作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個好辦法

1、ABC的“水平寬” （a）,中間的這條直線在 ABCft部線段的長度叫 ABC勺“鉛垂高（h） ” .我們可得出一種計作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題如圖1,過 ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫例1. （2009深圳）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（一2, 0）,連結OA,將線段OA繞原點。順時針旋轉120° ,得到線段OB.（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使 BOC的周長最??？若存在，求出點 C的坐標；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的

2、動點，且在 x軸的下方，那么 PAB是否有最大面積？若有， 求出此時P點的坐標及 PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.解：（1） B （1,屈（2）設拋物線的解析式為 y=ax（x+a）,代入點B （1,3）,得a =魚,因此y=Y3x2+R3x 333（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=-1,當點C位于對稱軸與線段 AB的交點時， BOC的周長最小.設直線AB為y=kx+b.所以Jk+b=而-2k b =0.k 3k =解得i3_ ,因此直線人8為y =,23b 二3旦十”當x=-1 時，y =, 3因此點C的坐標為（一1, 73/3）.（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.施X+空工

3、便x21 、=一(yD - yP)(XB -XA)2X2 一 x 3 222133 J I3代入解析CD = 4-2當x=- 1時， PAB的面積的最大值為 晅,此時P '-1,-3 .281 24,例2. (2009益陽)如圖2,拋物線頂點坐標為點 C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點B.(1)求拋物線和直線 AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內)上的一個動點，連結 PA, PB,當P點運動到頂點 C時，求 CAB的鉛垂(Wj CD 及 Sab ；9 是否存在一點P,使$ pab=E&cab,若存在，求出 P點的坐標；若不存在，請說明理由8解：(1)設拋

4、物線的解析式為：y1 =a(x1)2 +4把a (3,0)式求得 a = -1 所以 y1 = -(x - 1) 2 + 4 = -x2 + 2x + 3設直線 析式為：丫2 = kx +b由y1 = -x2 +2x +3求得b點的坐標為 A(3,0), B(0,3)代入 y2 =kx+b 中解k = 1,b =3所以 V2 =-x+3(2)因為C點坐標為(1 ,4)所以當x= 1時，y1 = 4, y2=2所以-1=2 Saab = _ x 3 x 2 = 3 (平方單位)(3)假設存在符合條件的點P,設P點的橫坐標為x, PAB的鉛垂高為h,則h = y1 一 1 2 =( x2 +2x

5、+3) (x + 3) = x2 + 3x 由字 pab= & cab 得一父3父(x? + 3x)=父 3 化簡 8282332 一 315.伶：4x - 12x + 9 = 0解得*=一將*= 一代入y1=x +2x+3中，解得p點坐標為(一，一)222 4例3. (2009江津)如圖，拋物線 y = x2 +bx+c與x軸交于A(1,0),B(- 3, 0)兩點,(1)求該拋物線的解析式；(2)設(1)中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q使得 QAC勺周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由 .(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P

6、,使 PBC勺面積最大？，若存在，求出點 P的坐標及 PBC勺面積最大值.若沒有，請說明理由.解:將 A(1 , 0), B(-3,0)代 y = -x2 +bx +c 中得-1b c= 0-9-3b c = 0 c = 3，拋物線解析式為：y = -x2 - 2x 3(2)存在。 理由如下：由題知 A、B兩點關于拋物線的對稱軸 x=-1對稱直線B* x=1的交點即為Q點，此時 AQC長最小 y = -x2 -2x + 3x - - 1F.C的坐標為：(0, 3)直線BC解析式為：y=x + 3 Q點坐標即為的解y = x 3x = -1y =2.Q(-1, 2)(3)答：存在。理由如下:設

7、P 點(x, -x2 2x +3)(-3<x<0)Spc二S四邊形 BPCO - S. BOCSI邊形BPCO "2右S四邊形BPCO1 _ _ 1 _ _ .有最大值，則S&PC就最大， S四邊形 BPCO = SRtBPE , S直角,w PEOC = _2 BE，PE , 3 OE( PE . OC )121233 2 9 27=(x +3)( -x -2x +3) +- (-x)(-x 2x +3 + 3) = -(x +-)+ +22222893927 c 曰+ _ 927927=x = _一時，S四邊形BPCO取大值 + -5出”取大一 一+ =228

8、 B28283 o15315當 x = -一時，x -2x + 3 = 點 P 坐標為(一一，一)2424(2)25. (2010綿陽)如圖，拋物線 y = ax2+ bx + 4與x軸的兩個交點分別為 A (4, 0)、B (2, 0),與 y軸交于點C,頂點為D. E (1, 2)為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點 D的坐標；(2)在直線EF上求一點H,使4CDH的周長最小，并求出最小周長；(3)若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時， EFK的面積最大？并求出最大面積.【解析】(1)由題意，得產一他+4=0,

