2020年浙江高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：基本不等式復(fù)習(xí)講義

1、第三節(jié) 基本不等式復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1. 會(huì)推導(dǎo)基本不等式.2. 會(huì)用基本不等式求最值.1. 基本不等式具有放縮功能.2. 基本不等式可以用來(lái)求函數(shù)式的最值, 但必須具備三個(gè)條件, 即一正、二定、三相等.3. 合理配湊基本不等式的三個(gè)條件求最值.4. 求最值時(shí)盡量避免多次使用基本不等式, 若多次使用 , 必須保證它們等號(hào)成立的條件一致, 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .( 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第50 頁(yè) )一、基本不等式基本不等式: ab a b2(1) 基本不等式成立的條件:a>0,b>0.(2) 等號(hào)成立的條件: 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).(3) 其中 a2b稱(chēng)為正數(shù)a,b 的算術(shù)平均數(shù), ab稱(chēng)為正數(shù)

2、a,b 的幾何平均數(shù).1. 概念理解(1) 基本不等式成立的條件是a,b 都是正數(shù), 在解題時(shí) , 如果 a,b 為負(fù)數(shù) , 可提取負(fù)號(hào), 創(chuàng)造變量為正數(shù)的條件, 再利用基本不等式解題.(2) 在運(yùn)用基本不等式解題時(shí), 注意一定要驗(yàn)證它們成立的條件是否滿(mǎn)足 .2. 與之相關(guān)聯(lián)的結(jié)論幾個(gè)常用的不等式(1)a 2+b2 2ab(a,b R).(2)ab ( a b ) 2(a,b R).(3)( a b ) 2 a2 b2 (a,b R).(4) b +a 2(ab>0).22(5) 121 ab a2b a2b (a>0,b>0).ab(6)a+ 理解辨析 2(a>0),

3、 當(dāng)且僅當(dāng)a=1 時(shí)取等號(hào);a+ 1 -2(a<0), 當(dāng)且僅當(dāng)aaa=-1 時(shí)取等號(hào).二、利用基本不等式求最值問(wèn)題1. 兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí), 它們的積有最大值, 即若 a,b 為正實(shí)數(shù) , 且2a+b=M,M為定值, 則 ab M , 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)成立 .( 簡(jiǎn)記 : 和定積最大 )2. 兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí), 它們的和有最小值, 即若 a,b 為正實(shí)數(shù) , 且ab=P,P為定值 , 則 a+b 2 P, 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)成立 .( 簡(jiǎn)記 : 積定和最小 )利用基本不等式求最值時(shí), 要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件: 一正、二定、三相等.(1) “一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)

4、;(2) “二定”就是要求和的最小值, 必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值 ; 要求積的最大值, 則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;(3) “三相等”即檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件 , 判斷等號(hào)能否取到, 只有等號(hào)能成立 , 才能利用基本不等式求最值.2. 與基本不等式相關(guān)聯(lián)的結(jié)論用 f(x)+ b 2 b (b>0) 或 f(x)+ b -2 b (b>0), 求最值時(shí), 若使等f(wàn) (x)f(x)號(hào)成立的條件不存在, 常借助函數(shù)y=x+ b (b>0) 的圖象和單調(diào)性求式x子的最值 .1. 已知 a,b R,a,b 0, 則“a>0,b>0”是“a b ab”的 ( C

5、)(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析 : 當(dāng) a>0,b>0 時(shí) , 顯然 a b ab 成立 .當(dāng) a b ab 成立時(shí) , 有兩個(gè)結(jié)論出現(xiàn):2a b 2 ab 0,ab 0,所以a>0,b>0.故選C.2. 已知 a>0,b>0,a+b=2, 則 y=1+4的最小值是( C )ab(A) 27 (B)4(C) 92 (D)5解析 : 依題意 , 得 1 +4 =1 ( 1 +4) · (a+b)= 1 5+( b +4a ) ab2ab2a b12(5+2 ab 4ba)=29,a b

6、2,當(dāng)且僅當(dāng)b 4a ,aba 0,b 0,即 a=2,b= 4時(shí)取等號(hào) , 即 1 +4的最小值是9. 故選 C.33ab23. 若實(shí)數(shù) x,y 滿(mǎn)足 xy=1, 則 x2+2y2的最小值為.解析 : 因?yàn)閤2+2y2 2 x2 2y2 =2 2 ,當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y2時(shí)取“=” ,所以x2+2y2的最小值為2 2 .答案 :2 24. 已知 a,b 為正數(shù)且a+b=1,則 (1+ 1 )(1+ 1 )的最小值為解析 : 因?yàn)?a+b=1,所以原式=(1+aab)(1+ abb)=(2+ ba)(2+ ab ) =5+2(b+a) 9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號(hào),所以最小值為9.答案 :9

