管理定量分析-規(guī)劃分析

1、規(guī)劃分析第8章第8章 規(guī) 劃 分 析通過本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)理解線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用，掌握線性規(guī)劃的求解方法圖解法及單純形法；通過實(shí)例分析掌握目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)及其簡(jiǎn)單求解方法圖解法，理解目標(biāo)規(guī)劃與線性規(guī)劃問題的關(guān)系。(1) 理解線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型及基本概念：基、基變量、非基變量、可行解、可行域、最優(yōu)解、三大基本定理及其含義。(2) 掌握線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式三大部分：目標(biāo)函數(shù)、約束條件和決策變量。(3) 理解線性規(guī)劃的解法圖解法。(4) 掌握線性規(guī)劃的解法單純形法。(5) 掌握目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。(6) 理解目標(biāo)規(guī)劃的解法圖解法。本章導(dǎo)讀線性規(guī)劃(Line Programming)是運(yùn)籌

2、學(xué)的一個(gè)重要分支。線性規(guī)劃問題是理論較為完整、應(yīng)用極其廣泛的一門數(shù)學(xué)規(guī)劃學(xué)科。1939年，前蘇聯(lián)科學(xué)家兼經(jīng)濟(jì)學(xué)家康托洛維奇發(fā)表了生產(chǎn)組織與計(jì)劃中的數(shù)學(xué)方法一書，第一次詳細(xì)地介紹了線性規(guī)劃問題。1947年，美國貝爾電話公司工程師G.B.Dantzig提出了單純形法，線性規(guī)劃在理論上趨于成熟，在實(shí)際應(yīng)用中日益廣泛與深入。G.B.Dantzig對(duì)線性規(guī)劃理論的提煉和算法改進(jìn)做出了卓越的貢獻(xiàn)。 線性規(guī)劃繼單純形法提出經(jīng)歷了幾十年的發(fā)展，其應(yīng)用日趨增多，已滲透到經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域，特別是電子計(jì)算機(jī)能處理成千上萬個(gè)約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更為廣泛，從解決技術(shù)問題的最優(yōu)設(shè)計(jì)到

3、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運(yùn)輸、軍事、經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理決策等領(lǐng)域也發(fā)揮著各自的作用。線性規(guī)劃成為重要的現(xiàn)代管理方法之一。1961年，查恩斯(A.Charnes)與庫伯(W.W.Cooper)繼丹捷格之后提出了目標(biāo)規(guī)劃。艾吉利(Y.Ijiri)提出了用優(yōu)先因子來處理多目標(biāo)問題，使目標(biāo)規(guī)劃得到發(fā)展。近10多年來，斯·姆·李(S.M.Lee)與杰斯開萊尼(V.Jaaskelainen)應(yīng)用計(jì)算機(jī)處理目標(biāo)規(guī)劃問題，使目標(biāo)規(guī)劃在實(shí)際應(yīng)用方面比線性規(guī)劃更廣泛，更為管理者所重視。目標(biāo)規(guī)劃在這里指的是線性目標(biāo)規(guī)劃，其一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)就是非常靈活，適用于許多方面，既適用于一個(gè)大目標(biāo)附帶有許多從屬目標(biāo)

4、的問題，也適用于許多目標(biāo)并附有許多從屬目標(biāo)的問題，而且目標(biāo)的計(jì)量單位不像線性規(guī)劃那樣只是單一的，而是可以多種多樣的。8.1 線 性 規(guī) 劃8.1.1 線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃所解決的問題主要分為兩類：一類是在人力、物力資源一定的情況下，如何規(guī)劃利用這些現(xiàn)有的資源來完成最多的任務(wù)；另一類是在任務(wù)確定的情況下，如何統(tǒng)籌規(guī)劃，如何利用最小的人力、物力資源來完成這個(gè)確定的任務(wù)。一般來說，用線性規(guī)劃解決一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，首先根據(jù)待要解決的線性規(guī)劃問題，分析問題所要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)及所存在的約束條件，建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型；其次對(duì)該模型利用計(jì)算機(jī)求解；再次檢驗(yàn)解的合理性；最后付諸于實(shí)踐。下面將通過幾個(gè)實(shí)例

