拋物線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)1 .知識(shí)目標(biāo)：掌握拋物線的定義、方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；掌握焦點(diǎn)、焦點(diǎn)位置與方程關(guān)系；進(jìn)一步了解建立坐標(biāo)系的選擇原則.2 .能力目標(biāo)：使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“數(shù)與形”的聯(lián)系，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想。二、教學(xué)過程（一）、復(fù)習(xí)引入問題1、橢圓、雙曲線的第二定義如何敘述？其離心率e的取值范圍各是什么？平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當(dāng)0<e<1時(shí)是橢圓，當(dāng)e>1時(shí)是雙曲線。自然引出問題：那么，當(dāng)e=1時(shí)，軌跡是什么形狀的曲線呢？（二）.創(chuàng)設(shè)情境問題2、用制作好的教具實(shí)驗(yàn)：三角板ABC的直角邊BC邊上固定一個(gè)釘子，一根繩子連接

2、釘子和平面上一個(gè)固定點(diǎn)F,并且使純子的長(zhǎng)度等于釘子到直角頂點(diǎn)C的距離。用筆尖繃緊繩子，并且使三角板AC在定直線l上滑動(dòng)，問筆尖隨之滑動(dòng)時(shí)，在平面上留下什么圖形？如何用方程表示該圖形？設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，將問題交給學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，同時(shí)引入本節(jié)課的內(nèi)容師生活動(dòng)：（1）你們?nèi)绾伟堰@個(gè)實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題嗎？N'MKkF（2）學(xué)生不一定能正確抽象出來(lái)，教師可適當(dāng)引導(dǎo)：當(dāng)筆尖滑動(dòng)時(shí)，筆尖到定點(diǎn)F的距離等于到定直線l的距離，在滿足這樣條件下，筆尖畫出的圖形。并抽象數(shù)學(xué)問題：（三）、新課講授：（1）拋物線定義：平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直

3、線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線，F(xiàn)到直線l的距離簡(jiǎn)稱焦準(zhǔn)距。特別提醒：定點(diǎn)F在定直線l外。（并假設(shè)F在直線l上）換種說法：平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)1的軌跡，叫做拋物線。歸納總結(jié)：平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的軌跡有三種曲線：橢圓、拋物線、雙曲線，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線。思考題：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足下列條件，(x1)2+y2=國(guó)畫則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是5()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生將抽象的代數(shù)語(yǔ)言翻譯成幾何語(yǔ)言(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，拋物線

4、的標(biāo)準(zhǔn)方程又如何推導(dǎo)？方程有什么特點(diǎn)？設(shè)計(jì)意圖：利用類比的思想尋求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法(利用定義來(lái)推導(dǎo))，并鞏固復(fù)習(xí)建系、列方程的方法步驟(建、設(shè)、限、代、化)。師生活動(dòng)：利用求曲線方程的方法步驟求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。求解過程學(xué)生若有困難老師可適當(dāng)引導(dǎo)，師生共同完成求解過程：如圖所示，利用對(duì)稱性建立直角坐標(biāo)系系，設(shè)|KF|=p(p>0),D*x那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(B,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-,22設(shè)拋物線上的點(diǎn)M(x,y),則有J(x-p)2+y2x+-p|，化簡(jiǎn)方程得y2=2pxp0方程y2=2px(p>0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.問題3橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不止一個(gè)，那么拋物線

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？還有其它形式？該如何推導(dǎo)？設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)初中最基本的拋物線方程y=x2和y=-x2,讓學(xué)生觀察并總結(jié)出開口方向向左、向上和向下另三種情況及其對(duì)應(yīng)得標(biāo)準(zhǔn)方程師生活動(dòng)：學(xué)生回答上述問題，老師補(bǔ)充，師生共同得出：一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，除上述一種外還有三種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程也相應(yīng)有另外三種形式：y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表.圖形“y/-F*yJ一I71c">xl開口方向X軸的止方向X軸的負(fù)方向Y軸的止方向Y軸的負(fù)方向方程2-，一、y=2px(p>0)2-，一、

6、y=-2px(pa0)2c，c、x=2py(p>0)2c，c、x=2py(p>0)隹百八、八、吟,0)(-f,0)(0,f)(0,-f)準(zhǔn)線x_£x2px二2yTyJ2觀察總結(jié)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)(1)都過原點(diǎn)；(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸、焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上、準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸；(3)焦準(zhǔn)距為p,半焦距等于等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的1,即如(4)一次項(xiàng)的字母為442對(duì)稱軸，二次項(xiàng)單獨(dú)在某一邊，且系數(shù)為1.(5)一次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)決定圖像開口方向(四)、精講范例例題(1)已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=-4x,作圖并求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.1(2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-),求它的標(biāo)準(zhǔn)

7、萬(wàn)程.2設(shè)計(jì)意圖：讓同學(xué)們熟悉拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式和特點(diǎn)，進(jìn)一步理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的本質(zhì).師生活動(dòng)：(1)在標(biāo)準(zhǔn)方程下焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程都是用p的代數(shù)式表示的，所以只要求出p即可；(2)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程過原點(diǎn)且對(duì)稱，因此結(jié)合圖像、準(zhǔn)線和焦點(diǎn)坐標(biāo)求出p,問題即解.解析：(1)y2=-2px則p=2,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0)準(zhǔn)線方程是x=1.(2)焦點(diǎn)在y軸正半軸上，-p=-,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=y.22變式練習(xí)：1、已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程風(fēng)別是：(1)y=6x2,(2)x=ay2(a#0)求它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.特別提醒：一定先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程！2、求下列拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：3(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,)；2(2)拋物線的準(zhǔn)線方程為y=1;過點(diǎn)(4,1).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過方程形式辨別拋物線的位置，進(jìn)而求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.或通過焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程辨別拋物線的開口，寫出拋物線方程.師生活動(dòng)：先讓學(xué)生自己分析解答，然后抽取部分學(xué)生檢查解答過程，若有問題老師適當(dāng)補(bǔ)充:解此題的關(guān)鍵是(1)會(huì)根據(jù)示意圖確定屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式，(2)想辦法求出參數(shù)p的值.(五)、小結(jié)拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、以及與圖像的聯(lián)系；解拋物線問題時(shí)，要做到先“定位”，后“定量”.圓錐曲線的統(tǒng)一定義。(六)、作業(yè)(1)教材P120練習(xí)2、3、4、5.(2)小