線性矩陣不等式的使用

1、LMI：Linear Matrix Inequality ，就是線性矩陣不等式。在 Matlab 當(dāng)中，我們可以采用圖形界面的 lmiedit 命令，來(lái)調(diào)用 GUI 接口， 但是我認(rèn)為采用程序的方式更方便(也因?yàn)槲也欢@個(gè) lmiedit 的 GUI)。對(duì)于 LMI Lab ， 其中有三種求解器( solver )： feasp ， mincx 和 gevp。每個(gè)求解器針對(duì)不同的問(wèn)題：feasp ：解決可行性問(wèn)題( feasibility problem )，例如： A(x)<B(x) 。mincx ：在線性矩陣不等式的限制下解決最小化問(wèn)題( Minimization of a line

2、ar objective under LMI constraints )，例如最小化 c'x ，在限制條件 A(x) < B(x) 下。gevp ：解決廣義特征值最小化問(wèn)題。例如：最小化lambda ，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x) 限制條件下。要解決一個(gè) LMI 問(wèn)題，首要的就是要把線性矩陣不等式表示出來(lái)。對(duì)于以下類(lèi)型的任意的 LMI 問(wèn)題N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中 X1, . . . , XK 是結(jié)構(gòu)已經(jīng)事先確定的矩陣變量。左側(cè)和右側(cè)的外部

3、因子 ( outer factors ) N 和 M 是給定的具有相同維數(shù)的矩陣。左側(cè)和右側(cè)的內(nèi)部因子(inner factors ) L(.)和R(.)是具有相同結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)塊 矩陣。每一個(gè)塊由 X1, . . . , XK 以及它們的轉(zhuǎn)置組合而成形成的。解決 LMI 問(wèn)題的步驟有兩個(gè)：1、定義維數(shù)以及每一個(gè)矩陣的結(jié)構(gòu)，也就是定義X1, . . . , XK。2、描述每一個(gè) LMI 的每一項(xiàng)內(nèi)容( Describe the term content of each LMI )此處介紹兩個(gè)術(shù)語(yǔ)：矩陣變量( Matrix Variables )：例如你要求解 X 滿足 A(x)<B(x) ，

4、那么 X 就 叫做矩陣變量。項(xiàng)( Terms )：項(xiàng)是常量或者變量 ( Terms are either constant or variable )。常項(xiàng)( Constant Terms )是確定的矩陣?？勺冺?xiàng)( Variable Terms) 是哪些 含有矩陣變量的項(xiàng)，例如： X*A, X*C' 。如果是 X*A + X*C' ，那么記得要把它當(dāng) 成兩項(xiàng)來(lái)處理。好了廢話不說(shuō)了，讓我們來(lái)看個(gè)例子吧(下面是一線性時(shí)滯系統(tǒng))。500)this.width=500;" border=0>針對(duì)這個(gè)式子， 如果存在滿足如下 LMI 的正矩陣 (positive-defi

5、ne) 的 Q， S1 ， S2和矩陣M，那么我們就稱(chēng)作該系統(tǒng)為 H-inf 漸進(jìn)穩(wěn)定的，并且 gammar 是上限。500)this.width=500;" border=0>該論文的地址為：論文原文地址該論文的算例為：500)this.width=500;" border=0我們要實(shí)現(xiàn)的就利用LMI進(jìn)行求解，驗(yàn)證論文結(jié)果首先我們要用setlmis()命令初始化一個(gè)LMI系統(tǒng)接下來(lái)，我們就要設(shè)定矩陣變量了。采用函數(shù)為Imivar語(yǔ)法： X = lmivar(type,struct)type=1:定義塊對(duì)角的對(duì)稱(chēng)矩陣。每一個(gè)對(duì)角塊或者是全矩陣 任意對(duì)稱(chēng)矩陣，標(biāo)量 單位

6、矩陣的乘積 ，或者是零陣。如果X有R個(gè)對(duì)角塊，那么后面這個(gè)struct就應(yīng)該是一個(gè)Rx2階的的矩陣， 在此矩陣中，struct(r,1)表示第r個(gè)塊的大小，struct(r,2)表示第r個(gè)塊的類(lèi)型1- 全矩陣，0-標(biāo)量，-1-零陣)。比如一個(gè)矩陣有兩個(gè)對(duì)角塊，其中一個(gè)是2x2的全對(duì)稱(chēng)矩陣，第二個(gè)是1x1 的一個(gè)標(biāo)量，那么該矩陣變量應(yīng)該表示為 X = lmivar(1, 2 1; 1 0)。type=2: mxn階的矩陣，只需要寫(xiě)作 struct = m,n即可。type=3:其它類(lèi)型。針對(duì)類(lèi)型3，X的每一個(gè)條目(each entry of X )被定義 為0或者是+(-)xn，此處xn代表了第

