用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

1、文峪鄉(xiāng)第一初級(jí)中學(xué)文峪鄉(xiāng)第一初級(jí)中學(xué) 李衛(wèi)國(guó)李衛(wèi)國(guó)w 我們知道我們知道: :代數(shù)式代數(shù)式b b2 2-4ac-4ac對(duì)于方程的根起著關(guān)鍵的作用對(duì)于方程的根起著關(guān)鍵的作用. .2422, 1aacbbx有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程時(shí)當(dāng)00,0422acbxaxacb:00,0422有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程時(shí)當(dāng)acbxaxacb.22, 1abx沒有實(shí)數(shù)根方程時(shí)當(dāng)00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即來(lái)表示用根的判別式的叫做方程我們把代數(shù)式一元二次方程根的情況與一元二次方程根的情況與b b-4ac-4ac的關(guān)系的關(guān)系問題問題 如圖，以如圖，以40m/s40m/s的速

2、度將小球沿與地面成的速度將小球沿與地面成30300 0角的方向擊出角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，球時(shí)，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，球的飛行的飛行h h（單位：（單位：m m）與飛行時(shí)間）與飛行時(shí)間t t（單位：（單位：s s）之間具有關(guān)系：）之間具有關(guān)系：h=20t-5th=20t-5t2 2，考慮以下問題：，考慮以下問題：（1 1）球的飛行高度能否達(dá)到）球的飛行高度能否達(dá)到15m15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？如果能，需要多少飛行時(shí)間？ （2 2）球的飛行高度能否達(dá)到）球的飛行高度能否達(dá)到20m20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？如果

3、能，需要多少飛行時(shí)間？（3 3）球的飛行高度能否達(dá)到）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m20.5m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？如果能，需要多少飛行時(shí)間？xy1520（m）（t）01324205（2，20）解：解：（1 1）解方程解方程 15=20t-5t t-4t+3=0 t =1， t =3.當(dāng)球飛行當(dāng)球飛行1s和和2s時(shí)，時(shí)，它的高度為它的高度為15m。12ht （2）解方程解方程 20=20t-5t t-4t+4=0 t = t =2. 當(dāng)球飛行當(dāng)球飛行2s時(shí)，時(shí)，它的高度為它的高度為20m。122（4）解方程）解方程 0=20t-5t t-4t=0 t =0， t =4.當(dāng)球飛行當(dāng)球飛行0

4、s和和4s時(shí)，時(shí)，它的高度為它的高度為0m，即，即0s飛飛出，出，4s時(shí)落回地面。時(shí)落回地面。（3）解方程）解方程 20.5=20t-5t t-4t+4.1=0 （-4）-4*4.10， 方程無(wú)實(shí)數(shù)根方程無(wú)實(shí)數(shù)根1例如例如, ,已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=-Xy=-X2 2+4x+4x的值為的值為3,3,求自變求自變量量x x的值的值. .就是求方程就是求方程3=-X3=-X2 2+4x+4x的解的解, ,例如例如, ,解方程解方程X X2 2-4x+3=0-4x+3=0就是已知二次函數(shù)就是已知二次函數(shù)y=Xy=X2 2-4x+3-4x+3的值為的值為0,0,求自變量求自變量x x的值的值.

5、.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的兩個(gè)根為的兩個(gè)根為x x1 1,x,x2 2 , ,則則拋物線拋物線 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與x x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(x(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0),0)觀察觀察: :下列二次函數(shù)的圖下列二次函數(shù)的圖象與象與x x軸有公共點(diǎn)嗎軸有公共點(diǎn)嗎? ?如如果有果有, ,公共點(diǎn)橫坐標(biāo)是多公共點(diǎn)橫坐標(biāo)是多少少? ?當(dāng)當(dāng)x x取公共點(diǎn)的橫坐取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)標(biāo)時(shí), ,函數(shù)的值是多少函數(shù)的值是多少? ?由此由此, ,你得出相應(yīng)的一你得出相應(yīng)的一元二次方程的解嗎元二次方程的解嗎? ?(1)y

6、=x(1)y=x2 2+x-2+x-2(2)y=x(2)y=x2 2-6x+9-6x+9(3)y=x(3)y=x2 2-x+1-x+1w二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點(diǎn)的軸交點(diǎn)的橫坐橫坐標(biāo)標(biāo)與一元二次方程與一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的的根根有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?y=x-6x+9Y=x+x-2Y=x-x+1xy（1 1）設(shè)）設(shè)y=0y=0得得x x2 2+x-2=0+x-2=0 x x1 1=1=1，x x2 2=-2=-2拋物線拋物線y=xy=x2 2+x-2+x-2與與x x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，

