特殊平行四邊形（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第三章 證明（三）特殊平行四邊形（二）一、學(xué)生知識(shí)狀況分析在八年級(jí)教材中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)菱形、正方形的性質(zhì)及其判別方法，通過(guò)一些直觀的方法進(jìn)行了大量的探索，所以學(xué)生對(duì)所要學(xué)習(xí)的結(jié)論已經(jīng)有所了解。其次經(jīng)歷了證明（一）、證明（二）的學(xué)習(xí)，通過(guò)推理訓(xùn)練，學(xué)生們已經(jīng)具備了一定的推理能力，樹(shù)立了初步的推理意識(shí)，為嚴(yán)格的推理證明打下了基礎(chǔ)。再次在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具有了一定合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析因?yàn)檫@節(jié)課所涉及的很多命題，學(xué)生已有所了解，對(duì)于這些命題，教科書(shū)利用提問(wèn)的方式讓學(xué)生聯(lián)想回憶，然后利用已有的定理證明它們，讓學(xué)生從中體會(huì)證明的必

2、要性，理解證明的基本過(guò)程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想。因此，本節(jié)課注重新舊知識(shí)的結(jié)合及學(xué)生推理能力的提高，而不要追求證明題的數(shù)量和證明的技巧。對(duì)證明方法和證明過(guò)程的體驗(yàn)，成為本節(jié)課的重點(diǎn)。此外，這部分題目多數(shù)有多種思路，注意引導(dǎo)學(xué)生選用不同的知識(shí)點(diǎn)、從不同的角度思考問(wèn)題；注意讓學(xué)生對(duì)解題思路和辦法進(jìn)行辨析，從而能對(duì)眾多解法作優(yōu)化選擇；注意滲透歸納、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，而不是給學(xué)生一個(gè)固有的模式往題目中套。三、教學(xué)準(zhǔn)備1、課前布置學(xué)生動(dòng)手制作一個(gè)菱形和一個(gè)正方形。2、課前需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，前后桌4人一組，每組包括能力不同的學(xué)生，設(shè)組長(zhǎng)1名，中心發(fā)言人1名。組長(zhǎng)主要負(fù)責(zé)引領(lǐng)

3、和鼓舞同學(xué)學(xué)習(xí)積極性。四、教學(xué)過(guò)程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：探究新知（分為兩部分）；第三環(huán)節(jié)：歸納應(yīng)用（分為兩部分）；第四環(huán)節(jié)：感悟與收獲；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。（一）設(shè)置問(wèn)題情境，引入新課我們?cè)谇懊嫣接戇^(guò)另一種特殊的平行四邊形-菱形，大家還記得它嗎？我們來(lái)共同回憶一下。1、菱形的定義2、菱形的性質(zhì)3、菱形的判別方法師：菱形的這些性質(zhì)和判別方法我們是怎樣得到的?那么你能用幾何推理過(guò)程來(lái)證明它們嗎？這節(jié)課我們就來(lái)證明菱形的性質(zhì)和判別方法。設(shè)計(jì)意圖：（1）以問(wèn)題串的形式引入新課，讓學(xué)生明確本節(jié)課所要解決的問(wèn)題。（2）讓學(xué)生回憶菱形性質(zhì)和判定的探索過(guò)程及其得出的結(jié)論

4、，目的是啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論和證明結(jié)論的相互關(guān)系，即合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補(bǔ)充的辨證關(guān)系。實(shí)際效果：因?yàn)榍懊鎸?duì)平行四邊形及矩形的學(xué)習(xí)，學(xué)生回答問(wèn)題比較有針對(duì)性，能概括地從“邊、角、對(duì)角線”等幾個(gè)方面回答，較有條理。當(dāng)然也有個(gè)別學(xué)生語(yǔ)言表述不到位，需老師同學(xué)適時(shí)點(diǎn)撥、補(bǔ)充、鼓勵(lì)。（二）探究新知師：同學(xué)們自己推證菱形性質(zhì)，行嗎？說(shuō)明：小組內(nèi)交流，中心發(fā)言人回答，及時(shí)讓學(xué)生補(bǔ)充不同的思路，關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的參與情況。學(xué)生A：平行四邊形對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分而菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形也具有平行四邊形具有的一切性質(zhì)。學(xué)生B：菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，所以根據(jù)

