線性代數(shù)計算法則

1、第一部分：基本要求（計算方面）四階行列式的計算；N階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等）；矩陣的運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個向量能否用和向量組線性表示；討論或證明向量組的相關(guān)性；求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示；將無關(guān)組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量；討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；寫出二次型的矩陣，并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，寫出變換矩陣；

2、判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式1 .行列式的定義用nA2個元素aij組成的記號稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和;（2）展開式共有n!項，其中符號正負(fù)各半；2 .行列式的計算一階|a|=a行列式，二、三階行列式有對角線法則；N階（n>=3）行列式的計算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為0,利用定理展開降階。特殊情況上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；（2）行列式值為0的幾種情況

3、：I行列式某行（列）元素全為0；n行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；m行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例；IV奇數(shù)階的反對稱行列式。二.矩陣1 .矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣一一如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；2 .矩陣的運算（1）加減、數(shù)乘、乘法運算的條件、結(jié)果；（2）關(guān)于乘法的幾個結(jié)論：矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB=BA稱A、B是可交換矩陣）；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|;|kA|=Kn|A|3 .矩陣的秩（1）定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；（2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結(jié)論:矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階

4、梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù)(每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣)。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4 .逆矩陣(1)定義：A、B為n階方陣，若AB=BA=I,稱A可逆，B是A的逆矩陣(滿足半邊也成立)；(2)性質(zhì)：(AB)A-1=(BA-1)*(A、1),(A')A-1=(AA-1),;(AB的逆矩陣，你懂的)(注意順序)(3)可逆的條件：|A|片0;r(A)=n;A->I;(4)逆的求解伴隨矩陣法AA-1=(1/|A|)A*;(A*A的伴隨矩陣)初等變換法(A:I)->(施行初等變換)(I:A、1)5 .用逆矩陣求解矩陣方程：AX=

5、B貝UX=(AA-1)B;XB=A則X=B(AA-1)；AXB=C則X=(AA-1)C(BA-1)三、線性方程組1 .線性方程組解的判定定理：(1) r(A,b)wr(A)無解；r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n有無窮多組解；特別地：對齊次線性方程組AX=0r(A)=n只有零解；(2) r(A)<n有非零解;再特別，若為方陣,|A|片0只有零解(2)|A|=0有非零解2 .齊次線性方程組(1)解的情況：r(A)=n,(或系數(shù)行列式A0)只有零解；r(A)<n,(或系數(shù)行列式D=0)有無窮多組非零解。(2)解的結(jié)構(gòu)：X=c1i1+c222+Cn

6、-rnn-r。(3)求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應(yīng)同解方程組；移項，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎(chǔ)解系；寫出通解。3 .非齊次線性方程組(1)解的情況：利用判定定理。(2)解的結(jié)構(gòu)：X=u+c1a1+c2a2+Cn-ran-r。(3)無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。(4)唯一解的解法:有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法)四、向量組1 .N維向量的定義注：向量實際上就是特殊的矩陣(行矩陣和列矩陣)。2 .向量的運算：(1)加減、數(shù)乘運算(與矩陣運算相同)；(2)向量內(nèi)積a'0=a1b1+a2b2+anbn；(3)向量

7、長度|a|=Va'a=V(a1A2+a2A2+-+anA2)(V根號)(4)向量單位化(1/|a|)a；(5)向量組的正交化(施密特方法)設(shè)a1,a2,，nn線性無關(guān)，則01=a1,02=a2-(a2'01/01'0)*01,03=a3-(a3'01/01'01)*01-(a3'02/02'02)*02,。3 .線性組合(1)定義若”k1a1+k2a2+knan,則稱0是向量組a1,a2,，an的一個線性組合，或稱0可以用向量組a1,a2,，an的一個線性表示。(2)判別方法將向量組合成矩陣，記A=(a1,a2,，an),B=(a1,a2

8、,，an,0)若r(A)=r(B)，則B可以用向量組a1,a2,，an的一個線性表示；若r(A)Wr(B),則B不可以用向量組a1,a2,an的一個線性表示。(3)求線性表示表達(dá)式的方法:將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)4 .向量組的線性相關(guān)性(1)線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義設(shè)k1a1+k2a2+knan=0,若k1,k2,，kn不全為0,稱線性相關(guān)；若k1,k2,，kn全為0,稱線性無關(guān)。(2)判別方法：r(a1,a2,an)<n,線性相關(guān)；r(a1,a2,，an)=n,線性無關(guān)。若有n個n維向量，可用行列式判別：n階行列式aij=0,線性相關(guān)G0無關(guān))

9、(行列式太不好打了)5 .極大無關(guān)組與向量組的秩(1)定義極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩(2)求法設(shè)A=(a1,a2,an),將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。五、矩陣的特征值和特征向量1 .定義對方陣A,若存在非零向量X和數(shù)人使A衿入X,則稱人是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值人的特征向量。2 .特征值和特征向量的求解：求出特征方程|人I-A|=0的根即為特征值，將特征值人代入對應(yīng)齊次線性方程組(入I-A)X=0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。3 .重要結(jié)論：(1) A可逆的充要條件是A的特征值不等于0;(2

10、) A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A有相同的特征值；(3)不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。六、矩陣的相似1 .定義對同階方陣A、B,若存在可逆矩陣P,使P'1AP=B,則稱A與B相似。2 .求A與對角矩陣A相似的方法與步驟(求P和A):求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得線性無關(guān)特征向量個數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對角化(否則不能對角化)，將這n個線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為A。3 .求通過正交變換Q與實對稱矩陣A相似的對角陣：方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三步要將所得特征向量正交化且單位化。七、二次型1 .定義n元二次多項式f(x1,x2,，xn)=Eaijxixj稱為二次型，若aij=0(iwj),則稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。