7、公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是1 1和和-2-2，當(dāng)，當(dāng)x x取取公共的的橫坐標(biāo)的值時(shí)，函數(shù)的值為公共的的橫坐標(biāo)的值時(shí)，函數(shù)的值為0.0.（2 2）設(shè)）設(shè)y=0y=0得得x x2 2-6x+9=0-6x+9=0 x x1 1=x=x2 2=3=3拋物線拋物線y=xy=x2 2-6x+9-6x+9與與x x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，軸有一個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3 3當(dāng)當(dāng)x x取公共點(diǎn)的橫坐取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值時(shí)，函數(shù)的值為標(biāo)的值時(shí)，函數(shù)的值為0.0.（3 3）設(shè)）設(shè)y=0y=0得得x x2 2-x+1=0-x+1=0bb2 2-4ac=-4ac=（-1-1）2 2-4-4*

8、*1 1* *1=-31=-30 0方程方程x x2 2-x+1=0-x+1=0沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根拋物線拋物線y=xy=x2 2-x+1-x+1與與x x軸沒有公共點(diǎn)軸沒有公共點(diǎn)Y=x+x-2Y=x-x+1y=x-6x+9xy（-2、0）（1、0）判別式：判別式：b b2 2-4ac-4ac二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）圖象圖象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根）的根x xy yO O與與x x軸有兩個(gè)不軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)同的交點(diǎn)（x x1 1，0 0）（x x2 2，0 0）有兩個(gè)不同的有兩個(gè)不同的解解

9、x=xx=x1 1，x=xx=x2 2b b2 2-4ac-4ac0 0 x xy yO O與與x x軸有唯一個(gè)軸有唯一個(gè)交點(diǎn)交點(diǎn))0 ,2(ab有兩個(gè)相等的有兩個(gè)相等的解解x1=x2=ab2b b2 2-4ac=0-4ac=0 xyO與與x x軸沒有軸沒有交點(diǎn)交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根b b2 2-4ac-4ac0 0方法方法: (1): (1)先作出圖象先作出圖象; ; (2) (2)寫出交點(diǎn)的坐標(biāo)寫出交點(diǎn)的坐標(biāo); ;（-1.3-1.3、0 0）、（）、（2.32.3、0 0） (3)(3)得出方程的解得出方程的解. . x =-1.3 x =-1.3，x =2.3x =2.3。利用二次函數(shù)

10、的圖象求方程利用二次函數(shù)的圖象求方程x x2 2-x-3=0-x-3=0的實(shí)的實(shí)數(shù)根（精確到數(shù)根（精確到0.10.1）. . xy121用你學(xué)過的一元二次方程的解法來(lái)解，用你學(xué)過的一元二次方程的解法來(lái)解，準(zhǔn)確答案是什么？準(zhǔn)確答案是什么？)43,21(第四象限第三象限第二象限第一象限的頂點(diǎn)在拋物線則沒有實(shí)數(shù)根的一元二次方程關(guān)于頂點(diǎn)坐標(biāo)為則其頂點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)拋物線個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有與拋物線.).(,0) 3(._,33)2(321 .0 .).(32) 1 (22222DCBAnxynxxmxmyBAxxyxxmxxCA(4)(4)已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=ax+bx+cy=ax+bx+c的圖象

11、如圖所示的圖象如圖所示, ,則則一元二次方程一元二次方程ax+bx+cax+bx+c=0=0的解是的解是 . .XY0522(5)(5)若拋物線若拋物線y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,當(dāng)當(dāng) a0,c0,c0時(shí)時(shí), ,圖圖象與象與x x軸交點(diǎn)情況是軸交點(diǎn)情況是( )( )A A 無(wú)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn) B B 只有一個(gè)交點(diǎn)只有一個(gè)交點(diǎn) C C 有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn) D D不能確定不能確定CX1=0，x2=5(6)(6)如果關(guān)于如果關(guān)于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有兩個(gè)相有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根等的實(shí)數(shù)根, ,則則m=m=, ,此時(shí)拋物線此時(shí)拋物線 y

12、=xy=x2 2-2x+m-2x+m與與x x軸有個(gè)交點(diǎn)軸有個(gè)交點(diǎn). .(7)(7)已知拋物線已知拋物線 y=xy=x2 2 8x +c 8x +c的頂點(diǎn)在的頂點(diǎn)在 x x軸軸上上, ,則則c=c=. .1116 (8) (8)一元二次方程一元二次方程 3 x3 x2 2+x-10=0+x-10=0的兩個(gè)根的兩個(gè)根是是x x1 1= -2 ,x= -2 ,x2 2=5/3, =5/3, 那么二次函數(shù)那么二次函數(shù)y= 3 y= 3 x x2 2+x-10+x-10與與x x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是. .（-2、0）（）（5/3、0）（9 9）根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值）根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值: :

13、判斷方程判斷方程axax2 2+bx+c=0 (a0,a,b,c+bx+c=0 (a0,a,b,c為常數(shù)為常數(shù)) )一個(gè)解一個(gè)解x x的范圍是的范圍是( )( )A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24C 3.24 X 3.25 D 3.25 X 3.26C 3.24 X 3.25 D 3.25 X0,yy=0,y0,y0?0?（4 4）在）在x x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P P，使，使S SABPABP是是S SABCABC的一半，若存在，求出的一半，若存在，求出P P點(diǎn)的坐點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由標(biāo)，若不存