三角形五心的經(jīng)典考題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載P，Q，S. 證明以 APS， BQP，CSQ的外心為有關(guān)三角形五心的經(jīng)典試題三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心 、外心 .三角形外接圓的圓心，簡稱外心 . 與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例 1過等腰 ABC底邊 BC上一點(diǎn) P引 PMCA交 AB于 M；引 PNBA交 AC于 N. 作點(diǎn) P關(guān)于MN的對稱點(diǎn) P. 試證： P點(diǎn)在 ABC外接圓上( 杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題 ) 分析：由已知可得 MP=MP=MB， NP=NP=NC，故點(diǎn) M是 PBP的外心，點(diǎn)N是 PPC的外心 .有11BPP= BM=P BAC，2211PPC= PNC=

2、BAC.22BPC=BPP+PPC=BAC.P點(diǎn)與 A， B，C共圓、即 P在 ABC外接圓上 .從而，由于 P P平分 BPC，顯然還有 PB: P C=BP: PC.例 2在 ABC的邊 AB， BC，CA上分別取點(diǎn) 頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似 .( B·波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 分析：設(shè) O1，O2， O3是 APS， BQP， CSQ的外心，作出六邊形 O1PO2QO3S后再由外 心性質(zhì)可知PO1S=2A，QO2P=2B， SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360°. 從而又知 O1PO2+O2QO3+O3SO1=360°將 O2QO3繞著

3、O3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 KSO3，易判斷 KSO1 O2PO1，同時(shí)可得 O1O2O3 O1KO3.1 O2O1O3=KO1O3= O2O1K21=( O2O1S+ SO1K)21=( O2O1S+ PO1O2)21=PO1S= A；2同理有 O1O2O3=B. 故 O1O2O3 ABC.、重心三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心 . 掌握重心將每條中線都分成定比 2:1 及中線長度公式，便于解題P 是任意一點(diǎn) . 證明：在 PAD， PBE， PCF中，例 3 AD，BE， CF是 ABC的三條中線， 其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和( 第 26 屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克 ) 分析：設(shè) G為 ABC重心

4、，直線 PG與 AB ，BC相交.從 A，C，D，E，F(xiàn)分別 作該直線的垂線，垂足為 A， C， D， E， F .易證 AA =2DD， CC=2FF，2EE=AA EE=DD+FF.有 SPGE=SPGD+S PGF. 兩邊各擴(kuò)大 3 倍，有 SPBE=SPAD+S PCF.例 4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似 . 其逆亦真 .分析：將 ABC簡記為，由三中線 AD，BE，CF圍成的三角形簡記為 . G為重心，連 DE 到 H，使 EH=DE，連 HC， HF，則就是 HCF.(1)a2，b2， c2成等差數(shù)列 .若 ABC為正三角形，易證

5、. 不妨設(shè) a b c，有 CF=1 2a2 2b2 c2 ，2 BE=1 2c2 2a2 b2 ，2 AD=1 2b2 2c2 a2 .2將 a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF= 3 a ，BE= 3b，AD= 3c.222CF: BE: AD = 3 a: 3b:22=a:b: c.故有 .(2) a2，b2，c2 成等差數(shù)列 .當(dāng)中 a b c 時(shí)，中 CF BE AD.，S ' ( CF ) 2 Sa據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的3”4，有 S ' = 3S4CF 22a3a2=4CF2=2a2+b2-c22 2 2a2+c2=2b2

6、.三、垂心 三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心 .由三角形的垂心造成的四個(gè)等 （外接 ）圓三角 形，給我們解題提供了極大的便利 .例 5設(shè) A1A2A3A4為 O內(nèi)接四邊形， H1，H2， H3， H4依次為 A2A3A4， A3A4A1， A4A1A2， A1A2A3的垂心 .求證： 定出該圓的圓心位置 .（1992 ，全國高中聯(lián)賽 ） 分析：連接 A2H1， A1H2， H1H2，記圓半徑為 R. 由 A2A3A4 知H1， H2， H3， H4 四點(diǎn)共圓，并確A2H1=2R A2H1=2Rcos A3A2A4；sin A2A3H 1由 A1A3A4得 A1H2=2 Rcos A3A1A

