空間中的垂直關(guān)系帶答案

1、空間中的垂直關(guān)系專題訓(xùn)練知識梳理一、線線垂直:如果兩條直線于一點或經(jīng)過后相交于一點，并且交角為,則稱這兩條直線互相垂直.、線面垂直：1 .定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的,則稱這條直線和這個平面垂直.也就是說，如果一條直線垂直于一個平面，那么他就和平面內(nèi)任意一條直線都.直線l和平面a互相垂直，記作l，a.2 .判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的直線垂直，則這條直線與這個平面垂直.推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也于這個平面.推論：如果兩條直線同一個平面，那么這兩條直線平行.3 .點到平面的距離：長度叫做點到平面的距離.三、面面垂直：1 .定義：如果

2、兩個相交平面的交線與第三個平面，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線,就稱這兩個平面互相垂直.平面a,3互相垂直，記作a_L3.2 .判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的,則這兩個平面互相垂直.3 .性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于直線垂直于另一個平面.四、求點面距離的常用方法：1 .直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個三角形2 .轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解3 .體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解.題型線線垂直、線面垂直的判定及性質(zhì)例1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PL底面ABCDAB±ADACL

3、CDZABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點.求證：(1)CD±AE;(2)PD,平面ABE.證明：(I)PA-底面ABCD,.PA-CD,又4JCD,PAnAC=A(故CD_平面PUC.又AE二平面PAC,，CD_4E.(ID由題意:ABxAD,日一平面P“D，從而口白一PD.又口B=BC,且上4B匚=6口口，AC=AB,從而AC=PA.又E為PC之中點，一AE_PC.由知：AE_CD,:.AE_平面PCD,MAE_PD.JABnAE-Aj故PD_平面口EE.【變式1】已知：正方體ABCD-A1B1C1D1,AA1=2,E為棱CC1的中點.(I)求證：B1D11AE;(n)

4、求證：AC/平面B1DE.【解答】(I)連接BD則BD/BQ,.ABCD正方形，ACLBD品.CEL平面ABCDBD?平面ABCD'CELBD又ACnCE=C.BDL面ACEAE?面ACEBDLAE,.B1EHAE（5分）(n)證明：取BB的中點F,連接AF、CF、EF.E、F是GC、BB的中點,CE/B1F且CE=BF,二.四邊形BiFCE是平行四邊形，CF/B1E./正方形BB1C1C中，E、F是CGBB的中點，EF/BC且EF=BC又BC/AD且BC=ADEF/AD且EF=AD二.四邊形ADEF平行四邊形，可得AF/EDAFACF=CBEAED=E平面ACF/平面B1DE又AC?

5、平面ACF.AC/面BQE【變式2】如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA，平面ABCD,/ABC=60°,點E、G分別是CD、PC的中點，點F在PD上，且PF:FD=2:1.(I)證明：EA±PB;(n)證明：BG/面AFC.【解答】(I)證明：因為面ABC型菱形，且/ABC=60,所以ACD為等邊三角形,又因為E是CD的中點，所以EALAB.又PAL平面ABCD所以EALPA而ABnPA=A所以EAL面PAB所以EALPB.(II)取PF中點M所以PM=MF=F.D連接MGMG/CF,所以MG/面AFC.連接BMBD設(shè)A6BD=Q連接OF,所以BM/OF

6、，所以BM/面AFC而BMTMG=M所以面BGM面AFC所以BG/面AFC【變式3】如圖，四棱柱ABCD-AiBiClDl的底面ABCD是正方形，O為底面中心，AiO±平面ABCD,AB=&,AA1=2.(1)證明：AAi±BD(2)證明：平面AiBD/平面CD1B1；(3)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.【解答】(1)證明：二.底面ABCD正方形，BDLAC又AiOL平面ABCDfiBD?面ABCDAiO±BD又AiOnAC=OAiO?面AiAC,AC?面AACBDL面AiACAA?面AiAC,AABD（2） A1B1/AB,AB/CDA1B1/CD

7、又AiBi=CD,二.四邊形AiBiCD平行四邊形,A1D/B1C,同理AiB/CD,AiB?平面AiBDAiD?平面ABDCD?平面CDBi,BiC?平面CDB,且AiBAAiD=A,CDABiC=C平面AiBD/平面CDBi.（3） AiO±面ABCDAiO是三棱柱A1B1D-ABD的高，在正方形ABC邛,AO=1在RtAiOA中，AA=2,AO=1,2 AiO=三，二V三棱柱ABAA1B1D=S>AABD?AiOJ?（）?3=323 三棱柱ABD-A1B1D1的體積為V3.【變式4】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA11底面ABC,AB=BC=AC=AA1=4,

