2018年上海市虹口區(qū)高三二模數(shù)學(xué)卷(含答案)

1、虹口區(qū) 2017 學(xué)年度第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測(cè)試高三數(shù)學(xué)試卷(時(shí)間 120 分鐘，滿分150 分)2018.4一填空題(1 6 題每小題4分，7 12題每小題5 分，本大題滿分54分)1已知 A (, a ， B 1,2 ，且 A B ，則實(shí)數(shù)a的范圍是2直線ax (a 1)y 1 0與直線 4x ay 2 0互相平行，則實(shí)數(shù)a3已知(0, ) ， cos 3 ，則 tan( )4 長(zhǎng) 方 體 的 對(duì) 角 線 與 過(guò) 同 一 個(gè) 頂 點(diǎn) 的 三 個(gè) 表 面 所 成 的 角 分 別 為 ， 則co2sc o2 sc2o s2x x0115已知函數(shù)f (x)，則 f 1 f 1( 9)2x 1

2、 x 06從集合1, 1, 2, 3 隨機(jī)取一個(gè)為m ，從集合2,1, 1, 2 隨機(jī)取一個(gè)為n ，則方程22x y 1 表示雙曲線的概率為mn7已知數(shù)列an 是公比為q 的等比數(shù)列，且a2， a4， a3 成等差數(shù)列，則q 8若將函數(shù)f (x)x6表示成 f (x)a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a6(x1)6則a3 的值等9如圖，長(zhǎng)方體ABCD A1 B1 C1 D1的邊長(zhǎng)AB AA1 1AD 2 ，它的外接球是球O ，則 A ，A1 這兩點(diǎn)的球面距離等10橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于m，短軸長(zhǎng)等于n ，則此橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為 .x27x111 x 是 不 超 過(guò)x 的最 大

3、整 數(shù) ，則方 程 (2x)272x10 滿 足 x 1 的 所有實(shí) 數(shù) 解44是12 函 數(shù) f (x) sin x ， 對(duì) 于x1x2x3nx且x1, x2,xn 0, 8( n 10 ) ， 記Mf(x1)f(x2)f(x2)f (x3)f(x3)f(x4)f(xn1)f(xn)，則M 的最大值等于虹口區(qū)高三數(shù)學(xué)本卷共 4 頁(yè) 第 1 頁(yè)5 分，滿分20 分）13下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（） xx0A. f （x） x 1 B. f （ x） si nx coxs C. f （x） arccosx D. f（x）xx014在 Rt ABC 中，AB AC ，點(diǎn)M 、 N 是線段 AC 的三等

4、分點(diǎn)，點(diǎn)P 在線段 BC 上運(yùn)動(dòng)且滿足PC k BC ，當(dāng) PM PN 取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)k 的值為（）A. 12B. 13C. 14D. 1815 直線 l : kx y k 1 0與圓x2 y2 8交于 A， B 兩點(diǎn)， 且 AB 4 2 ， 過(guò)點(diǎn) A， B 分別作 ly 軸交于點(diǎn)M ， N ，則 MN 等于（）A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8則以下結(jié)論正確的是（an 416已知數(shù)列an 的首項(xiàng)a1 a ，且 0 a 4， an 16 anan4n ， Sn 是此數(shù)列的前 an 4n 項(xiàng)和，A. 不存在 a和 n使得Sn 2015B. 不存在 a 和 n 使得Sn2016C. 不存

5、在a和 n使得Sn 2017D.不存在 a和 n使得Sn 2018所在三解答題（本大題滿分76 分）17 （本題滿分14 分 .第（1 ）小題 7 分，第（2）小題7 分 .）如圖，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB AC 1, BAC 2 ，高等于3，點(diǎn)M1 ， M2， N1 ， N2為線段的三等分點(diǎn)（ 1）求此三棱柱的體積和三棱錐A1 AM 1N 2 的體積；（ 2）求異面直線A1 N2 ， AM 1 所成的角的大小18 （本題滿分14 分 .第（1）小題7 分，第（2）小題7分 .）ABC 中，角 A, B,C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c ， z cosA i sin A（ i 是虛數(shù)

6、單位）是方程2z z 1 0 的根， a 3 .1 ）若B ，求邊長(zhǎng)c 的值；42）求ABC 面積的最大值.19 （本題滿分14 分 .第（1）小題6 分，第（2）小題8分 .）n ，均有 an 1 an d ，則稱此“向量列”為“等平面內(nèi) 的“向量列”差向量列”， d 稱為“公差向量”.平面內(nèi)的“向量列”bn ，如果b10 且對(duì)于任意的正整數(shù)n ，均有bn 1 qbn （ q 0 ） ，則稱此“向量列”為“等比向量列”q 稱為“公比”1 ）如果“向量列”an是“等差向量列”，用a1 和“公差向量”d 表示a1a2an ；2）已知 an 是“等差向量列”， “公差向量”d （3, 0） ，a1