5、來說明線性規(guī)劃問題建模的思路及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，最后引出線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)模型?！纠?-1】 某工廠計(jì)劃生產(chǎn)和兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的兩種原材料見表8-1。表8-1 生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的兩種原材料產(chǎn) 品現(xiàn)有原材料數(shù)量(kg)原材料原材料A原材料B423112050又已知每生產(chǎn)單位產(chǎn)品和分別可獲利50元和30元，問應(yīng)如何安排生產(chǎn)該工廠才能獲得最大利潤？分析：(1) 確定未知變量，設(shè)分別表示產(chǎn)品和的產(chǎn)量。(2) 該工廠的目標(biāo)是使總利潤最大，若用z表示利潤，則，總利潤最大記成。(3) 各種原材料數(shù)量是有限的，由原材料的限量可得到以下不等式：綜上所述，可得該問題的數(shù)學(xué)模型：【例8-2】 某企業(yè)生

6、產(chǎn)兩種混合配料A和B，每100kg的成本分別為110元和80元。每種產(chǎn)品含三種營養(yǎng)成分，但它們的含量各不相同。在每100kg混合配料中各種營養(yǎng)成分的含量見表8-2。表8-2 每100kg混合配料中各種營養(yǎng)成分的含量混 合 配 料混合配料A混合配料B營養(yǎng)成分營養(yǎng)成分甲(kg)營養(yǎng)成分乙(kg)營養(yǎng)成分丙(kg)1034239現(xiàn)要獲得各種營養(yǎng)成分的總量為：營養(yǎng)成分甲至少20kg；營養(yǎng)成分乙至少18kg；營養(yǎng)成分丙至少36kg，問滿足這些要求的最低成本為多少？分析：(1) 確定未知變量，設(shè)(100kg)分別表示混合配料A和B的需要量。(2) 該企業(yè)的目標(biāo)是使總成本最小，若用z表示成本，則，總成本最小

7、記成。(3) 各種營養(yǎng)成分?jǐn)?shù)量有最低標(biāo)準(zhǔn)，由各營養(yǎng)成分的限量可得到以下不等式：綜上所述，可得該問題的數(shù)學(xué)模型：一般來說，線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型的一般形式為：凡能表示為以上形式的問題統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題具有以下特征。(1) 線性規(guī)劃問題的目標(biāo)能表示為最大化或最小化的問題。例如，求最小成本或人力、投資等，最大化利用材料儲(chǔ)備，實(shí)現(xiàn)企業(yè)的最大利潤等問題。(2) 問題的解可以用一組變量來表示，而且解的個(gè)數(shù)不只一個(gè)，即必須要有選擇的可能性。(3) 要達(dá)到的目標(biāo)是有限制條件的。(4) 問題的目標(biāo)和限制條件都能表示為線性表達(dá)式。8.1.2 線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為了討論問題方便，規(guī)定線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式

8、為：實(shí)際中碰到各種線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型都應(yīng)變化為標(biāo)準(zhǔn)形式后求解。將非標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃化為標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃時(shí)可能出現(xiàn)以下幾種可能情況，處理的方法有以下幾種。1. 決策變量(1) 決策變量有非正約束，即，令，于是新變量。(2) 決策變量有上下界，即，可將上下界分別處理。令，則新變量且。這時(shí)滿足了非負(fù)要求，上限約束作為新的約束條件按照相應(yīng)方法轉(zhuǎn)化為等式。(3) 決策變量符號(hào)不受限制，即可以為一切實(shí)數(shù)。令，其中，。2. 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)為最小化，即。令，則得到。3. 約束條件(1) 約束條件為小于或等于形式，即存在約束，這時(shí)在不等式左端加上一個(gè)非負(fù)的新變量即可化為等式，即，新增變量為松弛變量。(2)