7、( 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第50 52 頁(yè) )考點(diǎn)一 利用基本不等式求最值【例1】(1)(2018 ·浙江六校聯(lián)考 )已知 x>0,y>0, 且 x+y+1 +1 =5, 則x+y 的最大值是()(A)3(B)27(C)4(D)92(2)(2018 ·嘉興高三測(cè)試 )已知 a>0,b>0, 且滿(mǎn)足3a+b=a2+ab,則2a+b的最小值為;(3) 已知正實(shí)數(shù)a,b 滿(mǎn)足 1+2=3, 則 (a+1)(b+2) 的最小值ab是;33(4) 已知實(shí)數(shù)x,y>0, 且 xy=2, 則2x 82y 的最小值是.x 4y 8解析 :(1) 由 x+y+ 1x+ 1

8、y =5,得 5=x+y+x y , xy因?yàn)閤>0,y>0,所以5 x+y+ x y =x+y+ 4 ,(x y)2x y2所以 (x+y) 2-5(x+y)+4 0,解得1 x+y 4,所以x+y 的最大值是4. 故選 C.(2) 由 a>0,b>0,3a+b=a 2+ab,2可得b=a 3a >0,1a解得1<a<3.2故 2a+b=2a+a 3a =a-1+ 2 +3 1aa1 2 (a 1)a21+3=2 2+3,當(dāng)且僅當(dāng)a-1= 2 ,a1即 a=1+ 2 ,b=1 時(shí)取等號(hào).故 2a+b的最小值為3+2 2 .(3) 因?yàn)?a>0,

9、b>0, 所以 3 =a1+2b 2 a2b? ab 232?ab 89.1 2,a ,a b 即 3 時(shí)等號(hào)成立ab1 2 3, b4所以ab 的最小值是8 , 又 1 +2 =b 2a =3,9 a b ab所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2 4× 8 +2=50 .99(4) 因?yàn)?x,y>0, 且 xy=2, 所以3322x 8y = (x 2y)(x 2xy 4y )x2 4 y2 8x2 4y2 4xy= (x 2y)( x 2y)2 6xy(x 2y)2= (x 2y)2x 2y=(x+2y)-12x 2y令 x+

10、2y=t, 則 t=x+2y 2 2xy =4,f(t)=t-1t2在 4,+ )上單調(diào)遞增,所以當(dāng) t=4 時(shí)有最小值4- 142=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1 時(shí) , 取等號(hào) .答案 :(1)C(2)3+2 2 (3) 50 (4)19(1) 利用基本不等式解決最值問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或乘積為定值, 主要有兩種思路: 對(duì)條件使用基本不等式, 建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解; 條件變形, 進(jìn)行 “ 1” 的代換求目標(biāo)函數(shù)最值(2) 有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件, 但可以通過(guò)變形使之能運(yùn)用基本不等式, 常用的方法還有: 拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因數(shù)法、分離常數(shù)法、換元法、整體代換

11、法等.1 .(2018 ·杭州二中月考 )若正數(shù) a,b 滿(mǎn)足 1 +1 =1, 則 1 + 9 的最小值 a ba1 b1為( B )(A)1(B)6(C)9 (D)16解析 : 因?yàn)檎龜?shù)a,b 滿(mǎn)足 1+1 =1,ab所以 b= a >0, 解得 a>1, 同理 b>1, a1所以 1 + 9 = 1 + 9 = 1 +9(a-1) 2 1 9(a 1) =6,a1 b1 a1 a a1a1,1a1當(dāng)且僅當(dāng)1 =9(a-1),a1即 a=4時(shí)等號(hào)成立,3所以 1 + 9 的最小值為6. 故選 B.a1 b12 . 已知 log 2(x+y)=log 2 x+lo

12、g 2 y, 則 1 +1 =,x+2y 的最小值為.解析 : 由 log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得 , x+y=xy 且 x>0,y>0, 所以 1 + 1 =1.x+2y=(x+2y)( 1 + 1 )=3+x+2y yx3+2 xy 2xy =3+2 2,x =2y, yxx=1+ 2,y= 22 2時(shí)取等號(hào).答案 :13+2 2考點(diǎn)二 利用基本不等式證明不等式【例2】已知 a>0,b>0,c>0, 且 a+b+c=1.求證 : 已知 a>0,b>0,a+b=1, 求證 : 1 +1 + 1 8.a b ab證明 : 1a