7、（1, 1）， an （xn,yn） ；bn 是， “公比” q 2 ，b1(1, 3)，bn(mn,kn).求a1b1a2b2anbn20 （本題滿分16 分 .第（1）小題 4 分，第（2）小題5分，第（3）小題 7 分 .）2如果直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，稱該直線為橢圓的“切線”.已知橢圓C : x y2 1，點(diǎn) M （m,n）是2橢圓 C 上的任意一點(diǎn)，直線l 過(guò)點(diǎn) M 且是橢圓C 的“切線”.mx（ 1）證明：過(guò)橢圓C 上的點(diǎn) M （m, n）的“切線”方程是 mx ny 1 ；2（ 2）設(shè) A， B 是橢圓 C 長(zhǎng)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)M （m,n） 不在坐標(biāo)軸上，直線MA， MB 分別

8、交 y軸于虹口區(qū)高三數(shù)學(xué)本卷共 4 頁(yè) 第 3 頁(yè)點(diǎn) P ， Q ，過(guò) M 的橢圓 C 的“切線”l 交 y 軸于點(diǎn) D ，證明：點(diǎn)D 是線段 PQ 的中點(diǎn)；3） 點(diǎn) M （m,n） 不在 x軸上， 記橢圓 C 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 和 F2， 判斷過(guò) M 的橢圓 C的 “切線” l 與直線 MF1 ，MF2所成夾角是否相等？并說(shuō)明理由21 （本題滿分18 分 .第（ 1）小題 3 分，第（2）小題 7分，第（3）小題8 分1 ）如果34x 是關(guān)于2x 的不等式f（ x） 0 的解，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；2）判斷3434g( x)在 ( 1,24和 241） 的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；3）證明：函

9、數(shù)f （x）存在零點(diǎn)q，使得a q q4 q7q3n 2 成立的充要條件是343一、填空題（1、 a 1；8、 20；虹口區(qū) 2017 學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測(cè)試題答案1 6題每小題4分，7 12題每小題5 分，本大題滿分54分）2、 2；3、9、；10、371 mn ；24、 2；11、5、2；6、17、 1 或 ；21x 1或 x212、 16；f (x) ax3 x a ( a R ， x R ) ， g( x) x 3 ( x R) 1x二、選擇題（每小題5 分，滿分20 分）13、 B ；14、 C ；15、 D16、 A；17、 （ 14 分）解 : （ 1

10、）S AM 1A176 分）S ABCC1 到平面ABB1 A1 的距離等于虹口區(qū)高三數(shù)學(xué)VBABB1 A1 的距離等于1 ，三棱柱 ABC A1B1C1131VA1 AM1N2 VN2 AM1A13 223(立方單位)，三棱錐A1AM1N2的體積等于1（立方單 2位)7 分2）取線段AA1 的三等分點(diǎn)P1，P2，連P1M2，P1C .A1N2 P1C ， AM1 P1M 2，M 2P1C 的大小等于異面直線A1N2，AM1 所成的角或其補(bǔ)角的9分大小.P1M 2AM 12 ， P1C2 ， M 2C 6 .cos M 2 P1C2262222異面直線A1N2，AM1所成的角的大小等于314分

11、21318、 （ 14 分）解： （ 1 ） z z 1 0 的兩個(gè)根為zi .222分13cosA ， sin A ，224分5 sinC sin1262sin Ca326，得 csin A7分虹口區(qū)高三數(shù)學(xué)本卷共 4 頁(yè) 第 15 頁(yè)2222)a2 b2 c2 2bccosA .229 b c bc 2bc bc bc ， 從 而 bc 9 ， 等 號(hào) 當(dāng) b c 時(shí) 成 立 ， 此 時(shí)1Sm a x bcs iAn29 . 3 ABC 的面積的最大值等于9 314分19、 ( 14分)解： ( 1 )設(shè)an(xn, yn)， d (d1, d2) .xn 1xn d1an 1and ，