5、平行四邊形對(duì)邊相等可以獲得菱形的四條邊都相等。學(xué)生C：因?yàn)榱庑蔚膬蓷l對(duì)角線將菱形分割成了四個(gè)全等的三角形，所以我們可以得到菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。師：誰(shuí)能說(shuō)出B、C兩個(gè)同學(xué)所說(shuō)的菱形性質(zhì)的已知，求證呢？學(xué)生D：已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=BCDA 求證：AB=BC=CD=AD證明：四邊形ABCD是菱形BC AD=BC，AB=CD 又AB=BC AB=BC=CD=AD學(xué)生E：已知：如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于O點(diǎn) 求證：ACBD，AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADCABDCO證明：四邊形ABCD是菱形 AB=AD，OB=OD ACBD，AC平分

6、BAD （等腰三角形的三線合一） 同理得：AC平分BCD BD平分 ABC和ADC設(shè)計(jì)意圖：首先引導(dǎo)學(xué)生類比平行四邊形的性質(zhì)感知菱形性質(zhì)的特殊性，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。其次整個(gè)過(guò)程重新回顧了命題證明需經(jīng)歷的步驟，為進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理論證能力奠定了基礎(chǔ)。再次整個(gè)過(guò)程采用合作學(xué)習(xí)的策略，鼓勵(lì)學(xué)生多層面、多角度地思考菱形性質(zhì)的論證過(guò)程，目的在于加深學(xué)生對(duì)性質(zhì)本身的理解和掌握，同時(shí)也豐富了交流的內(nèi)容，激發(fā)了交流的氣氛，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通，達(dá)到同學(xué)間的溝通、互補(bǔ)、共同提高的目的。實(shí)際效果：課堂學(xué)習(xí)氣氛濃厚，大多數(shù)同學(xué)會(huì)象B同學(xué)和C同學(xué)那樣運(yùn)用合情推理的方式論證，對(duì)于D同學(xué)的問(wèn)題，個(gè)別學(xué)生在回答已知時(shí)，只

7、寫(xiě)了已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，未注明里面已隱含的一組相等的鄰邊，導(dǎo)致證明時(shí)，遇到了困難。另外對(duì)于E同學(xué)的問(wèn)題，學(xué)生們回答的思路也是多角度的，有想到利用等腰三角形三線合一的，也有利用三角形全等的。在多種思路中老師引導(dǎo)同學(xué)做了優(yōu)化選擇，并且利用課件作了展示，加深了印象。（三）歸納應(yīng)用1、菱形的性質(zhì)：（1）菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)ADCBE（1）菱形的四條邊都相等。（2）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角師：接下來(lái)我們來(lái)看一個(gè)例題以熟悉鞏固菱形的性質(zhì)。2、利用性質(zhì)解決問(wèn)題例2 如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì)角線BD長(zhǎng)10cm.通過(guò)以上已知條件你能獲得哪些

8、結(jié)論？若將菱形ABCD的邊長(zhǎng)改為10cm.你又能獲得那些結(jié)論？并說(shuō)明你的理由。設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置開(kāi)放性題目是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維的有效方式之一，同時(shí)也有利于學(xué)生積極地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)。本環(huán)節(jié)將教材的例題加以改編，以開(kāi)放題的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生從多角度思考問(wèn)題，既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，又能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)置滲透了從一般到特殊的思維方法。實(shí)際效果：由于問(wèn)題開(kāi)放性較大，不同層次的學(xué)生都能根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)，提出不同的問(wèn)題。所以學(xué)生情緒高漲，討論熱烈，思維完全放開(kāi)，有見(jiàn)地的結(jié)論不斷涌現(xiàn)。課堂上利用課件展示了對(duì)角線AC及菱形面積的求解過(guò)程，使學(xué)生進(jìn)一步感受了數(shù)學(xué)幾何語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性。師：同學(xué)們?cè)賮?lái)

9、看例題的圖形，你還會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？ 3、方法總結(jié)：學(xué)生F：菱形的每一條對(duì)角線可以把菱形分成兩個(gè)全等的三角形，菱形的兩條對(duì)角線可以把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，因此關(guān)于菱形問(wèn)題往往可以轉(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形的問(wèn)題來(lái)解決。學(xué)生G：如果菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為a、b則菱形面積為abCFBEAD設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生的智力差異，每道例題學(xué)完后，總有部分學(xué)生對(duì)例題所講的思想方法、解題思路掌握得不牢靠，在例題教學(xué)后回顧和總結(jié)解題思路則顯得十分必要。在反思中，學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、再理解、再提高，既培養(yǎng)了學(xué)生歸納、概括的能力，又訓(xùn)練了學(xué)生思維的深刻性。4、試一試：（1）已知：菱形ABCD中，E、F分別是CB