9、解得a，b =-1.、4a+2b +4=0,2所以拋物線的解析式為 y=_1x2 -x+4,頂點D的坐標為(一1, 9).22而852+(9一4)2告(2)設拋物線的對稱軸與 x軸交于點M.因為EF垂直平分BC,即C關于直線EG的對稱點為B,連結 BD交于EF于一點，則這一點為所求點H,使DH + CH最小，即最小為DH + CH = DH + HB = BD = VbM 2 +DM 2 =3 石3 - 2 CDH的周長最小值為CD + DR + CH =.5 3.132解得2k1 6 =0, 設直線BD的解析式為y = k1x + b ,則9-k1 b1 =3RtACEGA COB,所以直線

10、BD的解析式為y = _|x + 3,由于BC = 2 55 , CE = BC / 2 =匹,得CE:CO = CG : CB,所以 CG = 2.5, GO = 1.5. G (0, 1.5).同理可求得直線 EF的解析式為 y =)x + - - 22聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使 CDH的周長最小的點 H (-,).48(3)如圖所示，設 K (t, It2 t+4), xFvtvxE.過K作x軸的垂線交EF于N.2貝U KN = yK 一 yN = t2 -t + 4 一 ( t + ) = t2 t + 222222'所以 SAEFK = SAKFN + S AKNE =

11、 1 KN (t + 3 ) + 1 KN (1 t) = 2KN = -t2-3t + 5 = - (t +-3 ) 2 +-29 .2224即當t = 3時， EFK的面積最大，最大面積為 29,此時K ( 3, 35). 24283.（2010年恩施）如圖11,在平面直角坐標系中，二次函數(shù)錯誤！未找到引用源。的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3, 0）,與y軸交于C （0,-3）點,點P是直線BC下方的拋物線上一動點（1）求這個二次函數(shù)的表達式.（2）連結PO、PC,并把 POC沿CO翻折，得到四邊形 POP錯誤！未找到引用源。C,那么是否存在點P,使四邊形PO

12、P錯誤！未找到引用源。C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 大面積.ABPC的面積最大并求出此時 P點的坐標和四邊形 ABPC的最解：（1）將B、C兩點的坐標代入得解得：錯誤！未找到引用源。到引用源。錯誤！未找到引用源。所以二次函數(shù)的表達式為:錯誤！未找 錯誤!那螂源。圖11OB 存在點P,使四邊形POP錯誤！未找到引用源。C為菱形.設P點坐標為（x，錯誤！未找到引用源。），PP錯誤！未找到引用源。交C。于E若四邊形POP錯誤！未找到引用源。C是菱形，則有PC=PO.連結PP錯誤！未找到引用源。貝U pE工CO于E，'OE=

13、EC=錯誤！未找到ABP引用源。 錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。解得錯誤！未找到引用源。, '錯錯誤！未找到引用源。誤！未找到引用源錯誤！未找到引用源。（不合題意，舍去），P點的坐標為（錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。過點P作錯誤！未找到引用源。軸的平行線與BC交于點 找到引用源。），易得，直線BC的解析式為錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。當時，四邊形ABPC的面積最大Q,與OB交于點F,設P （x,錯誤！未則Q點的坐標為（x, x3）.甘錯誤！未找到引用源。此時P點的坐標為

14、，四邊形ABPC的面積錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。1、如圖，拋物線頂點 C坐標(1,4),交x軸于點A (3,0)交y軸于點B(1)求拋物線和直線 AB的解析式(2)連接CA、CB,對稱軸x=1與線段AB交于點D,求 CAB的面積(3)如圖2,點P是拋物線(在第一象限內一點)上的一個動點，連接PA、PB,是否存在一點 P,使八9八S PAB - - S CAB ?若存在，求出點 P的坐標，不存在，說明理由 8已知：二次函數(shù) y =ax2 +bx+c(a ¥0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，點A、點B的橫坐標是一元二次方程 X2 4x 12=0的兩個根(1)請直

15、接寫出點 A、點B的坐標(2)請求出二次函數(shù)表達式，對稱軸，頂點坐標(3)如圖1,在二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點P,使4APC得周長最小，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由(4)如圖2,連接AC、BC,點Q是線段OB上一動點(點 Q不與點O、B重合)，過點Q作QD/AC交BC于點D,設Q (m, 0),當 CDQ面積最大時，求 m的值圖1圖2同學們可以做以下練習:1 . (2006浙江湖州)已知如圖，矩形OABC勺長OA=/3,寬OC=1將 AOCgAC翻折彳# APC(1)填空：/ PCB=一度，P點坐標為(,);(2)若P, A兩點在拋物線y= 4x2+bx+c上，求b, c的值，并說明點 C在此拋物線上；3(3)在(2)中的拋物線CP段(不包括C,P點)上，是否存在一點M,使得四邊形MCAP勺面積最大？若存