拉格朗日插值公式的證明及其應(yīng)用講解

1、拉格朗日插值公式的證明及其應(yīng)用摘要 : 拉格朗日 (Lagrange) 插值公式是多項式中的重要公式之一, 在理論和實踐中都有著廣泛的應(yīng)用 . 本文闡述了 Lagrange 插值的基本理論，譬如：線形插值，拋物插值， Lagrange 多項式等 . 然后 將線形插值，拋物插值， Lagrange 多項式插值分別應(yīng)用到高中知識中，并且學(xué)會用計算機程序來編 寫. 插值法的思想與中國剩余定理一脈相承, 體現(xiàn)了代數(shù)中 線性化 ( 即表示為求和和數(shù)乘的形式 )這一基本思路 , 大巧若拙 . 本文的目的是通過介紹拉格朗日插值公式的推導(dǎo)， 唯一性， 證明過程及其 在解題與實際生活問題中的應(yīng)用來尋找該公式的優(yōu)

2、點， 并且引人思考它在物理， 化學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用 . 通過實際鑒定過程，利用插值公式計算生活中的成本問題，可以了解它的計算精度高 , 方法快捷 . 關(guān)鍵詞 ： 拉格朗日插值公式 唯一性 證明 解題應(yīng)用 資產(chǎn)評估3曲線插值問題，直觀地說，認為已知的一批數(shù)據(jù)點 xk,fk kn 0是準(zhǔn)確的，這些數(shù)據(jù)點所表現(xiàn)的P x 且點點通過這些點，插值問題準(zhǔn)確函數(shù)關(guān)系 f x 是未知的，在這種情況下要作一條近似曲線 不僅要討論這種近似曲線 P x 的構(gòu)造方法，還要討論點增多時這種近似曲線 P x 是否穩(wěn)定地收斂 于未知函數(shù) f x ，我們先研究一種簡單常用的插值拉格朗日插值 一. 定義，推導(dǎo)及其在解題中的應(yīng)用 .

3、 線性插值. . 線性插值的定義假定已知區(qū)間 xk ,xk 1 的端點處的函數(shù)值 yk f xk , yk 1 f xk 1 , 要 求 線 性 插 值 多 項 式 L1 x 使 它 滿 足 L1 xk yk , L1 xk 1 yk 1y L1 x 的幾何意義 : 通過兩點 xk ,yk 和 xk 1,yk 1 的直線， 如圖所示， L1 x 的表達式由幾何意義直接給出，即L1 xykyk1ykxxk（點斜式），圖xk 1 xkx xk 1 x xkL1 xk 1 ykk yk 1 （ 兩點式 ） xk xk 1xk 1 xk由兩點式方程看出， L1 x 由兩個線性函數(shù) lk x x xk

4、1 , lk 1 x x xk 的線性組合 xk xk 1xk 1 xk得到 , 其系數(shù)分別為 yk 及 yk 1, 即 L1 x yklk x yk 1lk 1 x 顯然, lk x 及l(fā)k 1 x 也是插值多項式 ,在節(jié)點 xk及 xk 1上滿足條件lkxk1，lkxk1 0 ，lkxk 0 ，lk1xk11 稱函數(shù) , lk x （圖）及 l k 1 x （圖）為一次插值基函數(shù)或線性插值基函數(shù)圖象為：圖 2 圖 3. . 線性插值例題例 1. 已知 sin 0.32 0.314567,sin 0.34 0.333487,sin0.36 0.352274, 用線性插值計算x00.32x10

5、.34 ，x2y00.314567y10.333487y2解：由題意取0.360.352274若取 x0 0.32, x1 0.34 為節(jié)點，則線性插值為：sin 0.3367 L1 0.3367 y0 y1 y0 0.3367 x0x1 x00.3145670.018920.0167 0.3303650.02若取 x1 0.34,x2 0.36 為節(jié)點，則線性插值為：sin 0.3367 L1 0.3367 y1 y2 y1 0.3367 x1x2 x10.3334870.0187870.020.0033 0.330387顯然 , 它滿足條件 L2 x jy j j k 1,k,k 1 .