7、n個(gè)決策變量。那么針對(duì)我們的例子，我們?nèi)绱硕x變量：% Q is a symmetric matrix, has a block size of 2 and this block is symmetricQ = lmivar(1, 2 1);% S1 a symmeric matrix, size 251 = lmivar(1, 2 1);% S2 is 1 by 1 matrix52 = lmivar(1, 1 0);% Type of 2, size 1 by 2M = lmivar(2, 1 2);定義完成變量之后，我們就該用lmiterm來(lái)描述LMI中的每一個(gè)項(xiàng)了。Matlab 的官方

8、文檔提示我們，如果要描述一個(gè)LMI只需要描述上三角或者下三角元素就可以了，否則會(huì)描述成另一個(gè)LMI。When describing an LMI with several blocks, remember to specify only the terms in the blocks on or below the diagonal (or equivalently, only the terms in blocks on or above the diagonal).語(yǔ)法為： lmiterm(termID,A,B,flag)termID 是一個(gè)四維整數(shù)向量，來(lái)表示該項(xiàng)的位置和包含了哪些矩陣變

9、量。termlD(1)可以為+p或者-p, +p代表了這個(gè)項(xiàng)位于第p個(gè)線性矩陣不等式的 左邊，-p代表了這個(gè)項(xiàng)位于第p個(gè)線性矩陣不等式的右邊。注意：按照慣例來(lái) 講，左邊通常指較小的那邊。termlD(2:3):1 、對(duì)于外部變量來(lái)說(shuō)，取值為 0,0;2、對(duì)于左邊或者右邊的內(nèi)部變量來(lái)說(shuō)，如果該項(xiàng)在(i,j)位置，取值i,jtermlD(4):1 、對(duì)于外部變量，取值為 02、對(duì)于 A*X*B ，取值 X3、對(duì)于A*X'*B，取值-Xflag(可選，值為s):因?yàn)椋?A*X*B) + (A*X*B)T = A*X*B + B'*X'*A'，所以采用 s 來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)寫(xiě)。

10、比如：針對(duì) A*X + X'*A'我們采用笨方法：lmiterm(1 1 1 X,A,1)lmiterm(1 1 1 -X,1,A')那么簡(jiǎn)寫(xiě)就是 lmiterm(1 1 1 X,A,1,'s')接下來(lái)我們就看該論文中的算例吧： (1,1)位置是-Q+Bd*S2*Bd'+Ad*S1*Ad'我們應(yīng)該表示為：% pos in (1, 1)lmiterm(1 1 1 Q, -1, 1);lmiterm(1 1 1 S2, Bd, Bd');lmiterm(1 1 1 S1, Ad, Ad');其它位置仿照寫(xiě)就行了，不懂了多看幫助

11、文檔。 把每一個(gè)項(xiàng)都定義以后，要記得lmis = getlmis;tmin, feas = feasp(lmis)getlmis: 是在完成定義變量和項(xiàng)之后， LMI 系統(tǒng)的內(nèi)部表示就可以通過(guò)此命 令獲得( After completing the description of a given LMI system with lmivar and lmiterm, its internal representation lmisys is obtained with the command)。feasp 是調(diào)用 feasp 求解器，看有沒(méi)有可行解。 feas 就是可行解。 下面我把代碼貼上去，

12、那些常數(shù)矩陣都在此源程序中定義了。A = 2 1; 0 1;Ad = 0.2 0.1; 0 0.1;B1 = 0.1 0.1'B2 = 1 1'Bd = 0.1 0.1'C = 1, 1;Cd = 0.1, 0.1;D11 = 0.1;D12 = 1;Dd = 0.1;gammar = 1;% Initial a LMI systemsetlmis();% Define Variables% Q is a symmetric matrix, has a block size of 2 and this block is symmetricQ = lmivar(1, 2

13、1);% S1 a symmeric matrix, size 2S1 = lmivar(1, 2 1);% S2 is 1 by 1 matrixS2 = lmivar(1, 1 0);% Type of 2, size 1 by 2M = lmivar(2, 1 2);% Q, S1, S2 > 0lmiterm(-2 1 1 Q, 1, 1);lmiterm(-3 1 1 S1, 1, 1);lmiterm(-4 1 1 S2, 1, 1);% pos in (1, 1)lmiterm(1 1 1 Q, -1, 1);lmiterm(1 1 1 S2, Bd, Bd');

14、lmiterm(1 1 1 S1, Ad, Ad');% pos (1, 2)lmiterm(1 1 2 Q, A, 1); lmiterm(1 1 2 M, B2, 1);% pos(1, 3)lmiterm(1 1 3 0, B1);% pos(1, 4)lmiterm(1 1 4 S2, Bd, Dd'); lmiterm(1 1 4 S1, Ad, Cd');% pos(2, 2)lmiterm(1 2 2 Q, -1, 1);% pos(2, 4)lmiterm(1 2 4 Q, 1, C'); lmiterm(1 2 4 -M, 1, D12');% pos(2, 5)lmiterm(1 2 5 -M, 1, 1);% pos(2, 6) lmiterm(1 2 6 Q, 1, 1);% pos(3, 3)Imiterm(1 3 3 0, -(gammarA2);% pos(3, 4)Imiterm(1 3 4 0, D11');% pos(4, 4)Imiterm(1 4 4 0, -1);Imiterm(1 4 4 S1, C