新北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)練習(xí)

1、第二章：實(shí)數(shù) 知識(shí)梳理【無理數(shù)】1. 定義：無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；注：它必須滿足“無限”以及“不循環(huán)”這兩個(gè)條件。2. 常見無理數(shù)的幾種類型：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如：2-，3等；（2）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)（看似循環(huán)而實(shí)則不循環(huán)）：如：2.010 010 001 000 01（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0）等。（3）無理數(shù)與有理數(shù)的和差結(jié)果都是無理數(shù)。如：2-是無理數(shù)（4）無理數(shù)乘或除以一個(gè)不 為0的有理數(shù)結(jié)果是無理數(shù)。如2,（5）開方開不盡的數(shù)，如:等；應(yīng)當(dāng)要注意的是：帶根號(hào)的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：等；無理數(shù)也不一定帶根號(hào)，如：）3.有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指

2、的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)形式。例：（1）下列各數(shù)：3.141、0.33333、0.33（相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有；是無理數(shù)的有。（填序號(hào)）（2）有五個(gè)數(shù):0.125125,0.1010010001,-,其中無理數(shù)有 ( )個(gè)【算術(shù)平方根】：1. 定義：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么，這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為：“”，讀作，“根號(hào)a”，其中，a稱為被開方數(shù)。例如32=9，那么9的算術(shù)平方根是3，即。特別規(guī)地，0的算術(shù)平方根是0，即

3、，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根2.算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：（1）若 有意義，則被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)。（2）算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)。3.算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個(gè)值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個(gè)值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：；而平方根具有兩個(gè)互為相反數(shù)的值，表示為：。例：（1）下列說法正確的是 （ ）A1的立方根是； B；（C）、的平方根是； （ D）、0沒有平方根； （2）下列各式正確的是（）A、 B、 C、 D、（3）的算術(shù)平方根是。（4）若有意義，則_。（5）已知ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍。（6）（提高題）如果x、y分別是4的整數(shù)

4、部分和小數(shù)部分。求x y的值.平方根：1.定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根；，我們稱x是a的平方（也叫二次方根），記做：2.性質(zhì)：（1）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；（2）0只有一個(gè)平方根，它是0本身； （3）負(fù)數(shù)沒有平方根例（1）若的平方根是±2，則x=；的平方根是（2）當(dāng)x時(shí)，有意義。（3）一個(gè)正數(shù)的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個(gè)正數(shù)是多少？3. （1）（2）中，a可以取任意實(shí)數(shù)。如例：1.求下列各式的值（1） （2） （3）2.已知，那么a的取值范圍是。3.已知2x3,化簡(jiǎn)。【立方根】1.定義：一般地，如果以個(gè)數(shù)x的立方等

5、于a，即x3=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）記為，讀作，3次根號(hào)a。如23=8，則2是8的立方根，0的立方根是0。2.性質(zhì)：正數(shù)的立方根的正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。立方根是它本身的數(shù)有0,1，-1.例：（1）64的立方根是           （2）若，則b等于           （3）下列說法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正確

6、的有 （ ） A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)【估算】 用估算法確定無理數(shù)的大?。簩?duì)于帶根號(hào)的無理數(shù)的近似值得確定，可以通過平方運(yùn)算或立方運(yùn)算并采用“夾逼法”，即兩邊無限逼近，逐級(jí)夾逼來完成。首先確定其整數(shù)部分的范圍，再確定十分位，百分位等小數(shù)部分?！熬_到”與“誤差小于”的區(qū)別：精確到1m，是指四舍五入到個(gè)位，答案唯一；誤差小于1m，答案在其值左右1m內(nèi)都符合題意，答案不唯一。方法點(diǎn)撥：解決此類問題的關(guān)鍵是依據(jù)平方根（立方根）及開平方（開立方）的定義，進(jìn)而采取兩邊夾逼的辦法求解。例：估算下列各數(shù)的大?。?） （2） （3）用估算的方法比較數(shù)的大小用估算法比較兩個(gè)數(shù)的大小，一般至少有一個(gè)

7、是無理數(shù)，且在比較大小時(shí)，一般先采用分析法，估算出無理數(shù)的大致范圍，再作具體比較當(dāng)比較兩個(gè)帶根號(hào)的無理數(shù)的大小時(shí)可用如下結(jié)論： （1）若ab0,則（2）若ab，則（3）若a、b都為正數(shù)，且ab時(shí)，則a2b2例：通過估算比較下列各組數(shù)的大小比較兩個(gè)數(shù)的大小： 方法一：估算法。如34方法二：作差法。如ab則a-b0.方法三：乘方法.如比較的大小。例：比較下列兩數(shù)的大?。?） （2）【實(shí)數(shù)】定義：（1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)中，沒有最大的實(shí)數(shù)，也沒有最小的實(shí)數(shù)；絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是0，最大的負(fù)整數(shù)是-1。（2）實(shí)數(shù)也可以分為正實(shí)數(shù)、0負(fù)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)的性質(zhì)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是（

8、a0）；實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|=，它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。實(shí)數(shù)的大小比較法則：實(shí)數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的就大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對(duì)于一些帶根號(hào)的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。實(shí)數(shù)的運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方六種運(yùn)算。運(yùn)算法則和運(yùn)算順序與有理數(shù)的一實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：每個(gè)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的（1）每個(gè)實(shí)數(shù)可以以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。（2）數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示已個(gè)實(shí)數(shù)。例：（1）下列說法正確的是（