13、+b1+a1b=2(a1+b1),a+b=1,a>0,b>0. + 1 + 1 9. abc證明 : 因?yàn)?a>0,b>0,c>0, 且 a+b+c=1,1+1+1=a b cabc a+a b c+a b c所以=3+b+c+a+c+a+b=3+( b+a)+( c+a)+(aabbccab acc+b) 3+2+2+2=9,a=b=c=31時(shí) ,取等號(hào) .利用基本不等式證明不等式的策略(1) 若要證明的不等式不能直接使用基本不等式, 則考慮利用拆項(xiàng)、配湊等方法對(duì)要證不等式進(jìn)行變形, 使之達(dá)到能使用基本不等式的條件;(2) 若題目中還有已知條件, 則首先觀察已知

14、條件和要證不等式之間的聯(lián)系 , 當(dāng)已知條件中含有1 時(shí) , 要注意 1 的代換 ;(3) 解題時(shí)要時(shí)刻注意取得等號(hào)的條件能否成立.所以 1 +1 =a b +a b =2+a+b 2+2=4. ab a bba所以 1+1 + 1 8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1 時(shí)等號(hào)成立).a b ab22. 已知 a>0,b>0,a+b=1, 證明 : a 21 + b 21 2.證明 : 因?yàn)?a>0,b>0, 且 a+b=1,所以 a 21 + b 12= (a 21) 1 + (b 12) 111 a 1b 1考點(diǎn)三 基本不等式的綜合應(yīng)用【例3】運(yùn)貨卡車(chē)以每小時(shí)x(50 x 100)

15、千米的速度勻速行駛1302千米 , 假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元 , 而卡車(chē)每小時(shí)耗油(2+ 3x60)升 , 司機(jī)的工資是每小時(shí)14 元 . 求這次行車(chē)總費(fèi)用y 關(guān)于 x 的表達(dá)式 ; 當(dāng) x 為何值時(shí) , 這次行車(chē)的總費(fèi)用最低, 并求出最低費(fèi)用的值解 :(1) 設(shè)所用時(shí)間為t= 130(小時(shí) ),x2 + 2 =a b y=130 × 2× (2+ 3x60)+14× 130 ,x 50,100.所以 , 這次行車(chē)總費(fèi)用y關(guān)于 x的表達(dá)式是y=2340+13x,x 50,100.x 18=(2)y= 2340 +13x=130 18+2 130x 26 10 x

16、18 x 360130 182 130=xx 360x=18 10時(shí) , 等號(hào)成立.=2.2222當(dāng)且僅當(dāng)a+1=1,b+ 1 =1,即 a=b=1 時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng) x=18 10千米 /時(shí)時(shí) , 這次行車(chē)的總費(fèi)用最低, 最低費(fèi)用的值為26 10元 .有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問(wèn)題的解題技巧(1) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式, 再利用基本不等式求得函數(shù)的最值 ;(2) 設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù);(3) 解應(yīng)用題時(shí), 一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍;(4) 在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí), 若等號(hào)取不到, 可利用函數(shù)的單調(diào)性求解 .1. 某單位用2 160 萬(wàn)元購(gòu)得一塊

17、空地, 計(jì)劃在該空地上建造一棟至少10層 , 每層 2 000 平方米的樓房. 經(jīng)測(cè)算 , 如果將樓房建為x(x 10)層 , 則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位: 元 ).(1) 寫(xiě)出樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用y 關(guān)于建造層數(shù)x 的函數(shù)關(guān)系式;(2) 該樓房應(yīng)建造多少層時(shí), 可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少?最少值是多少?(注 : 平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用, 平均購(gòu)地費(fèi)用= 建筑總面積購(gòu)地總費(fèi)用)解 :(1) 依題意得 =560+48x+108x00 (x 10,x N*).y=(560+48x)+2160 100002000x(2) 因?yàn)?x>0,所以

18、48x+10800 2 48 10800 =1 440, x當(dāng)且僅當(dāng)48x=10800, 即 x=15時(shí)取到“=” ,此時(shí) , 樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用的最小值為560+1 440=2000(元 ).故當(dāng)該樓房建造15 層時(shí) , 可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少, 最少值為 2 000 元 .2. 為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策, 某廠家擬在某年年初舉行促銷(xiāo)活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算, 該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量( 即該廠的年產(chǎn)量)x 萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用t(t 0) 萬(wàn)元滿(mǎn)足x=4- 2tk 1 (k 為常數(shù) ). 如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng), 則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量只能是1 萬(wàn)件 . 已知這一年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元 ,每生產(chǎn)

19、 1 萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元 , 廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5 倍 (產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分).(1) 將該廠家這一年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y 萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用t 萬(wàn)元的函數(shù);(2) 該廠家這一年的年促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí), 廠家利潤(rùn)最大?解 :(1) 由題意有1=4- k, 得 k=3, 故 x=4- 3 .12t 1故 y=1.5 × 6 12x · x-(6+12x)-t x=3+6x-t=3+6(4- 2t3 1)-t=27-2t181-t(t 0).(2) 由 (1) 知 ,y=27- 18 -t=27.5-91+(t+ 1).

