出積分區(qū)域，然后根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)與區(qū)域的形狀選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序。積分區(qū)域 轉(zhuǎn)化為故。12、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 ；解析：對(duì)于冪級(jí)數(shù)，如果，則收斂半徑，收斂區(qū)間為。若冪級(jí)數(shù)缺少的奇次項(xiàng)（偶次項(xiàng)）或上述極限不存在（不是無(wú)窮），則此時(shí)將當(dāng)作常量轉(zhuǎn)化為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)處理。本題，所以，收斂區(qū)間為。對(duì)于冪級(jí)數(shù)只需作變量代換即可。三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）。13、設(shè)函數(shù) 在內(nèi)連續(xù)，并滿足：、，求。解析：分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)性與可導(dǎo)性，若分段點(diǎn)的左右兩側(cè)的表達(dá)式互不相同，則必須使用定義左右分別討論。本題只需按照連續(xù)性定

10、義討論即可。在連續(xù)，等價(jià)于，也即 解得。14、設(shè)函數(shù)由方程所確定，求、。解析：由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是?？嫉囊粋€(gè)內(nèi)容，首先需要熟記一階導(dǎo)公式：（各自對(duì)參數(shù)導(dǎo)數(shù)的比值），（將當(dāng)作中間變量，本質(zhì)為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）；。15、計(jì)算。解析：該題考察三角函數(shù)的積分，熟記三角函數(shù)公式，常用導(dǎo)數(shù)公式。16、計(jì)算。解析：該題考察定積分的分部積分，注意的選擇。當(dāng)被積函數(shù)為五種基本初等函數(shù)中某兩類不同類型函數(shù)的乘積時(shí)，一般采用分部積分法，關(guān)鍵是的選擇，一般按照“反（三角函數(shù)）、對(duì)（數(shù)函數(shù)）、冪（函數(shù)）、三（角函數(shù)）、指（數(shù)函數(shù)）”的優(yōu)先順序選擇，另外部分湊成某個(gè)函數(shù)的微分（那個(gè)函數(shù)即為）原式17、已知函數(shù)，其中有

11、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求、。解析：該題型是幾乎每年必考，需要認(rèn)真掌握。第一步：變量的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖其中1，2分別表示第二步：尋找與對(duì)應(yīng)的路徑，計(jì)算的過(guò)程可以總結(jié)為“路中用乘，路間用加”，18、求過(guò)點(diǎn)且通過(guò)直線的平面方程。解析：求平面方程，基本方法是使用點(diǎn)法式，求出平面上的一個(gè)定點(diǎn)和法向量。平面上的定點(diǎn)已知，又直線過(guò)點(diǎn)，其方向向量法向量，；故平面點(diǎn)法式方程為： ，即。19、把函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，并寫(xiě)出它的收斂區(qū)間。解析：函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)是很多同學(xué)在解題時(shí)遇到的一個(gè)很棘手的問(wèn)題，大家普遍反映這個(gè)很難。此處給予較詳細(xì)的講解；函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，一種是在展開(kāi)，展開(kāi)成形如的冪級(jí)數(shù)。還有一種是在展開(kāi)，展開(kāi)成形如的冪級(jí)

12、數(shù)其中展開(kāi)成形如的冪級(jí)數(shù)是最基本的，解題之前，需熟記下列常用展開(kāi)式（1） （2） 將上式中換成，則上式變?yōu)?因?yàn)?，?duì)上式兩邊積分可得的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（3） （4） 因?yàn)?，?duì)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)可到下式（5） 綜上，對(duì)于需要熟記的幾個(gè)常用的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，如果學(xué)得靈活，只需熟記（1）、（2）、（4）即可。其他的可通過(guò)積分或是求導(dǎo)的方法得到。如果以上五個(gè)函數(shù)需要展開(kāi)成形如的冪級(jí)數(shù)，只需將式子中的換成例如：將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，首先是將需要展開(kāi)的函數(shù)分解為以上五個(gè)函數(shù)的形式，然后使用已有的函數(shù)展開(kāi)式。解法：，收斂域?yàn)?。這里用到 關(guān)于函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：1、 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，首先需要將函數(shù)通

13、過(guò)分解，拼湊，求導(dǎo)或是積分等手段轉(zhuǎn)化為上面給出的五個(gè)函數(shù)的展開(kāi)式的形式。例如：將函數(shù)展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù)。首先需要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化方法多樣。 以上轉(zhuǎn)化的一些函數(shù)都可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，只是通過(guò)求導(dǎo)或是積分轉(zhuǎn)化的較麻煩，還需再積分或是求導(dǎo)，得到原來(lái)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。例如：將函數(shù)展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù)。首先需要轉(zhuǎn)化，因?yàn)橐延械恼归_(kāi)式為中的需要變?yōu)?，也即需要單位化，可提取，即轉(zhuǎn)化為例如：將函數(shù)展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù)。 將上式中的換為，即得的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。再由關(guān)系式可得冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，還可對(duì)展開(kāi)式兩邊乘、除以某些項(xiàng)，但必須使得最后結(jié)果仍然是冪級(jí)數(shù)。例如：將函數(shù)展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù)。只需將兩邊同乘即可。例

14、如：將函數(shù)展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，只需在的展開(kāi)式兩邊同除以即可。2、 求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，大家需要認(rèn)識(shí)到，冪級(jí)數(shù)是表示函數(shù)的一種方法，既然冪級(jí)數(shù)本質(zhì)上是函數(shù)，那么，就需要求函數(shù)的定義域，也即冪級(jí)數(shù)的收斂域。20、求微分方程滿足的特解。解析：解微分方程首先要判別類型，該方程是一階線性非齊次方程。標(biāo)準(zhǔn)形式：，其通解為微分方程化為，通解為 因?yàn)?，所以，故特解為。另外，有時(shí)需將變量和對(duì)調(diào)位置，化為。其通解為 四、證明題（每小題9分，共18分）21、證明方程：在上有且僅有一根。解析：證明方程在某區(qū)間上根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，先證根的存在性，一般用零點(diǎn)定理（若與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，有時(shí)可以用羅爾定理），結(jié)合單調(diào)性考察。證明：令，且，由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理知，在上至少有一實(shí)根；又，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，綜上，方程在上有且僅有一根。22、設(shè)其中函數(shù)在處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)。解析：分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)性與可導(dǎo)性，若分段點(diǎn)的左右兩側(cè)的表達(dá)式互不相同，則必須使用定義左右分別討論。本題只需按照連續(xù)性、可導(dǎo)性定義討論即可。在連續(xù)，等價(jià)于，也即，連續(xù)性得證；，可導(dǎo)性得證。五、綜合題（每小題10分，共20分）23、已知曲邊三角形由、所圍成，求：（1）、曲邊三角形的面積；（