8、點F在CC1上，且C1F=3FC,E是BC的中點.(1)求證：AEL平面BCC1B1(2)求四棱錐A-B1C1FE的體積；(3)證明：B1EXAF.【解答】（1）AB=AC,E是BC的中點,AE!BC.在三棱柱ABC-A1B1G,中，BB/AA1,BB1±平面ABC4 AE?平面ABCBB11AE,.（2分）又BBnBC=B.（3分）BB,BC?平面BBGC,AE1平面BB1C1C,.（4分）(2)由(1)知，即AE為四棱錐A-BGFE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2/,2在正方形BBGC,中，CE=BE=2CF=1,二£丁心口f廣Szxcfe=4X4x2X4X2X

9、1=11.（6分）22一¥a-BCFE=W*四邊晚CFE?AE=1x11X2近二（7分）（3）證明：連結(jié)B1F,由（1）得AE1平面BBCC,B1E?平面BBiGC,，AE1B1E,.（8分）在正方形BB1GC,中，BF=JbCJ+CF2=5,BE=Jbe2+bb2=2«,EF=JcE，CF2='昆:B1F2=B1E2+EF2,z.B1E±EF.（9分）又AmEF=E.（10分）AE,EF?平面AEF,，BiE，平面AEF,.（11分）AF?平面AEF,BiE±AF.（12分）【變式5】如圖，四棱錐P-ABCD中，PD，平面ABCD，底面ABCD

10、為正方形，BC=PD=2,E為PC的中點，G在BC上，且CG=-CB3(1)求證：PCXBC;(2)求三棱錐C-DEG的體積；(3)AD邊上是否存在一點M,使得PA/平面MEG?若存在，求AM的長；否則，說明理由.【解答】(1)證明：PDL平面ABCD1PDLBC又/ABCD是正方形，BCLCD又PmCD=D，BCL平面PCD又PC?平面PCDPC!BC(2)BCL平面PCDGC是三棱錐G-DEC的高.E是PC的中點，Saed（5Sapd（="XPD.DC=X（工X2X2）=1.W-de百Vs2222 DE（=GC?SadE（=XX1=.3339（3）連結(jié)AC,取AC中點O,連結(jié)EO

11、GQ延長GO交AD于點M則PA/平面MEG證明：為PC的中點，O是AC的中點，EO/PA又.EQ?平面MEGPA?平面MEG .PA/平面MEG在正方形ABC邛，是AC的中點，BC=PD=2CG=CB.3._7,? .OC雀AOAM.-AM=CG=,.所求AM的長為33【變式6】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1,底面A1B1C1,AiBlBiCl且A1B1=BB1=B1C1,D為AC的中點.(I)求證：A1B±AC1(n)在直線CC1上是否存在一點E,使得A1E,平面A1BD,若存在，試確定E點的位置；若不存在，請說明理由.【解答】(I)證明：連接ABBB1,平面A1

12、B1CB1GXBB1BCAB且A1BnBBi=B1B1G，平面A1B1BAA1B±B1C1.又;A1B±AB且ARAB1G=BA1B，平面ABiG.-.A1B±AC1(II)存在點E在CC的延長線上且CE=2CC時，AEL平面憶ABD.設(shè)&ClAB=a,CE=2a.;Ma，DE嗜出.aH+A/=DE?，二”心AQ一BDLACBDLCC1,A6CG=C,.BDL平面ACGA1,AE?平囿ACCA1，A1E±BD.乂BDHAQ=D，.二A1E，平囿a：dJ【變式7】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,BC=4,(1)求證：AC±

13、;BC1;(2)求證：AC1/平面CDB1.【解答】證明：(1)因為三棱柱ABC-A1B1C1為直二棱柱，所以GC平面ABC所以GCAC又因為AC=3BC=4,AB=5,所以a&bC=aB",所以ACLBC漢ADAAB=5，點D是AB的中點.廣勺更/乂A又ccnBC=C所以ACL平面CCBiB,所以ACLBC1.(2)連結(jié)CiB交CB于E,再連結(jié)DE由已知可得E為CiB的中點，又丁!)為AB的中點，DE為ABAC的中位線.ACi/DE又;DE?平面CDB,AC?平面CDB，AC/平面CDB.【變式8】如圖，直三棱柱ABC-AiBiCl中，AAi=2AC=2BC,D是AA1的中