7、4.但 A3A2A4=A3A1A4，故 A2H1=A1H2. 易證 A2H1 A1A2，于是， A2H1 A1H2， =故得H1H2 A2A=1.設(shè)H1A1與H2A2的交點(diǎn)為= M，故 H1H2與A1A2關(guān)于 M點(diǎn)成中心對稱 . 同理， H2H3與 A2A3， H3H4與 A3A4，H4H1與 A4A1都關(guān)于 M點(diǎn)成中心對稱 . 故四邊形 H1H2H3H4 與四邊形 A1A2A3A4 關(guān)于 圓上 . 后者的圓心設(shè)為 了.例 6H 為 ABC的垂心， D， EF，F(xiàn)D， DE于 A1， A2， 求證： AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.（1989 ，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題 分析：

8、只須證明 AA1=BB1=CC1即可 . 設(shè)BC=a， CA=b， AB=c， ABC外 接圓半徑為 R， H的半徑為 r. 連 HA1， AH交 EF于 M.是，M點(diǎn)成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3， H4在同一個(gè)M成中心對稱 . 由 O，M兩點(diǎn)， Q點(diǎn)就不難確定Q，Q與 O也關(guān)于E，F(xiàn) 分別是B1， B2， C1，BC， C2.CA， AB的中心 . 一個(gè)以H 為圓心的 H交直線A A12 =AM2+A1M2=AM2+r 2-MH2=r2+( AM2- MH2) ，又 AM2-HM2=( 1 AH1) 2-( AH- 1 AH1)2 22=AH·AH1- AH2=A

9、H2· AB- AH2=cosA· bc- AH2 ， 而 AH=2R AH2=4R2cos2A,sin ABHa =2R a2=4R2sin 2A.sin AAH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.由、有2 2 22bcAA12=r2+bc a ·bc-(4 R2- a2)=1 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2.2同理， BB12 = 1 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2，12CC12 = 1 (a2+b2+c2)-4 R2+r 2.2故有 AA1=BB1=CC1.四、內(nèi)心 三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心 . 對于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住下

10、面一個(gè)極 為有用的等量關(guān)系：設(shè)I 為 ABC的內(nèi)心，射線 AI 交 ABC外接圓于 A，則有 A I=AB=AC.換言之， 點(diǎn) A必是 IBC 之外心 ( 內(nèi)心的等量關(guān)系之逆同樣有用 ).EF中點(diǎn) P 是ABC例 7 ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取 DAB， ABC， BCD， CDA的內(nèi)心 O1， O2，O3， O4.求證： O1O2O3O4為矩形 .(1986 ，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題 證明見中等數(shù)學(xué) 1992； 4 例 8已知 O內(nèi)接 ABC， Q 切 AB， 之內(nèi)心 .( B·波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 )分析：在第 20屆 IMO中，美國提供的一道題實(shí)際上是例 8的一種特例，

11、但它增加了條件 AB=AC. 當(dāng) AB AC，怎樣證明呢？r 如圖，顯然 EF中點(diǎn) P、圓心 Q，BC中點(diǎn) K都在 BAC平分線上 . 易知 AQ= sinMECKQK·AQ=MQ·QN， QK= MQ QNAQ(2R r) r=sin (2R r). r/sin由 RtEPQ知 PQ= sin r . PK=PQ+QK= sinr +sin (2R r) =sin 2R.PK=BK.利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是 ABC這內(nèi)心 .五、旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線相交于一點(diǎn)，是旁切圓的圓心，稱為旁心 旁心還與三角形的半周長關(guān)系密切 例 9. 旁心常

12、常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，在直角三角形中，求證：式中 r ，r a，r b，r c分別表示內(nèi)切圓半徑及與 a，b，c相切的旁切圓半徑， p 表示半周 . 杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題 )設(shè) Rt ABC中， c 為斜邊，先來證明一個(gè)特性： p( p- c)=( p- a)( p- b).1 p(p- c)= ( a+b+c)2 12= ( a+b) 24 =1ab；21(p- a)( p- b)= (- a+b+c) ·21 2 2 =c2-( a- b) 2= ab.42 p( p- c)=( p-a)( p-b). 觀察圖形，可得 r a=AF-AC=p-b， r b=BG- BC=p-

13、a， r c=CK=p.1而 r= ( a+b-c)2= p-c.r+ra+r b+r c=( p- c)+( p- b)+( p- a)+p =4p-( a+b+c)=2 p. 由及圖形易證 .例 10M是 ABC邊 AB上的任意一點(diǎn) .r1，r2，rr+r a+r b+r c=2p.(分析：1 ( a+b- c)2c21(a- b+c)21分別是 AMC，BMC， ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在 ACB內(nèi)部的旁切圓半徑 .證明： r1 · r2 =r . q1q2 q( IMO-12)分析：對任意 A B C，由正弦定理可知A'OD=OA·