6、. 二次插值. . 二次插值的定義若 n 2時, 假定插值節(jié)點為 xk 1,xk,xk 1要求二次插值多項式 L2 x , 使它滿足 L2 xjyj( j k 1,k,k 1)y L2 x 的幾何意義 :通過三點的 xk 1,yk 1 , xk,yk , xk 1, yk 1 的拋物線 .lk 1 xk 1 1,lk 1 x j 0 j k,k 1lk xk 1,lk x j0 j k 1,k 1lk 1 xk 1 1,lk 1 x j 0 j k 1,k例如 lk 1 x ，因為它有兩個零點xk,xk 1 ，故可表示為：l k 1 xA x xk x xk 1 .由 lk 1 xk 1 1

7、得 Ax xk1x xk 1所以，lk 1 xx xk x xk 1xk 1 xk xk 1 xk 1同理l x x xk 1 x xk 1 xk xk 1 xk xk 1， lk 1 x x xk 1 x xkxk 1xk 1 xk 1 xk5函數(shù) lk 1 x , lk x , lk 1 x 稱為二次插值基函數(shù)或拋物插值基函數(shù)在區(qū)間 xk 1,xk 1 上的圖形分別為xy利用二次插值基函數(shù)lk 1 x , lk x , lk 1 x ,立即可得到二次插值多項式L2 xyk 1lk 1 x yklk x yk 1l k 1 x即 L x xxkxxk1 + xxk 1xxk 1+ xxk 1

8、xxk即 L2 xyk 1+ yk+ yk 1xk 1xkxk1xk 1xkxk 1xkxk 1xk 1xk 1xk1xk. . 拉格朗日公式（二次插值）在解題中的應(yīng)用例 2. 已知函數(shù) f x ax2 c （ a, c為實數(shù) ）。若 4 f 11， 1 f 2 2，則 f 8的最大值是多少？提示：由 f x ax2 c 是偶函數(shù)，得 f 1 f 1 .令節(jié)點 x01,x1 1,x2 2 ，由拉格朗日插值公式（拋物插值）得x x1 x x2x0 x1 x0 x2l1 8x x0 x x2x1 x0 x1 x2l28x x0 x x1x2 x0 x2 x121f 8 7f 1 27f 1 21f

9、 2 7f 1 27 f 1 21f 1 122注 ：用高中知識很難解決該題，從此題中可知拉格朗日公式在解題中的方便與快捷 .1 例 3. 已知 f x x2 bx c 求證： f 1 , f 2 , f 3 中至少有一個值不小于 2 證明：根據(jù)二次函數(shù)的插值公式f x x2bx cx 2 x 3 f 1 x 1 x 3 f 2 x 1 x 2 f 31 2 1 3 f 1 2 1 2 3 f 2 3 1 3 2 f 32 1 1比較上式兩邊 x2 的系數(shù)，有f 1 f 2 f 3 122假若 f 1 , f 2 , f 3 都小于 1 ，則 1= 1 f 1f 2 1 f3 1f 1 f 2

10、 1f 3 1.111.112 2 2 2 2 222 2得出矛盾 .1所以， f 1 , f 2 , f 3 中至少有一個值不小于 2 注：這是一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題，對高中生有一定難度，但應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識來做卻易如反掌。 從這方面可看出高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)有重要作用。b3312 34 S2 a b a c b a b c c a c b證明：構(gòu)造二次多項式：f x x3 x a x b x c分析：由不等式左邊分母聯(lián)想到拉格朗日插值公式17則由拉格朗日插值公式得x b x c a3 a b a c3 x a x b c3x a x c bb a b c c a c b3x

11、3 x a x b x c比較等式兩邊 x2 的系數(shù)得a3b3c3a b a c b a b c c a c ba b c 2p由海倫公式得S2 p p a p b p c p3p a b c34p427因為 a,b,c 不全相等，所以，上式等號不成立.是，3 1 3 134S22p 2 34 S2小結(jié) ：由此可推廣：設(shè) x1,x2,xn 為互不相等的 n 個數(shù)，則nk1 jk 1jnnxkxk x jxi例 5 二次函數(shù) f x 滿足f 10 9, f 6 7, f 29 ，則 f 2008 的值是多少？提示 ：由拉格朗日插值公式可設(shè)f x10x 66 x102 2 f 10x 10 x 2

12、 f 6 x 6 x 10 f 26 10 6 2 2 6 2 10例已知 4 2, 9 3, 16 4,求 7 的近似值解：令 y x ，列表xx0 4x1 9x2 16yxy0 2y1 3y2 41). 用線性插值多項式三組數(shù)據(jù)中，可以任取兩組數(shù)據(jù)構(gòu)造線性插值多項式L1 x 鑒于插值點所處的位置，應(yīng)選取x0,y0 , x1, y1 構(gòu)造 L1 x x 9x 423L1 x l0 x y0 l1 x y12 3 x 9 x 44 99 455所以 ，7 L1 7 2.62）. 用拋物插值多項式用全部數(shù)據(jù)構(gòu)造拋物插值多項式L2 xL2 x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2x 9