9、 約束條件為大于或等于形式，即存在約束，這時(shí)在不等式左端減去一個(gè)非負(fù)的新變量即可化為等式，即，新增變量為松弛變量。(3) 某一等式約束中存在，即存在，令，即在該不等式兩邊同乘以-1變?yōu)椋骸！纠?-3】 將下述線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式。解：(1) 首先分析決策變量，令，其中，。(2) 在第一不等式兩邊乘以-1得：。在第二不等式左邊加上松馳變量，化為等式：，其中。在第三個(gè)不等式左邊減去松馳變量，化為等式：，其中。(3) 在目標(biāo)函數(shù)兩端同乘以-1，同時(shí)令，得該線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為：8.1.3 線性規(guī)劃的圖解法圖解法簡(jiǎn)單直觀，有助于了解線性規(guī)劃問題求解的基本原理?，F(xiàn)用圖解法求解例8-1，即求解線性規(guī)劃

10、：如圖8.1所示：在以為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系中，非負(fù)條件指第一象限；約束條件代表以直線為邊界的左下方的半平面；約束條件代表以直線為邊界的左下方的半平面。同時(shí)滿足例8-1中三個(gè)約束條件的點(diǎn)必然位于圖8.1中多邊形OABC內(nèi)(包括邊界點(diǎn))，因而此區(qū)域?yàn)槔?-1的可行解的集合，稱為可行域。再分析目標(biāo)函數(shù)，它可表示斜率為-5/3的一簇平行線，如圖8.2中就是其中一條線，當(dāng)Z值逐漸增大時(shí)，直線向右上方移動(dòng)，使Z值在可行域OABC的頂點(diǎn)B達(dá)到最大值。B點(diǎn)坐標(biāo)(15，20)即為該線性規(guī)劃的最優(yōu)解，即，可計(jì)算出最優(yōu)值：。圖8.1 例8-1的可行域 圖8.2 例8-1的最優(yōu)解8.1.4 單純形法在介紹單純形法之前

11、，先引入以下幾個(gè)基本概念。(1) 基：設(shè)是約束方程組的系數(shù)矩陣，其秩為m。B是矩陣A中的階非奇異子矩陣()，則稱B是線性規(guī)劃問題的一個(gè)基。設(shè)：(2) 基向量：基B的列向量稱為線性規(guī)劃問題的基向量?；鵅中共有m個(gè)基向量。(3) 基變量：與基向量相對(duì)應(yīng)的變量被稱為基變量，否則稱為非基變量。在單純形法求解線性規(guī)劃基可行解過程中令所有非基變量為零?，F(xiàn)以例8-1為例介紹單純形法，即求解線性規(guī)劃問題：(8-1)該線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為： (8-2)容易看出的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)基：，因此為基變量，為非基變量。基變量可用非基變量表示為： (8-3)將式(8-3)代入目標(biāo)函數(shù)式(8-1)得： (8-4)令非基變量，

12、由式(8-3)可得一個(gè)基本可行解：，目標(biāo)函數(shù)值。分析目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式(8-4)，的系數(shù)都是正數(shù)，因此，非基變量中任意一個(gè)變量取值從零變?yōu)檎?變成基變量)，都可能使目標(biāo)函數(shù)值增大，這就是所謂的基變換。為使目標(biāo)函數(shù)值增加幅度最大，選取系數(shù)最大的非基變量作為入基變量。下面確定出基變量。由于作為入基變量，仍然是基變量，即，代入式(8-3)可得到：即，也就是說，當(dāng)新基變量的值增大時(shí)，原基變量的值最先降為零，因此選為出基變量。上述基變換過程用單純形表表示見表8-3。表8-3 例8-1初始單純形表503000比值004231100112050120/4=3050/2=25503000表中第一行列出了線性規(guī)劃