14、點，CDXBiD.(1)證明：CD±B1c1；(2)平面CDBi分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.【解答】(1)證明：由題設(shè)知，直三棱柱的側(cè)面為矩形，由D為AA的中點，則DC=DC又AA=2AC可得DC2+dC=CC：則CD£DCi,而CD£BiD,BiDADG=D,則CD£平面BCD,由于BG?平面BiCiD,故CD£BiG；(2)解：由(1)知，CD£BiCi,且BiGCiC,則BG，平面ACCA,設(shè)Vi是平面CDB上方部分的體積，V2是平面CDB下方部分的體積，則Vi=Vbi-cdai汴1Scdaic?BiCix2?BiCi

15、3=3biC|3,332233V=Mbcaibic=AC?BCCC=BCi,貝UV2=V-Vi=BCi=Vi,22故這兩部分體積的比為i：i.【變式9】如圖所示，在長方體ABCD-AiBiCiDi中，已知底面是邊長為2的正方形，高為1,點E在BiB上，且滿足BiE=2EB.(1)求證：DiEXAiCi；(2)在棱BiCi上確定一點F,使A、E、F、Di四點共面，并求此時BiF的長；(3)求幾何體ABEDiD的體積.【解答】(I)證明：連結(jié)BiD.因為四邊形AiBiCD為正方形，所以AiCBiD.在長方體ABCDAiBiCiDi中，DDL平面AiBiGD,又AiC?平面AiBiCD,所以DDAi

16、C.因為DDABiDi=D,DD?平面BBDiD,BQ?平面BBDD,所以AC，平面BBiDD.又DiE?平面BBDiD,所以DiE±AiG.（4分）（n）解：連結(jié)BG,過E作EF/BC1交BiCi于點F.因為AD/BGi,所以AD/EF.所以AE、F、D四點共面.即點F為滿足條件的點.又因為BE=2EB所以BF=2FG,所以奇（8分）（出）解：四邊形BEDD為直角梯形，幾何體ABEDD為四棱錐A-BEDD.CBE+DDi）BD4J7一1廣因為SBEDD=二2山，點A到平面BEDD的距離h=ARC=V，1232所以幾何體ABEDD的體積為：V.-八二支（i3分）?A-BED.D35E

17、D-D39題型二面面垂直的判定例2.如圖，在三棱錐PABG中，PA1底面ABG4ABG為正三角形，D、E分別是BCGA的中點.P（i）求證：平面PBEL平面PAG（2）如何在BG上找一點F,使AD/平面PEF?并說明理由.B（I）證明：底面ABC*EE:底面AR。，.*-PA±BE.門分）又；ABC是正三角肥且E為AC的市點,EE_LCA.（2分）又PA門以=也，二目平面FAC.14分）丁恒二平郝比，器平面PBE，平面PAC.<6分）（H）解：取匚D的中點F，連接EF，則F即為所求.分）VE-F分別為。，的中點，iEF#AD.（電分）尺EF二平面PEF，AD二平面PEF，二8口

18、#平面PEF-（10）【變式U如圖，四邊形ABGD為菱形，G為AG與BD的交點，BE，平面ABGD.證明：平面AEG，平面BED.【解答】證明：（I）二四邊形ABGM菱形，.二AG±BD,BEX平面ABGD.-.AG±BE,貝UAG，平面BED丁AG?平面AEG平面AEGL平面BED空間中的垂直關(guān)系教師版8【變式2】如圖，三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.(1)求證：BD/平面FGH;(2)若CFXBC,AB±BC,求證：平面BCD，平面EGH.【解答】在三臺DELABC中，AB=2DEG為AC的中點.DF11GC，.四邊形CFD

19、,平行四邊形，/f/7.DM=MC又BH=HC/.MH/BD,又BD?平面FGHMH?平面FGH/.BD/平面FGH-.'證法二：在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DEH為BC的中點.BH#EF，.四邊形BHFE平行四邊形.BE/HF.B在4ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，GH/AB,又GHTHF=H，平面FGH/平面ABEDBD?平面ABEDBD/平面FGH(II)證明：連接HEG,H分別為AC,BC的中點，GH/AB,;AB,BC.GH!BC又H為BC的中點，EF/HCEF=HC.EFCH平行四邊形，.CF/HE.-.CF±BC,HEIBC又HE,GH?平面EG