12、得， 所以數(shù)列xn 是以x1 為首項(xiàng)，公差為 d1 的等差數(shù)列；數(shù)列ynyn 1ynd2是以y1首項(xiàng)，公差為d2的等差數(shù)列.3分a1a2 an ( x1x2xn,y1 y2yn)(nx1 2n(n 1)d1, ny12n(n 1)d2) n(x1, y1) 2 n(n 1)(d1, d2)1na1n(n 1)d .26分2)設(shè)an (xn, yn ) ， bn (mn, kn ).由an1an(xn 1 ,yn 1)(xn ,yn )(xn1xn ,yn 1yn)(3, 0) ， 從 而xn 1xn3 ，yn 1 yn 0.數(shù)列xn 是以 1 為首項(xiàng)， 公差為 3 的等差數(shù)列，由bn12bn得

13、mn12mn，kn 12kn，又m11，從而xn 3n 2 .數(shù)列yn 是常數(shù)列，yn 1 .k13， 數(shù)列mn 是以 1 為首項(xiàng)，公比為2kn是以 3為首項(xiàng)，公比為2 的等比數(shù)列，從而有mn2n1 ，kn32n1 .10 分a1b1a2b2anbnx1m1x2m2xnmny1k1y2k2ynkn令 Snx1m1 x2m2xnmn 1 1 4 2 7 22(3n 2) 2n 12Sn 1 2 4 22 7 23(3n 2) 2n - 得，Sn1 3(222232n1 ) (3n 2)2n，得Sn5 (3n 5)2n3 (1 2n)n令 Tny1k1y2k2ynkn1 23 (21)從而a1b1

14、a2b2anbnSnTn(3n 2) 2n 214分2m220、 ( 16分解： ( 1)由點(diǎn)M (m,n) 在橢圓 C 上，有n 1 ， M (m,n)在直線2mxny 1 上22n 0 時(shí)，由 m2222n 2 1 ，得 m22 ，直線方程為x ，代入橢圓方程得m2 m220 ，得m2一個(gè)交點(diǎn) (2 , 0) ，直線 l 是橢圓 C 切線 .m2m 2m 1122當(dāng) n 0 時(shí) ， 有 n 1 ， 直 線 為 y x 代 入 橢 圓 方 程 得 x mx 1 n 0， 有22n n2m2 4 1 (1 n2 ) m2 2n22 ，直線是橢圓0C 切線.4分222n x 2 22mx另解：不

15、討論將橢圓方程化為n y n ，將直線方程ny 1 代入消y，得到x的一元二22次方程，然后證明02 ) 點(diǎn) M (m,n)不 在 坐 標(biāo) 軸 上 ， AM : y n (x 2) ， 得 P( 0 , 2n . ) m2m2BM : y n (x 2)m2Q(0,2n) m26分過(guò)點(diǎn)M (m,n)的切線為mxl :ny221 m2221 ，得 D(0,).由 n 1 ，得 m 2 2n ，從而有n2yPyQ2n 2nm 2m 24nm2 222yD ，點(diǎn) D 是線段 PQ 的中點(diǎn). 9 分n3)M (m,n) ,l : mx ny 1,l 的方向向量m22d (2n, m)，m2n2 1.F

16、1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，MF1 ( 1 m, n)， MF2 (1 m,n)，記d 與MF1 的夾角， d 與 MF2的夾角.12分cosd MF2n mnn(m 2)2ncosd MF1d MFd MF24n 2 m2(1 m)2 n22n mn2222n m (1 m) n4n2 m22m2n(2 m)4n2 m2 2224n2 m2m22n4n2 m2所以 cos cos ，有，從而有l(wèi) 與直線MF1 ， MF2所成的夾角相等.16 分343343421、 ( 18 分)解：(1) 由 a( )() a 0，得 a2233分2)設(shè)x2x1 ， g( x2)g( x1 )x2x11

17、x231 x13( x2x1)1x1x2( x2x1 )(1x23 )(1x13 )3433323時(shí)，x2x10 ， 1x20 ， 1x10 ，x1 x21 ，2x1x24 ，6分有 2x1x2(x1x2)1 ，1 1x1x2( x1x2) 0， g(x2)g(x1) 0.3433323x1x20 時(shí)，x2x10 ， 1x20 ， 1x10 ， 0x1x2，4x1x20，有1x1x2(x1x2)0， 0 1x1x2( x1x2)1 ，g(x2)g(x1)0 .當(dāng) 0x1x21時(shí)，x2x10 ， 1x230 ， 1x130， 1x1x2( x1x2)0，g( x2)g(x1)0 .343434g( x)在 ( 1,2 遞減，在 2 , 0和 0, 1)上遞增，從而在 2 , 1)上遞增.10 分3434a 34334(3) 充 分 性 ： 當(dāng) a 時(shí) ， 有 f ()a a 0 ， 又 f (1)10， 函 數(shù)322