13、標(biāo)準(zhǔn)形式中所有變量在目標(biāo)函數(shù)中對(duì)應(yīng)的目標(biāo)系數(shù)，第二列為所有基變量，第一列為基變量在目標(biāo)函數(shù)中對(duì)應(yīng)的目標(biāo)系數(shù)，中間部分?jǐn)?shù)據(jù)為各變量在約束條件中對(duì)應(yīng)的約束系數(shù)。最下端一行數(shù)字對(duì)應(yīng)式(8-4)中各變量系數(shù)，又稱為檢驗(yàn)數(shù)，也可通過公式，計(jì)算，可以證明基變量對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)為零。線性規(guī)劃問題取得最優(yōu)解的判定條件為：若所有檢驗(yàn)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的基本可行解為最優(yōu)解。箭頭表示了入基變量及出基變量的選取方法，其中入基變量的選擇方法是：如果存在正的檢驗(yàn)數(shù)，選取最大的正檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)的變量作為入基變量(選取正系數(shù)最大的非基變量作為入基變量，使目標(biāo)函數(shù)值增加幅度最大)，即。出基變量的選擇依據(jù)是選取最小的比值對(duì)應(yīng)的基變量作為出基變量

14、(新基變量的值增大時(shí)，原基變量的值最先降為零)，其中比值。經(jīng)過上述基變換，新的基變量為，非基變量為。根據(jù)式(8-3)得出新的基變量表達(dá)式： (8-5)將式(8-5)代入目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式(8-1)，得： (8-6)令非基變量為零，得到另一個(gè)基本可行解：，目標(biāo)函數(shù)值。從目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式(8-6)可以看出，的系數(shù)仍為正值，說明目標(biāo)函數(shù)值還可能繼續(xù)增大，因此需再次進(jìn)行基變換，方法如前所述。對(duì)應(yīng)單純形表見表8-4。表8-4 例8-1單純形表基變換過程一503000比值0500111/210-21/2202520/1=2025/1/2=50050-25表中數(shù)字變化方法為，表8-3入基變量和出基變量所在行和列交

15、叉處元素為主元(如表中方框中數(shù)字)，對(duì)表格中約束系數(shù)進(jìn)行基本行變換，即將主元變?yōu)?，主元所在列其他元素變?yōu)?，即得表8-4。根據(jù)線性規(guī)劃問題取得最優(yōu)解的判定條件：若所有檢驗(yàn)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的基本可行解為最優(yōu)解。因此表8-4中所得基本可行解不是最優(yōu)解，再次進(jìn)行基變換得單純形表，見表8-5。表8-5 例8-1單純形表基變換過程二503000305001101-1/2-23/2201500-5-151 350這時(shí)滿足線性規(guī)劃最優(yōu)解判定條件，即所有，因此，為原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，最優(yōu)值：。8.2 目 標(biāo) 規(guī) 劃目標(biāo)規(guī)劃(Goal programming)是運(yùn)籌學(xué)中非常重要的一個(gè)分支，最早由美國管

16、理學(xué)家彼特德魯克(Peter F. Drucker)于1954年正式提出，現(xiàn)已由對(duì)管理人員進(jìn)行的目標(biāo)管理發(fā)展成為對(duì)企業(yè)各項(xiàng)任務(wù)的目標(biāo)管理，已成為一種廣泛使用的目標(biāo)管理方法。線性規(guī)劃有一致命的弱點(diǎn)，就是目標(biāo)單一，即尋求某一個(gè)目標(biāo)之最大或最小，這和現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會(huì)的要求很不一致。目標(biāo)規(guī)劃最重要的特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)性，采用多目標(biāo)的統(tǒng)籌安排來替代單目標(biāo)的制定，通過尋求各目標(biāo)與成果之間最小差距來達(dá)到生產(chǎn)過程中的多目標(biāo)成果；用“令人滿意”的概念來替代“最優(yōu)”的傳統(tǒng)概念，這些都與線性規(guī)劃有很大的不同。8.2.1 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型【例8-4】 在例8-1中如果由于某種原因廠長要求：(1) 總利潤不小于1 