13、x 162x 4 x 163x4 x 944 9 4 1629 4 9 163164 16 94所以， 7 L2 7 3 81 2 2.6286 5 53 7 結(jié)論：對比 n 1,n 2 時，拋物插值更精確例 7. 已知 f x ax2 bx c a 0 滿足 7 f 1 1, 5 f 2 3, 1 f 3 8, 求 f 4 的取值范圍 .分析：解決本題關(guān)鍵是用f 1 a b cf 1,f 2,f 3 表示 f 4 ，用高中知識聯(lián)立方程組 f 2 4a 2b c f 3 9a 3b c求出 a,b,c并代入 f 4 16a 4b c ，從而確定 f 4 的取值范圍，這樣做過程較繁，而使用二次

14、函數(shù)的拉格朗日公式卻恰到好處 .解：由二次拉格朗日公式得11 f x 1 f 1 x 2 x 3 f 2 x 3 x 1 1 f 3 x 1 x 222則 f 4 f 1 3f 2 3f 3由已知得 19 f 4 383. n 次 Lagrange 插值多項式上面對 n 1及 n 2 的情況 , 得到一次與二次插值多項式L1 x 及 L2 x , 用插值基函數(shù)表示的方法容易推廣到一般情形 .下面討論 n 1個節(jié)點 x0 x1xn的 n次插值多項式 Ln x , 假定它滿足條件Ln xjyj j 0,1, ,n （）為了構(gòu)造 Ln x , 先定義 n 次插值基函數(shù)定義：若 n次多項式 l j x

15、 j 0,1, ,n 在 n 1個節(jié)點 x0 x1xn上滿足條件1,k jl j xkj,k 0,1, ,n0,k j就稱這 n 1個 n 次多項式 l0 x ,l1 x , ,ln x 為節(jié)點 x0,x1, ,xn 上的 n次插值基函數(shù)類似 n 1及 n 2的推導(dǎo)方法，可得 n次插值基函數(shù)為 lk x x x0 x xk 1 x xk1 x xnxk x0xk xk 1 xk xk 1xk xnk 0,1, ,n 滿足（）的插值多項式可表示nLn xyklk x （）k0n由 lk x 的定義知 Ln xjyklk xj y j j 0,1, ,n k0形如 （ ） 式的插值多項式 Ln x

16、 稱為 Lagrange 插值多項式令 wn 1 xx x0 x x1 x xn易求 wn 1xkxkx0xkxk 1xkxk1xkxn則（）可改寫為：nLn xykk0wn 1 xx xk wn 1 xk注意 : n次插值多項式 Ln x 通常是次數(shù)為 n的多項式 , 特殊情況次數(shù)可能小于 n二拉格朗日（ Lagrang ）插值公式的證明設(shè)已知函數(shù) f x 在 n 1個互異的點 x0,x1, , xn處的函數(shù)值 f xj yj ， j 0,1, ,n 現(xiàn)構(gòu) 造一個次數(shù)不超過 n 的多項式，使?jié)M足Ln xk yk， k 0,1, ,n .（）1. 唯一存在性 滿足插值條件（）的次數(shù)不超過 n

17、次的多項式Ln xa0a1xx0a2 xx0xx1anxx0xx1xxn（ ）是唯一存在。xn x0xn x0 xn x1xnxn 1x1x0xnx0 xnx1xnxn 1由于 x0,x1, ,xn互異，所以Dn 0，這樣 a0,a1,an 有唯一的解，所以 Ln x 唯一存在 .2. 證明過程證明：以 x0 , x1代入（）式得：a0 y0a0 a1 x1 x0 y1解得：a0 y0a1 y1 y0x1 x0從而有L1 x a0 a1 x x0y0 y1 y0 x x0 y0 x x1y1x0 x1x1 x0x x0 y0l0 y1l1 x1 x0這里l0x x11 ， l1 x0 x1x

18、x0x1 x0易證： lk xj1, k j0, k j這就證明了 n 2 時，公式成立.現(xiàn)假設(shè)n p 1時公式成立，則 n p 時，我們把 x p代入（）得解得：L p xpa0a1xpx0apxpx0xpxp1證明：把條件（）帶入（）式得：a0 y0a0 a1 x1 x0 y1a0a1xnx0anxnx0xnx1xnxnyna0,a1, an的系數(shù)組成的行列式為0Dnx1 x0從而apLp xpapa1xpx0ap 1xpx0xpxp2 （）xpx0xpxp 1L p x a0 a1 xp x0ap xpx0xpxp1Lp1 xapxpx0xpx1把（）式代入上式得Lp xLp1 x xp

19、x0xpxp1yp Lp 1 xn x x0 x xp 1從假設(shè)得： L x y x x0x xk 1 x xk 1x xp 1k 0xk x0xk xk 1 xk xk 1xk xp 1ypp1ykk0xpx0xpxk 1xpxk1xpxp 1xkx0xkxk 1xkxk1xkxp 1x -x0 x x xp x0xp xp 1p1p1ykk0x x0x xk 1 x xk 1 x xp 1xkx0xkxk1xkxk 1xkxp1p1ykk0y xx0xxp 1xkx0xk xk1 xkxk 1xkxp 1xp xk xpx0xp xp 1x x0x xp 1p1ykk0x x0 x xk