20、HHEHGH=HBC，平面EGH又BC?平面BCD1平面BCDL平面EGH【變式3】如圖所示，已知AB±平面BCD,M、N分別是AC、AD的中點，BCXCD.求證：平面BCD，平面ABC.【解答】因為ABL平面BCDCD?平面BCD所以AB±CD又CDLBCABABC=B所以CDL平面ABC又CD?平面BCD所以平面BCDL平面ABC【變式4】如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，APAD是正三角形，平面PAD，平面ABCD,E,F,G分別是PD,PC,BC的中點.(1)求證：平面EFGL平面PAD;(2)若M是線段CD上一點，求三棱錐M-EFG

21、的體積.【解答】(1)二.平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=ADCD?平面ABCDCDLAD，CD±平面PAD(3分)又PCD43,E、F分別是PDPC的中點，.EF/CD可得EF，平面PAD,EF?平面EFG平面EFGL平面PAD(6分)(2)EF/CDEF?平面EFGCD?平面EFG.CD/平面EFG因此CD上的點M到平面EFG的距離等于點D到平面EFG的距離,Vmefg=Vd-efg取AD的中點H連接GHEH,貝UEF/GHEF，平面PADEH?平面PAD-EF±EH于是SaefhfEFXEH=2=&efg2平面EFGL平面PAD平面EF平面P

22、AD=EHEHD>F三角形（12分）點D到平面EFG的距離等于正EHD的高，即為如,(10分)因此，三棱錐M-EFG的體積VmefG=Vd-efGXSaef二J5=2Y1.【變式5】如圖，已知AB，平面ACD,DE/AB,ADfAC=DE=2ABf2，且F是CD的中點,AF=英.(1)求證：AF/平面BCE;(2)求證：平面BCEL平面CDE;(3)求此多面體的體積.【解答】證明：(1)取CE中點P,連接FP、BP,PF/DEL,且FP=1又AB/DE,且AB=1,.AB/FP,且AB=FP.ABPF為平行四邊形，.AF/BP.(2分)又AF?平面BCEBP?平面BCE，AF/平面BCE

23、(4分)(2)證明：:AD=ACF是CD的中點，AF=V3.所以ACD為正三角形，AFXCD.AB，平面ACDDE/AB,DEL平面ACD又AF?平面ACDDEIAF.又AF,CDCDADE=D，AF,平面CDE又BP/AF,.BPL平面CDE又BP平面BCE,.平面BCEL平面CDE.(3)此多面體是以C為頂點，以四邊形ABEM底邊的四棱錐，等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高義方乂2X(1+2)又如用(12分)【變式6】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形，側(cè)面BB1C1C為菱形,ZCBB1=60°,AB±B1C.(I)求證：平面AA1B1B，平面

24、BB1C1C;(II)若AB=2,求三棱柱ABC-A1B1C1體積.【解答】(I)證明：由側(cè)面AABB為正方形，知AB,BBi.又-.AB±BC,BBnB1C=B,.ABL平面BBGG又AB?平面AABB,平面AA1B1BXBBGC.(n)由題意，CB=CB,設(shè)O是BB的中點，連接CQ則COLBB.由(I)知，COL平面ABBiA,且CO西BCi/AB/.22連接但則嗎字啊??！北厝?.陶盧7c-y=j%fE=等"柱=哂11i1i【變式71如圖，四邊形ABCD為梯形，AB/CD,PDL平面ABCD,ZBAD="DC=90°,DC=2AB=2a,DA=V3

25、a,E為BC中點.(1)求證：平面PBC,平面PDE;(2)線段PC上是否存在一點F,使PA/平面BDF?若有，請找出具體位置，并進(jìn)行證明；若無，請分析說明理由.【解答】(1)證明：連結(jié)BD,/BAD=90,研二a，口上近dBD=DC=2aE為BC中點，.BC±DE/又PDL平面ABCDBC?平面ABCDBC±PD,DEPPD=DBd平面PDE.BC?平面PBC平面PBCL平面PDE竽:(2)如上圖，連結(jié)AC,交BD于0點，則：AAOtBCOD/dc=2ab借4H；端。£J在PC上取F,使PFFC；連接OF,貝UOF/PA,而OF?平面BDF,PA?平面BDF;2

26、.PA/平面BDF.題型三：面面垂直性質(zhì)應(yīng)用例3.如圖所示，在四錐PABCM,底面ABC虛/DAB=60且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD若G為AD邊的中點.(1)求證：BGL平面PAD(2)求證：ADLPB.證明：(1).ABD為等邊三角形且G為AD的申點,BG-AD又平面PAD_平面ABCD,:日G_平面心口PA。是等邊三角形且G為AD的中點，.AD±PG且入D_BG,PG門BG=G,.AD_平面PBG,P日評面PEG,.ADP日【變式1】如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，APAD是正三角形，平面PAD，平面ABC