17、200元；(2) 充分利用原材料B。試建立該問題的數(shù)學(xué)模型。分析：(1) 確定未知變量，設(shè)仍分別表示產(chǎn)品和的產(chǎn)量。(2) 該工廠的目標(biāo)是使總利潤不小于1 200元，從例8-1的最優(yōu)解可知該工廠可實(shí)現(xiàn)的最大總利潤為1 350元。為此引入正負(fù)偏離變量，其中：高于所定目標(biāo)的數(shù)量低于所定目標(biāo)的數(shù)量則該約束可表示為(3) 充分利用原材料B可表示為。原材料A隱含約束不變，仍為。(4) 確定新的目標(biāo)函數(shù)若決策者想準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)形式為：。、為該目標(biāo)中相應(yīng)的偏離變量。若決策者想不超過某一目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)形式為：。若決策者想不低于某一目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)形式為：。例8-4中第一目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)形式

18、為：。第二目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)形式為：。按照決策者要求，分別賦于這兩個(gè)目標(biāo)優(yōu)先系數(shù)p1和p2，并規(guī)定p1>>p2，表示p1比p2有更大的優(yōu)先權(quán)。該問題的目標(biāo)函數(shù)為：。綜上所述，可得該問題的數(shù)學(xué)模型：8.2.2 目標(biāo)規(guī)劃的圖解法【例8-5】 圖解法求解例8-4，即求解目標(biāo)規(guī)劃：對(duì)只具有兩個(gè)決策變量的目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，可以用圖解法來求解。由于式(4)變量為非負(fù)約束，在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)做各約束條件。約束條件(3)的作圖與線性規(guī)劃問題相同，代表圖8.3中以直線為邊界的左下方半平面；做約束(1)時(shí)，先令，做相應(yīng)的直線，然后在直線旁標(biāo)上，如圖8.3所示，表明該約束條件可以沿所示的方向平移?？?/p>

19、慮具有優(yōu)先因子的目標(biāo)，在目標(biāo)函數(shù)中要求實(shí)現(xiàn)，從圖中可以看出，滿足的區(qū)域位于直線的右上方半平面。同理可以分析約束條件(2)所代表區(qū)域?yàn)橹本€2x1+x2=50上位于第一象限內(nèi)所有的點(diǎn)。約束條件(3)代表區(qū)域?yàn)橹本€4x1+3x2=120的左下方平面。綜合分析上述約束條件，得出該目標(biāo)規(guī)劃問題的解為虛線段AB上所有的點(diǎn)。圖8.3 例8-6 可行域及最優(yōu)解8.3 案例應(yīng)用分析應(yīng)用線性規(guī)劃方法輔助高校經(jīng)濟(jì)決策1【案例說明】在社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，高等學(xué)校在辦好本科和研究生教育的同時(shí)如何發(fā)揮學(xué)科優(yōu)勢(shì)，利用學(xué)?，F(xiàn)有房屋、設(shè)備、場(chǎng)地、科技和人才開展對(duì)外服務(wù)，提高經(jīng)濟(jì)效益已成為高校管理決策中的重要問題。一切生產(chǎn)過

20、程都要發(fā)生活勞動(dòng)和物化勞動(dòng)的消費(fèi)，精神產(chǎn)品和物質(zhì)產(chǎn)品一樣都有一個(gè)成本問題，對(duì)外服務(wù)發(fā)生的支出應(yīng)從對(duì)外服務(wù)收入中獲得補(bǔ)償，如果不注重這部分成本的計(jì)算，就可能會(huì)發(fā)生擠占預(yù)算撥款或發(fā)生純收入不“純”的問題。段海艷. 提升高校財(cái)務(wù)管理水平的途徑D . 西安：西北工業(yè)大學(xué)，2003.因此高校開展對(duì)外服務(wù)之前都要對(duì)其成本進(jìn)行測(cè)算，定出其服務(wù)價(jià)格，比如一個(gè)班國家批準(zhǔn)計(jì)劃招收學(xué)生30名，而教室可坐40名學(xué)生的情況下，不增加師資、教室再招10名插班生，僅有增量活動(dòng)的追加成本，便可降低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，招收10名插班生的收費(fèi)價(jià)格在市場(chǎng)同行業(yè)學(xué)校中是有競(jìng)爭(zhēng)力的。但是在對(duì)外服務(wù)項(xiàng)目中有很多復(fù)雜的因素要考慮，而利用線