10、、CD上的點(diǎn)且BE=DF。 求證：(1)ABEADF （2）連接AC你能確定AC與EF的關(guān)系嗎？ （）已知菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6、8，則周長(zhǎng)為20 面積為24 設(shè)計(jì)意圖：華羅庚說(shuō)過(guò)：學(xué)數(shù)學(xué)而不練，猶如入寶山而空返，該練習(xí)將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，深化對(duì)菱形性質(zhì)的理解，提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換能力與探索能力。5、想一想：請(qǐng)同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備的正方形，觀察它與我們剛學(xué)習(xí)的菱形有什么不同？正方形是怎樣定義的？正方形具有哪些性質(zhì)？你能證明他們嗎？設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷了矩形、菱形性質(zhì)的探索、論證過(guò)程，不難想到：從正方形的定義出發(fā)探討正方形所具有的性質(zhì)，這既是對(duì)矩形、菱形性質(zhì)本身及探索方法的鞏固，又把證明作為了探索活

11、動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，更有利于學(xué)生對(duì)證明的全面理解。實(shí)際效果：雖然學(xué)生對(duì)于正方形的書(shū)面定義有所淡忘，但大多數(shù)學(xué)生都知道正方形是特殊的矩形和菱形，應(yīng)該具有矩形和菱形具有的一切性質(zhì)。對(duì)于正方形性質(zhì)的證明，課堂上學(xué)生們采用的是合情推理的方法，只要條理清楚，言之有據(jù)，老師均給予了肯定和鼓勵(lì)，另外在學(xué)生敘述的基礎(chǔ)上，老師利用課件進(jìn)行了總結(jié)，加深印象。師：同學(xué)們歸納、論述的很好，但不知在具體的問(wèn)題情景中大家是否會(huì)用，不妨試一試！ADBCEF6、例3如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=AC，連結(jié)AE，交CD于F，你能求出AFC的度數(shù)嗎？解：正方形ABCDBAD=90° DAC=

12、 BAD= ×90°=45° D=90°， ADBCADBC DAE=ECE=ACCAE=EDAE=CAE= ×45°=22.5°AFC=DAE+D=22.5°+90°=112.5°練一練：若AC=4，則正方形邊長(zhǎng) ;正方形面積 8設(shè)計(jì)意圖:既是對(duì)正方形的性質(zhì)的落實(shí)，又進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的推理能力，根據(jù)學(xué)生的回答，利用課件加以演示，引導(dǎo)學(xué)生使用規(guī)范性的幾何語(yǔ)言清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到言之有理，落筆有據(jù)。對(duì)于正方形面積的求法可以借助于勾股定理，也可以用對(duì)角線之積的一半來(lái)完成，對(duì)于想到后

13、者的同學(xué)要肯定其思維的靈活性。實(shí)際效果:課堂上學(xué)生們探索了各種不同的解題思路,通過(guò)交流比較能作優(yōu)化選擇。（四）探究新知內(nèi)容：?jiǎn)栴}引入：請(qǐng)大家將課前準(zhǔn)備的菱形拿出，以小組為單位用自己手中的工具：直尺、三角板或圓規(guī)迅速檢查一下你們小組成員所做的四邊形是不是菱形，你是怎樣檢查的？你為什么要這樣做？用你的檢查方法判斷你們小組有幾個(gè)人做得不標(biāo)準(zhǔn)？你還記得怎樣判別一個(gè)平行四邊形是菱形嗎?那么滿足什么條件的四邊形是菱形?你能證明嗎？設(shè)計(jì)意圖：每一個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷了制作菱形的過(guò)程，做前學(xué)生就必然要考慮怎樣做，并且他會(huì)以自己做的標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)同伴所做的圖形，達(dá)到了同學(xué)間知識(shí)的交流與互補(bǔ)。另外培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維習(xí)慣，通過(guò)