9、 ）；A、任何有理數(shù)均可用分?jǐn)?shù)形式表示 ； B、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對(duì)應(yīng) ；C、1和2之間的無理數(shù)只有 ； D、不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)。（2）a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）比較大小(填“>”或“<”).3， ， ， ，（4）數(shù) 的大小關(guān)系是 ( ) A. B. C. D. （5）將下列各數(shù)：，用“”連接起來；_。（6）若，且，則：=?！径胃健慷x：形如的式子叫做二次根式，a叫做被開方數(shù)注意：（1）從形式上看二次根式必須有二次根號(hào)“”，如是二次根式，而=3,3顯然就不是二次根式。（2）被開方數(shù)a可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式

10、。若a是數(shù)，則這個(gè)數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；若a是代數(shù)式，則這個(gè)代數(shù)式的取值必須是非負(fù)數(shù)，否則沒有意義。例：下列根式是否為二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性質(zhì)： 性質(zhì)1： 積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)也可以對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。性質(zhì)2： 商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根除以除數(shù)的算術(shù)平方根。最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)中不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。例：1.化簡(jiǎn)：（1） （2） （3）2.計(jì)算：3.已知：，求代數(shù)式的值。6.（提高題）觀察下列等式：回答問題：，（1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，請(qǐng)猜想的結(jié)果；（2）請(qǐng)按照上

11、式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n表示的等式，并加以驗(yàn)證。課后練習(xí)一、重點(diǎn)考查題型：1.1的相反數(shù)的倒數(shù)是2.已知a+3|+0，則實(shí)數(shù)（a+b）的相反數(shù)3.數(shù)314與的大小關(guān)系是4.和數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的是5.和數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)A距離等于25的B所表示的數(shù)是6.在實(shí)數(shù)中,0, ,314, 無理數(shù)有個(gè)7一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（）（A）非負(fù)數(shù)（B）非正數(shù)（C）負(fù)數(shù)（D）正數(shù)8若x3，則x3=。9下列說法正確是（）（A） 有理數(shù)都是實(shí)數(shù)（B）實(shí)數(shù)都是有理數(shù)（B） 帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)（D）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)10實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，比較下列每組數(shù)的大小：（1） c

12、-b和d-a （2） bc和ad二、考點(diǎn)訓(xùn)練：*1判斷題：（1）如果a為實(shí)數(shù)，那么a一定是負(fù)數(shù)；（）（2）對(duì)于任何實(shí)數(shù)a與b,|ab|=|ba|恒成立；（）（3）兩個(gè)無理數(shù)之和一定是無理數(shù)；（）（4）兩個(gè)無理數(shù)之積不一定是無理數(shù)；（）（5）任何有理數(shù)都有倒數(shù)；（）（6）最小的負(fù)數(shù)是1；（）（7）a的相反數(shù)的絕對(duì)值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則ab=1；（）2把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里|3|，213，1234，,0，, , ()0，32，ctg45°,1.2121121112中無理數(shù)集合 負(fù)分?jǐn)?shù)集合 整數(shù)集合 非負(fù)數(shù)集合 *3已知1<x<

13、;2，則|x3|+=。4下列各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負(fù)倒數(shù)？3, 1， 3， 03， 31， 1 +， 3互為相反數(shù)：互為倒數(shù)：互為負(fù)倒數(shù)：*5已知、是實(shí)數(shù)，且（X）2和2互為相反數(shù)，求，y的值6.,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是2，求+4m-3cd=。*7已知0，求=。三、解題指導(dǎo)：1下列語句正確的是（）A、無盡小數(shù)都是無理數(shù) B、無理數(shù)都是無盡小數(shù)C、帶拫號(hào)的數(shù)都是無理數(shù) D、不帶拫號(hào)的數(shù)一定不是無理數(shù)。2和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）A、整數(shù) B、有理數(shù) C、無理數(shù)D、實(shí)數(shù)2 零是（）A、最小的有理數(shù) B、絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)C、最小的自然數(shù) D、最小的整數(shù)

14、4.如果a是實(shí)數(shù)，下列四種說法：（1）2和都是正數(shù)，（2），那么一定是負(fù)數(shù)，（3）的倒數(shù)是，（4）和的兩個(gè)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，幾個(gè)是正確的有 個(gè)*5比較下列各組數(shù)的大?。?(1) (2)a<b<0時(shí), 6若a,b滿足=0,則的值是*7實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，其中O是原點(diǎn)，且|a|=|c|（1） 判定a+b,a+c,c-b的符號(hào)（2） 化簡(jiǎn)|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)1，若AB3，則點(diǎn)B所表示的數(shù)為9已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"連結(jié)x，x，|y|，y。10最大負(fù)整數(shù)、最小的正整數(shù)、最

15、小的自然數(shù)、絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)各是什么？11絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)、平方數(shù)、算術(shù)平方根、立方根是它本身的數(shù)各是什么？12把下列語句譯成式子：（1）a是負(fù)數(shù)；（2）a、b兩數(shù)異號(hào)；（3）a、b互為相反數(shù)；（4）a、b互為倒數(shù)；(5)x與y的平方和是非負(fù)數(shù)；（6）c、d兩數(shù)中至少有一個(gè)為零；（7）a、b兩數(shù)均不為0。*13.數(shù)軸上作出表示，的點(diǎn)。四獨(dú)立訓(xùn)練：10的相反數(shù)是，3的相反數(shù)是，的相反數(shù)是；的絕對(duì)值是，0的絕對(duì)值是，的倒數(shù)是2數(shù)軸上表示32的點(diǎn)它離開原點(diǎn)的距離是。A表示的數(shù)是，且AB，則點(diǎn)B表示的數(shù)是。3,(1)º,01313,2cos60º, 31 ,1101001000(兩1之間依次多一個(gè)0),其中無理數(shù)有，整數(shù)有，負(fù)數(shù)有。4. 若a的相反數(shù)是27，則a|；5若|a|，則a=5若實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x3）24y0，則xy的值是6實(shí)數(shù)可分為（） A、正數(shù)和