20、1 x xk 1x xp1xkx0xkxk1xkxk 1xkxp1x xkxp xky x x0x xp xk x0xk xp 1p1p1ykk0xx0xkxp 1xxk 1xxp1 xxpy xx0xxp 1xkx0xkxk 1xkxk 1xkxp 1xkxpp xk x0xk xp 1pykl k xk0這里x x0x xk 1 x xk 1x xpx0xk xk 1 xkxk 1xk xp易證：lk xj1, k j0, k j即 n p 時成立 . 得證 . 從證明過程可看出，插值基函數(shù)的結(jié)構(gòu)和由來是自然而合理的 三拉格朗日插值公式在實際生活（資產(chǎn)評估）中的應(yīng)用1資產(chǎn)評估公式資產(chǎn)評估就

21、是在利用現(xiàn)時條件下,被評估資產(chǎn)全新狀態(tài)的重置成本減去資產(chǎn)的各種陳舊貶值后的差額作為被評估資產(chǎn)現(xiàn)時價值,基本計算公式為 :資產(chǎn)價值 = 重置全價 （ 實體性貶值 + 功能性貶值 + 經(jīng)濟性貶值 ）2. 理論方法與實際應(yīng)用分析假設(shè)某類設(shè)備 n 1個功能參數(shù)與價格 ,即已知 n 1個功能參數(shù) : x0 ,x1, , xn ,及其相對 的 n 1個價格 : y0 , y1, y2 , , yn ,現(xiàn)在的問題是如何根據(jù)此組數(shù)據(jù)列表xx0x1x2xnyy0y1y2yn功能與成本數(shù)據(jù)表找出功能與成本之間的函數(shù)關(guān)系 : y f x 假設(shè)在該參數(shù)區(qū)間 （ 插值區(qū)間 ） 內(nèi)存在一條代數(shù)多項式的函數(shù)曲線 ,在該曲線

22、上的數(shù)值均滿足以上各點的數(shù)值對 應(yīng)關(guān)系 ,以此函數(shù)曲線作為關(guān)系式y(tǒng) f x 的模擬曲線，就是所謂的拉格朗日插值法 . 利用這條曲線（圖） ,輸入新的 功能參數(shù) ,即可得到重置成本參考價 .功圖 函數(shù)曲線nLn xykk0x x0x xk 1 x xk 1 x xnxk x0xk xk 1 xk xk 1 x(6)kxn拉格朗日插值多項式為由此公式 , 代入 x0,x1, ,xn時, 可看出結(jié)果就是對應(yīng)的y0,y1,y2, , yn,假設(shè)令 n 1, 即只有兩個數(shù)據(jù)時 , 就得到兩點插值計算公式 :L1 x y0x x1x0 x1y1 x x0x1 x0這是個線性函數(shù) ,利用已知兩點作一條直線,

23、作為擬合曲線 ,代表功能與成本之間的關(guān)系 ,也叫線性插值 （ 圖 ）若 n 2 時 ,則得到 3 點插值計算公式 :xx1xx2xx0xx2 xx0xx2L2 xy01 2y10 2 y2 0 2 （8）x0x1x0 x2x1x0x1x2x2x0x2x1這是個二次函數(shù) ,在圖形上 ,即通過已知各點作一條拋物線 , 代表功能與成本之間的關(guān)系 ,叫拋物線插 值 （ 圖 ）圖2. 計算機運算方法分析根據(jù)以上理論 ,已知設(shè)備信息點越多 ,曲線擬合也越復(fù)雜 ,品評估的準(zhǔn)確率就越高,計算公式也相應(yīng)地復(fù)雜起來 .所以只能依靠計算機來解決.為便于計算 ,可將拉格朗日插值多項式改寫為nykx xjxk x jnLn xk0編制程序時 ,只須利用一個二重循環(huán)就可完成Ln x 值的計算 :先通過內(nèi)循環(huán) ,即先固定 k，令 j 從0到n累乘;然后再通過外循環(huán) ,即令 k從0到n累加得出插值結(jié)果 Ln x . 程序流程圖見圖 :y y p yk輸出 x,y圖3. 結(jié)論由以上分析可知 ,采用拉格朗日插值法計算設(shè)備的功能重置成本,計算精度較高 ,方法快捷。但是由于上述方法只能針對可比性較強的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備,方法本身也只考慮單一功能參數(shù),因此 ,它的應(yīng)用范圍受到一定的限制。作為一種探索,