21、性規(guī)劃可以解決這種成本最小、價(jià)格最優(yōu)、利潤最大的問題測(cè)算。【案例分析】1. 分析資料用線性規(guī)劃解決對(duì)外服務(wù)成本測(cè)算問題可按以下三步進(jìn)行。(1) 提出問題。從高校管理與決策的立場(chǎng)出發(fā)，研究對(duì)外服務(wù)各項(xiàng)目方面的成本支出、資金分配及使用問題，當(dāng)然也可依本單位的業(yè)務(wù)性質(zhì)及管理的需要擬定對(duì)象。(2) 建立線性規(guī)劃模型。線性規(guī)劃模型是用數(shù)學(xué)符號(hào)和函數(shù)關(guān)系式來描述研究對(duì)象各因素之間數(shù)量上本質(zhì)聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。線性規(guī)劃模型一般由以下三要素構(gòu)成: 決策變量：即決策者對(duì)問題需要考慮和控制的因素，如招收學(xué)生數(shù)量多少的確定，需要考慮教室、食堂、學(xué)生宿舍容納數(shù)量，圖書資料可供借閱人次，基礎(chǔ)及專業(yè)教師等因素，即一組未知數(shù)

22、。這些因素可記為或。 約束條件：即決策者為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)、最大或最小的一些限制條件，如學(xué)校的教職工人力限制、校舍限制、教學(xué)儀器設(shè)備的限制等?？山⑷缦录s束條件： 目標(biāo)函數(shù)：即決策者欲達(dá)到的最優(yōu)目標(biāo)與決策變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它是要求實(shí)現(xiàn)最大化或最小化的問題。如學(xué)校在現(xiàn)有條件下辦學(xué)規(guī)模最優(yōu)、效益最大；或?qū)W校在現(xiàn)有條件下對(duì)外服務(wù)支出成本最低利潤最大；即目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值。目標(biāo)函數(shù)如下：。(3) 求解線性規(guī)劃模型。即根據(jù)建立的模型采用單純形法求出使目標(biāo)函數(shù)值最大或最小的各決策變量的數(shù)值作為安排工作的參考。2. 建立該問題的數(shù)學(xué)模型，測(cè)算學(xué)校招生結(jié)構(gòu)下面將建立該問題的數(shù)學(xué)模型并用單純

23、型法求解，再根據(jù)求得的決策變量的值來說明線性規(guī)劃的具體運(yùn)用。設(shè)為國家任務(wù)學(xué)生數(shù)；為全脫產(chǎn)成人教育或定向生；為自考或者函授生。那么，依前面給定的目標(biāo)函數(shù)，該校每年所得的收入應(yīng)該是：。上式中是可以變化的，是根據(jù)該校在校學(xué)生歷史、當(dāng)前和將來的情況測(cè)算的各類學(xué)生數(shù)，稱它為決策變量。一旦的數(shù)值決定下來，Z也就決定下來了。上式中變量前的系數(shù)為收費(fèi)和撥款標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)類學(xué)生每年撥款約3 000元加學(xué)雜費(fèi)2 000元，合計(jì)5 000元，得到收款額；類學(xué)生交學(xué)雜費(fèi)3 000元，得到收款額3 000；類學(xué)生交學(xué)費(fèi)1 000元，得到收款額1 000。

24、在這個(gè)問題中，決策變量的取值并不是完全自由的，而是受到一些變化中的條件的制約。這些限制條件為問題的約束條件。設(shè)有如下約束條件：(1) 校舍能力限制。由于學(xué)生食堂、宿舍、教室建筑平米數(shù)的限制，能容納學(xué)生數(shù)量也受限制，假定上例能容納全日制學(xué)生3 000名，約束條件：。(2) 師資力量的限制。由于學(xué)生在校學(xué)習(xí)的課程及門數(shù)與教師人數(shù)及專業(yè)有關(guān)，與基礎(chǔ)課與專業(yè)課的搭配結(jié)構(gòu)有關(guān)，故對(duì)上例做如下假設(shè)：在校教師約210人，學(xué)生人數(shù)為每班50人；任課方式有單班課和合班課，依工科本、?？频那闆r，學(xué)生平均每屆應(yīng)學(xué)課程為20門課，平均每年完成為5門課。另外，3、4個(gè)班的合班課為基礎(chǔ)課，占整個(gè)上課比例的5%或