14、 sin2= A BB' sin2sin A'O'B'A' sin2= A BA' B' sin sin22 A' B' sinOAOB'C'A' B' cos cosO E= A B22A' B' sin2OD tg A'tg B'.O'E 2 2亦即有r1 · qr2 =tg Atg q22q1CMAtg CNBtg B2 2 2BrA tg tg =2 2 q六、眾心共圓這有兩種情況： (1) 同一點(diǎn)卻是不同三角形的不同的心； (2)

15、同一圖形出現(xiàn)了同一三角 形的幾個(gè)心 .例 11設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形 ABCDFE中， AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證： (1) AD， BE， CF三條 對角線交于一點(diǎn)；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA AK+BE+CF.(1991 ，國家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題 )分析：連接 AC，CE，EA，由已知可證 AD， CF， EB是 ACE的三條內(nèi)角平分線， I 為 ACE 的內(nèi)心 . 從而有 ID=CD=DE，IF =EF=FA，IB=AB=BC.再由 BDF，易證 BP，DQ， FS是它的三條高， BI +DI+FI 2·E(rIdPo.+.sIQ+IS).不難證明

16、IE=2IP， IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FI IA +IE +IC.AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+( BI +DI+FI )= AD+BE+CF.I 就是一點(diǎn)兩心 .例 12 ABC的外心為 O， AB=AC， D是 AB中點(diǎn)，( 加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題 ) 分析：設(shè) AM為高亦為中線，取 AC中點(diǎn)F，E必在 DF上且 DE: EF=2:1. 設(shè) CD交 AM于 G，G必為 ABC重心 . 連 GE，MF，MF交 DC于 K. 易證：11 1DG: GK= DC:() DC=2:1.32 3I 是它的垂心，利用 不等式有：E

17、是 ACD的重心 .證明 OE丄 CD.DG: GK=DE: EF GEMF.OD丄 AB，MF AB，OD丄 MF OD丄 GE.但 OG丄 DE G又是 ODE之垂心 . 易證 OE丄 CD.例 13 ABC中 C=30°，O是外心，I 是內(nèi)心，邊 AC上的 D點(diǎn)與邊 BC上的 E 點(diǎn)使得 AD=BE=AB. 求證： OI 丄 DE， OI=DE.(1988 ，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題 ) 分析：輔助線如圖所示，作 DAO平分線交 易證 AID AIB EIB， AID=AIB=EIB.利用內(nèi)心張角公式，有1AIB=90° + C=105°，2 DIE=360&

18、#176; -105 °× 3=45°.1+ DAO21+ ( BAC- BAO)21+ ( BAC-60 ° )2 AKB=30=30=301 BAC=BAI= BEI.2IE.垂心2CAK由等腰 AOD可知 DO丄 AK， DO丄 IE，即 DF是 DIE的一條高 . 同理 EO是 DIE之垂心， OI丄 DE. 由 DIE= IDO，易知 OI=DE. 設(shè)外心到三邊距離和為 d 外，重心例 14銳角 ABC中， O，G，H 分別是外心、重心、 到三邊距離和為 d 重，垂心到三邊距離和為 d 垂 .求證： 1·d 垂+2· d 外

19、=3·d 重. 分析：這里用三角法 .設(shè) ABC外接圓半徑為 1，三個(gè)內(nèi)角記為 A， B，C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3=cos A+cosB+cos C， 2d 外 =2(cos A+cosB+cos C). AH1=sin B· AB=sin B· (2sin C)=2sin B·sin C， 同樣可得 BH2· CH3.3d 重=ABC三條高的和=2 · (sin B· sin C+sin C·sin A+sin A· sin B)BH=2 ，sin BCH HH1=cos C· BH=2· cos B· cos C.同樣可得 HH2， HH3.d 垂=HH1+HH2+HH3=2(cos B·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)欲證結(jié)論，觀察、，cos B)+(cosA+ cosB+須 證 (cos B · cos C+cos C · cos A+cos A cos C)=sin B·sin C+sin C·sin A+sin A·sin B. 即可 .練習(xí)題1.I 為