不定積分與定積分的各種計(jì)算方法

1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對象授課題目第八講不定積分與定積分的各種計(jì)算方法課時(shí)數(shù)2教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握不定積分與定積分的各種計(jì)算方法。重點(diǎn)難點(diǎn)1不定積分的概念2不定積分的計(jì)算3定積分的計(jì)算教學(xué)提綱第八講不定積分與定積分的各種計(jì)算方法1.不定積分1.1不定積分的概念原函數(shù)；原函數(shù)的個(gè)數(shù)；原函數(shù)的存在性；定積分；一個(gè)重要的原函數(shù)。1.2不定積分的計(jì)算(1)裂項(xiàng)積分法；(2)第一換元積分法；(3)第二換元積分法(4)分部積分法2.定積分 (1)基本積分法；(2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小值函數(shù) (3)利用函數(shù)的奇偶性化簡

2、定積分 (4)一類定積分問題教學(xué)過程與內(nèi)容教學(xué)后記第八講不定積分與定積分的各種計(jì)算方法一、不定積分1不定積分的概念原函數(shù)：若在區(qū)間 上，則稱是的一個(gè)原函數(shù). 原函數(shù)的個(gè)數(shù): 若是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù), 則對，都是在區(qū)間上的原函數(shù)；若也是在區(qū)間上的原函數(shù)，則必有.可見，若，則的全體原函數(shù)所成集合為.原函數(shù)的存在性: 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). 不定積分：的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為的不定積分。記作一個(gè)重要的原函數(shù)：若在區(qū)間上連續(xù)，則是的一個(gè)原函數(shù)。2不定積分的計(jì)算(1)裂項(xiàng)積分法例1：。例2：例3：(2)第一換元積分法有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后，就可利用基本積分表求出積分。例如，求不定

3、積分，如果湊上一個(gè)常數(shù)因子2，使成為例4：例5：例6： .(3)第二換元積分法第二換元積分法用于解決被積函數(shù)帶根式的不定積分，代換方法如下：被積函數(shù)包含,處理方法是令;被積函數(shù)包含,處理方法是令;被積函數(shù)包含,處理方法是令;被積函數(shù)包含,處理方法是令;例7：計(jì)算【解】令，且從而 =       =由圖2.1知  所以=例8:.(4)分部積分法當(dāng)積分不好計(jì)算,但容易計(jì)算時(shí),使用分部積分公式: .常見能使用分部積分法的類型:(1),等,方法是把移到d后面,分部積分的目的是降低x的次數(shù)(2),等,方法是把移到d后面,分部

4、幾分的目的是化去.例9: 例10:   例11:                                            &#

5、160;                                  例12:=，解得 .例13: = =,解得 .【點(diǎn)評】以上兩例所示的通過分部積分與解方程的方法求解不定積分是一種技巧例14 設(shè)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是求。【解】【點(diǎn)評】本題主要考察原函數(shù)和不定積分的概念以及分部

6、積分法.例15 計(jì)算【說明】涉及到的積分一般有兩種處理方法.(1)用分部積分法; (2)作變量替換令【解法一】【點(diǎn)評】:分部積分后,后面的積分計(jì)算更加困難.為此我們考慮變量替換法.【解法二】令【點(diǎn)評】變量替換后幾分的難度大大降低,是每種教材上都有的積分.2.定積分 定積分的計(jì)算主要用牛頓萊布尼茲公式通過不定積分計(jì)算.(1)基本積分法例16：計(jì)算【解】 令，則(2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小值函數(shù)例17：計(jì)算【解】例18計(jì)算【解】=(3)利用函數(shù)的奇偶性化簡定積分例19計(jì)算【解】=2+0=2例20計(jì)算【解】=例21計(jì)算【分析】被積函數(shù)即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，無法利用函數(shù)的奇偶