27、D,E,F,G分別是PD,PC,BC的中點.(1)求證：平面EFGL平面PAD;(2)若M是線段CD上一點，求三棱錐M-EFG的體積.【解答】(1)二.平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=ADCD?平面ABCDCD±AD,.CDL平面PAD又.PCD中,E、F分別是PDPC的中點，.EF/CD可得EFL平面PAD.EF?平面EFG-1平面EFG，平面PAD(2)EF/CDEF?平面EFGCD?平面EFGCD/平面EFG因此CD上的點M到平面EFG的距離等于點D到平面EFG的距離，Vmefg=Vd-efg取AD的中點H連接GHEH,貝UEF/GH.EF，平面PADEH?平

28、面PAD-EF±EH于是Saef甲-EFXEH=2=Sxefg;平面EFGL平面PAD平面EF平面PAD=EHEHDE三角形，點D到平面EFG的距離等于正EHD勺高，即為加，因此，三棱錐M-EFG的體積Vm-ef由Vd-ef<XSzef群V-S='33【變式2】已知點P是菱形ABCD7卜一點，ZDAB=60°,其邊長為a,側(cè)面PAD正三角形,其所在平面垂直于底面ABCDG為AD的中點.(1)求證：ADLPB;(2)若E為BC邊中點，能否在棱PC上找一點F,使平面DEFL平面ABCD并證明你的結(jié)論.解析(1)證明：連接BGPG二.四邊形ABC皿菱形且/DAB=6

29、0°.BGLAD.又PAD為正三角形，且G是AD中點，.PGLAD.PSBG=G,，ADL平面PBG.又PB?平面PBG-AD±PB.(2)當(dāng)F是PC中點時，平面DEF，平面ABCD.證明如下：取PC的中點F,連接DEEF、DF.在PBC中,EF/PB.在菱形ABCD,BG/DE.平面DEF/平面PGB,平面PADL平面ABCDPGLAD.，PGL平面ABCD.又PG?平面PGB.,平面PGBL平面ABCD.,平面DEF1平面ABCD.題型四求點面的距離例4.如圖，已知在長方體ABCD-ABCiDi中，棱AAi=5,AB=12求直線BCi到平面AiBCDi的距離.【變式】如

30、圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PAL平面ABCD,AP=AB=1,E,F分別是PB,PC的中點.(I)求證：AE±PC;(n)求點A到平面PBD的距離.【解答】(I)證明：AP=AB,E是PB的中點，AE1PB,.PAL平面ABCD1PALBC,-.ABXBC且PAHAB=A，BCL平面PAB,AE?平面PAB,AE1BC,/PBABC=B.AE1平面PBCAE1PC.(6分)(n)解：設(shè)點A到平面PBD的距離為d,利用體積法，/物».=舞.中冶知郎"瑤',點PBD的距離為學(xué)空間中的垂直關(guān)系教師版13課后作業(yè)1.對于任意的直線1與平面a

31、,在平面a必有直線m與1A.平行B.相交C.垂直D.互為異面直線2.若平面a，平面P,豆口=1,點Pwot,P皂l,則下列命題中的真命題有過P垂直于l的平面垂直于P;過P垂直于1的直線在a內(nèi);過P垂直于a的直線平行于P;過P垂直于P的直線在ct內(nèi).A.B.C.D.3.空間四邊形ABCD,若ADLBC,BD±AD,那么有()A.平面ABCL平面ADCB.平面ABCL平面ADBC.平面ABCL平面BDCD.平面ADCL平面BDC4.若m,n是兩條不同的直線,3,丫是三個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是A.若m?&a±B,則m，B.若ocAy=m,3C丫=n,m"

32、;n,C.若m_L3,m/y(x,則a_L3D.若“，丫，a_L3,則3_L6 .如圖所示，四棱錐P-ABC而底面ABC比邊長為a的正方形,側(cè)棱PA=a,PB=PD=-,2a,則它的5個面中，互相垂直的面有則7 .三個平面兩兩互相垂直，它們的交線交于一點QP到三個平面的距離分別是3,4,5,則QP的長為8.已知空間四邊形ABCD中，AC=AD,BC=BD且E是CD的中點.求證：(1)平面ABEL平面BCD;(2)若F是AB的中點，BC=AD且AB=8,AE=10,求EF的長.(1)證明：因為AC=AD，BC=BD,且E是C陰)中點，用以BE<6且AE_CD,又AEcBE-日所以CD_平面ABE,所以平面ABE_平面BCD(5分)(2)因為