14、直覺(jué)感知的知識(shí)，還須得到理論的證明，形成辨證唯物主義的思維方式。實(shí)際效果：因?yàn)樗霉ぞ呒霸跍y(cè)量過(guò)程中出現(xiàn)的誤差，小組成員間有了爭(zhēng)議。被測(cè)者想了各種方法去說(shuō)服測(cè)量者，達(dá)到了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性的目的。另外經(jīng)歷了平行四邊形、矩形的學(xué)習(xí)，個(gè)別學(xué)生想到判定定理與性質(zhì)定理是互為逆命題，由菱形的性質(zhì)定理想到菱形可能具有的判別方法。歸納要點(diǎn)：菱形的判別方法：1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。3、四條邊都相等的四邊形是菱形。說(shuō)明：利用課件將學(xué)生能想到的判別方法作了總結(jié)，除定義外，其他的判別方法要求學(xué)生：選擇其中一個(gè)畫(huà)圖，寫(xiě)已知、求證，并思考證明過(guò)程，老師

15、巡視指導(dǎo)，然后小組間交流，中心發(fā)言人回答，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生反思本題是否還有其他解法，比較哪種解法較為簡(jiǎn)捷，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性。ABDCO學(xué)生H：已知: ABCD中,對(duì)角線AC BD于O點(diǎn)。 求證: ABCD是菱形證明： ABCD AO=CO 又AC BD AB=BC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等） 又 ABCD ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）BCAD學(xué)生I：已知: 在四邊形 ABCD中,AB=BC=CD=AD 求證: 四邊形 ABCD是菱形 證明：AB=CD，BC=AD ABCD是平行四邊形 又AB=BC 四邊形 ABCD是菱形ABCPQ

16、MABCD實(shí)際效果：個(gè)別學(xué)生在書(shū)寫(xiě)已知、求證時(shí)存在困難，有將條件、結(jié)論混淆的，有語(yǔ)言敘述羅嗦、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。同樣，在證明的論述過(guò)程中也有學(xué)生出現(xiàn)了語(yǔ)言羅嗦、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r。為此，老師不要急于求成，多找?guī)讉€(gè)同學(xué)補(bǔ)充，使學(xué)生參與到使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生清晰而有條理地表達(dá)自己的觀點(diǎn)并理解他人思維的能力。（五）應(yīng)用1、求證：有一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形2、已知兩條對(duì)角線，怎樣用尺規(guī)作一個(gè)菱形3、拓展延伸：已知ABC中ABAC，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)做AC，AB的平行線交AC于P，交AB于點(diǎn)Q。則M位于BC什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形，并說(shuō)明理由。設(shè)計(jì)意圖：旨在

17、體現(xiàn)因材施教、分層教學(xué)的原則，讓不同層次的學(xué)生都能得到提高，學(xué)生完成各自任務(wù)后，小組間先交流，講解，后集體訂正。練習(xí)1是菱形判定方法探究的繼續(xù)，對(duì)于練習(xí)2，其做法需要作一些分析轉(zhuǎn)換，在操作過(guò)程中讓學(xué)生體驗(yàn)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。練習(xí)3是分析法、綜合法的綜合運(yùn)用，目的是：培養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。4、想一想：師：你手中的正方形是怎樣制作的？除了利用定義我們可以判斷正方形外，你還有哪些方法？你能證明它們嗎？說(shuō)明：小組內(nèi)交流，教師關(guān)注各小組中每個(gè)學(xué)生參與的積極性及小組內(nèi)的合作交流情況，對(duì)于正方形的判別，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于合情推理的論述方式，教師要重視學(xué)生語(yǔ)言表述的條理性及嚴(yán)謹(jǐn)性。另外

18、教師利用課件及時(shí)總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)以致用。（六）感悟與收獲：師：通過(guò)本節(jié)課你學(xué)習(xí)到了哪些知識(shí)？對(duì)你有什么幫助？（師可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行提示：整節(jié)課的感悟；探索總結(jié)的規(guī)律；某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的困惑；你的新發(fā)現(xiàn)；學(xué)到的數(shù)學(xué)思想方法。）設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生暢所欲言，在民主的氛圍中培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思探究過(guò)程，幫助學(xué)生肯定自我、欣賞他人。（七）布置作業(yè)必做題：書(shū)P96第6、7題；選做題：P90第3題，P94第2題。五、教學(xué)反思1、在教學(xué)中，著重采用了“回顧-引導(dǎo)-類比-探索”的教學(xué)方法，配合小組合作，教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索新穎獨(dú)特的證明思路和證明方法；提倡證明方法的多樣性，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中比較證明方法的