拋物線定義及其標準方程

1、拋物線及其標準方程一、教學目標1 .知識目標：掌握拋物線的定義、方程及標準方程的推導；掌握焦點、焦點位置與方程關系；進一步了解建立坐標系的選擇原則.2 .能力目標：使學生充分認識到“數(shù)與形”的聯(lián)系，體會“數(shù)形結合”的思想。二、教學過程（一）、復習引入問題1、橢圓、雙曲線的第二定義如何敘述？其離心率e的取值范圍各是什么？平面內(nèi)，到一個定點F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當0<e<1時是橢圓，當e>1時是雙曲線。自然引出問題：那么，當e=1時，軌跡是什么形狀的曲線呢？（二）.創(chuàng)設情境問題2、用制作好的教具實驗：三角板ABC的直角邊BC邊上固定一個釘子，一根繩子連接

2、釘子和平面上一個固定點F,并且使純子的長度等于釘子到直角頂點C的距離。用筆尖繃緊繩子，并且使三角板AC在定直線l上滑動，問筆尖隨之滑動時，在平面上留下什么圖形？如何用方程表示該圖形？設計意圖：從實際問題出發(fā)，激發(fā)學生的求知欲，將問題交給學生，充分發(fā)揮學生的聰明才智，體現(xiàn)學生的主體地位，同時引入本節(jié)課的內(nèi)容師生活動：（1）你們?nèi)绾伟堰@個實際問題抽象成數(shù)學問題嗎？N'MKkF（2）學生不一定能正確抽象出來，教師可適當引導：當筆尖滑動時，筆尖到定點F的距離等于到定直線l的距離，在滿足這樣條件下，筆尖畫出的圖形。并抽象數(shù)學問題：（三）、新課講授：（1）拋物線定義：平面內(nèi)，到一個定點F和一條定直

3、線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線，F(xiàn)到直線l的距離簡稱焦準距。特別提醒：定點F在定直線l外。（并假設F在直線l上）換種說法：平面內(nèi)，到一個定點F的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)1的軌跡，叫做拋物線。歸納總結：平面內(nèi)，到一個定點F的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的軌跡有三種曲線：橢圓、拋物線、雙曲線，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線。思考題：一個動點P(x,y)滿足下列條件，(x1)2+y2=國畫則動點P的軌跡是5()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線師生活動：教師引導學生將抽象的代數(shù)語言翻譯成幾何語言(2)拋物線的標準方程類比橢圓、雙曲線標準方程的推導，拋物線

4、的標準方程又如何推導？方程有什么特點？設計意圖：利用類比的思想尋求拋物線標準方程的推導方法(利用定義來推導)，并鞏固復習建系、列方程的方法步驟(建、設、限、代、化)。師生活動：利用求曲線方程的方法步驟求拋物線的標準方程。求解過程學生若有困難老師可適當引導，師生共同完成求解過程：如圖所示，利用對稱性建立直角坐標系系，設|KF|=p(p>0),D*x那么焦點F的坐標為(B,0),準線l的方程為x=-,22設拋物線上的點M(x,y),則有J(x-p)2+y2x+-p|，化簡方程得y2=2pxp0方程y2=2px(p>0叫做拋物線的標準方程.問題3橢圓、雙曲線的標準方程不止一個，那么拋物線

5、的標準方程呢？還有其它形式？該如何推導？設計意圖：通過復習初中最基本的拋物線方程y=x2和y=-x2,讓學生觀察并總結出開口方向向左、向上和向下另三種情況及其對應得標準方程師生活動：學生回答上述問題，老師補充，師生共同得出：一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，除上述一種外還有三種不同的情況，所以拋物線的標準方程也相應有另外三種形式：y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表.圖形“y/-F*yJ一I71c">xl開口方向X軸的止方向X軸的負方向Y軸的止方向Y軸的負方向方程2-，一、y=2px(p>0)2-，一、

6、y=-2px(pa0)2c，c、x=2py(p>0)2c，c、x=2py(p>0)隹百八、八、吟,0)(-f,0)(0,f)(0,-f)準線x_£x2px二2yTyJ2觀察總結：拋物線的標準方程的特點(1)都過原點；(2)對稱軸為坐標軸、焦點在對稱軸上、準線垂直于對稱軸；(3)焦準距為p,半焦距等于等于一次項系數(shù)絕對值的1,即如(4)一次項的字母為442對稱軸，二次項單獨在某一邊，且系數(shù)為1.(5)一次項系數(shù)正負決定圖像開口方向(四)、精講范例例題(1)已知拋物線標準方程是y2=-4x,作圖并求它的焦點坐標和準線方程.1(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0,-),求它的標準

7、萬程.2設計意圖：讓同學們熟悉拋物線標準方程的形式和特點，進一步理解拋物線標準方程的本質(zhì).師生活動：(1)在標準方程下焦點坐標和準線方程都是用p的代數(shù)式表示的，所以只要求出p即可；(2)拋物線標準方程過原點且對稱，因此結合圖像、準線和焦點坐標求出p,問題即解.解析：(1)y2=-2px則p=2,焦點坐標是(-1,0)準線方程是x=1.(2)焦點在y軸正半軸上，-p=-,所以拋物線的標準方程是x2=y.22變式練習：1、已知拋物線的標準方程風別是：(1)y=6x2,(2)x=ay2(a#0)求它們的焦點坐標和準線方程.特別提醒：一定先將拋物線化為標準方程！2、求下列拋物線的標準方程：3(1)焦點坐標是(0,)；2(2)拋物線的準線方程為y=1;過點(4,1).設計意圖：讓學生通過方程形式辨別拋物線的位置，進而求出焦點坐標和準線方程.或通過焦點坐標和準線方程辨別拋物線的開口，寫出拋物線方程.師生活動：先讓學生自己分析解答，然后抽取部分學生檢查解答過程，若有問題老師適當補充:解此題的關鍵是(1)會根據(jù)示意圖確定屬于哪類標準形式，(2)想辦法求出參數(shù)p的值.(五)、小結拋物線的定義、標準方程、以及與圖像的聯(lián)系；解拋物線問題時，要做到先“定位”，后“定量”.圓錐曲線的統(tǒng)一定義。(六)、作業(yè)(1)教材P120練習2、3、4、5.(2)小