20、2t 1291+(t+ 12) 2×91 (t 21)=6,t考點(diǎn)四 易錯(cuò)辨析 4】已知x< 54 , 求函數(shù)y=4x-2+ 4x1 5的最大值. 解 : 因?yàn)?x< 5 , 所以 5-4x>0. t222故 y=27- 18 -t=27.5-9 +(t+ 1 ) 27.5-6=21.5.2t 1t 122當(dāng)且僅當(dāng)9 =t+ 1 , 即 t=2.5 時(shí) , 等號(hào)成立,y 有最大值21.5.t122所以 , 該廠家這一年的年促銷(xiāo)費(fèi)用投入2.5 萬(wàn)元時(shí) , 廠家利潤(rùn)最大, 最y=4x-2+14x 5大利潤(rùn)為21.5 萬(wàn)元 .=-(5-4x+1 )+35 4x -2 (5

21、 4x) 5 14x+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)5-4x= 1 ,x=1 時(shí) , 上式等號(hào)成立, 故當(dāng) x=1 時(shí) ,y max=1.運(yùn)用基本不等式求最值, 當(dāng)條件不滿(mǎn)足和或積為定值時(shí), 可“”ax+b(ab>0)等x形式 , 本題就是一個(gè)典型例子, 盲目使用條件是本題的易錯(cuò)點(diǎn)1.(2017 ·天津卷 )若 a,b R,ab>0, 則 a4 4b4 1的最小值為.解析 : 因?yàn)?a,b R,ab>0,4422所以a4b1 4a b1 =4ab+ 1 2 4ab1=4,ababababa2 2b2,當(dāng)且僅當(dāng)14ab , ab22a,即 2 時(shí)取得等號(hào).b22444故 a4 4b

22、4 1 的最小值為4.答案 :422. 設(shè)常數(shù) a>0, 若 9x+ax a+1 對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立 , 求 a的取值范圍.22解 : 常數(shù) a>0,若 9x+ax a+1 對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立 , 故 (9x+ ax ) min a+1,22又 9x+ a 6a, 當(dāng)且僅當(dāng)9x= a , 即 x= a 時(shí) , 等號(hào)成立.故 6a a+1, 解得 a 1 .即 a的取值范圍為 15,+ ).( 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第53 頁(yè) )類(lèi)型一 利用基本不等式比較大小1. 設(shè) 0<a<b,則下列不等式中正確的是( B )(A)a<b< ab<a b (B)a< ab

23、 <a b<b(C)a< ab<b<a b (D) ab<a<a b<b解析 : 因 0<a<b, 所以a2<ab<b2, 即 a< ab <b,又因a+b<2b,所以a b <b,又因 ab <a b , 2所以 a< ab < a b <b. 故選 B.2類(lèi)型二 利用基本不等式求最值2. (2018 ·金華模擬 ) 已知 x>0,y>0, 且 x+2y=xy, 若 x+2y-m2-2m>0恒成立 , 則實(shí)數(shù) m的取值范圍是( B )(A)-4,

24、2)(B)(-4,2)(C)(-3,3)(D)-3,3解析 : 由 x>0,y>0,x+2y=xy 變形得 , 2 + 1y =1, 所以x+2y=(x+2y)( 2+1 )= 4y+x +4 4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)4y=x , 即 x=2y時(shí)等號(hào)xy x yx y成立 , 又 x2 + 1y =1, 得 x=4,y=2, 即當(dāng) x=4,y=2 時(shí) ,x+2y 取得最小值, 且最小值為 8. 由 x+2y-m2-2m>0恒成立, 得 (x+2y) min>m2+2m,從而8>m2+2m,解得 -4<m<2.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-4,2). 故選 B.

25、3. (2018 ·杭州質(zhì)檢 )已知正數(shù)x,y 滿(mǎn)足x2+2xy-3=0, 則 2x+y的最小值是.2解析 : 由題意得y= 3 x ,2x22所以2x+y=2x+3 x =3x 3 =3 (x+ 1 ) 3,2x 2x 2 x當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1 時(shí) , 等號(hào)成立 .答案 :34. 函數(shù) f(x)=lg x , 若 f(a)+f(b)=0, 則 3 + 1 的最小值2xa b為.解析 : 依題意得0<a<2,0<b<2,且 lg ( 2aa· 2bb)=0,即 ab=(2-a)(2-b), a b =1,3+1 =a b ( 3+1 )= 1 (4+ 3b+a) 1 (4+2 3)=2+ 3, 當(dāng)且僅當(dāng)3b=a, 即ab 2 ab