25、10 %；2個(gè)班的合班課為專業(yè)基礎(chǔ)課，占整個(gè)上課比例的20%、30%或40%；1個(gè)班的單班課為專業(yè)課，占整個(gè)上課比例的70%、50%或40%。于是，有如下約束條件：簡(jiǎn)化為：。(3) 后勤支出能力限制。由于在校生需使用水、電、暖等，其各類學(xué)生消耗成本不一樣，上例按類每生每年消耗700元，類每生每年消耗500元，類每生每年消耗300元，水電暖耗費(fèi)取為250元，則約束條件為：(4) 受國家任務(wù)限制。由于目前我國培養(yǎng)本?？粕菄医涛逻_(dá)培養(yǎng)任務(wù)，而建校規(guī)模是按教育發(fā)展目標(biāo)建立的，上例國家任務(wù)為1 900，則約束條件：。至此可建立以下模型 (max表示最大，s.t.表示約束條件)：3. 求解

26、及結(jié)果分析用單純形法求解得：最優(yōu)解，；最優(yōu)值。以上求得最優(yōu)解為：國有任務(wù)類學(xué)生1 900名；全日制成教或定向生1 100名；函授生600名；其收入值為1 340萬元。依此，學(xué)校在完成國家任務(wù)每年培養(yǎng)1 900名本科生的同時(shí)，又可培養(yǎng)定向生1 100名，函授生600名，扣除本科生的收入值950萬元(1 900×5 000)，可在不增添設(shè)施的前提下多收入390萬元。例中設(shè)定的系數(shù)隨著測(cè)算目的和時(shí)間的變化應(yīng)做相應(yīng)的調(diào)整。在不同的條件下變動(dòng)其值又可得出變動(dòng)后的最優(yōu)值，這就為管理決策提供了較為堅(jiān)實(shí)的依據(jù)。以上用單純形法測(cè)算學(xué)

27、校某個(gè)時(shí)點(diǎn)上辦學(xué)招生方面的結(jié)構(gòu)和收入情況，用此方法還可預(yù)測(cè)不同時(shí)期不同情況的辦學(xué)、科研、后勤服務(wù)等結(jié)構(gòu)及收入值，若使用圖解法、特殊模型法亦可編成應(yīng)用程序輸入計(jì)算機(jī)，則對(duì)不同的約束條件，即可求得優(yōu)化值，供決策參考，使用很方便，并能提高學(xué)校財(cái)務(wù)管理決策的質(zhì)量和工作效率。本 章 小 結(jié)本章第一部分通過實(shí)例引出了線性規(guī)劃的建模思路及數(shù)學(xué)模型；第二部分介紹了線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式及一般線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法；第三部分介紹了求解線性規(guī)劃問題的圖解法，圖解法簡(jiǎn)單直觀并反映了線性規(guī)劃的求解原理，但其只適用于含有兩個(gè)或三個(gè)變量的線性規(guī)劃問題；第四部分介紹了線性規(guī)劃問題的單純形解法，通過案例簡(jiǎn)單介紹了該方法的求解過程及原理，給出了單純形表的變化過程；最后介紹了目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型及圖解法，線性規(guī)劃的缺點(diǎn)就是目標(biāo)單一，在一組約束條件下，求某一個(gè)目標(biāo)之最大或最小，這和現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會(huì)的要求很不一致，目標(biāo)規(guī)劃一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)就是非常靈活，適用于許多方面。習(xí) 題1. 試建立下列問題的數(shù)學(xué)模型：(1) 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品