空間幾何體截面與距離問(wèn)題

1、距離與截面問(wèn)題棱錐、棱臺(tái)的中截面與軸截面【例1】正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的k倍,求k的取值范圍.【解析】如下圖,設(shè)正四棱錐VABCD底面中央為O,令BCa,那么VBka,而OBa,在RtVOB中,2A-BC23cosVBO二二ka2k,k的取值范圍是當(dāng)2【例2】正四棱錐的斜高為2VBO0,-,01,1s/2k,k22k2“2.【答案】,2,側(cè)棱長(zhǎng)為娓,求棱錐的高與中截面即過(guò)高線的中點(diǎn)且平V田底向的截面的面積？【解析】四棱錐的簡(jiǎn)圖如右所示,由題意知SHS上A皿111故BH4541-ABAB2,OH-AB22底面面積S底面AB24,0截面：S底面12：221：4【例3】正四棱臺(tái)的圖為17,兩底面

2、的邊長(zhǎng)分別是【解析】如圖,過(guò)B點(diǎn)作BFOB,垂足為F,/I：A2,SB書(shū),1,高SOJsh2OH2,41點(diǎn),&截面1.【答案】系,14和16,求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.ABOB2,ABOB8,OO17,由題意知:在直角三角形BBF中,BBJ(82)21725尺,即斜高長(zhǎng)為5屈；又OA2應(yīng),OA8應(yīng),在直角三角形AAE中,AAJ8迎2上17219,即此棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19.a,b,c,那么它的高和斜高分【例4】【例5】正六棱臺(tái)的上,下底面的邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)分別為別為2a正三棱錐SABC的高SOh,斜高SM求經(jīng)過(guò)SO的中點(diǎn)且平行于底面的截面ABiG的面積.【解析】在RtSOM中,SOh,SMl,

3、所以O(shè)M«h2,又O為正三角形的中央,故MO13ABAB,326故棱長(zhǎng)AB26Jl2h22d3l2h2,.二Sabc3AB23V3l2h2,3.322ABG與ABC相似,且邊長(zhǎng)比為1：2,故截面AiBiCi的面積為3"l2h24【例6】如下圖的正四棱錐VABCD,它的高VO亮,側(cè)棱長(zhǎng)為",求側(cè)面上的斜高與底面面積.O'是高VO的中點(diǎn),求過(guò)O'點(diǎn)且與底面平行的截面(即中截面)的面積.【解析】由題意知VOm,VC",故COJ732BCBC2亞.2斜高VH-VC2CH2行275底面面積SBC28;2由棱柱的截面性質(zhì)知：笆回VO1斗截面-82.S

4、底面VO4"囿4【例7】如圖,棱錐VABC的底面積是64cm二兩截面的面積分別為16cm2和36cm2.【答案】16cm,平行于底面的截面面積是4cm2,棱錐頂點(diǎn)V在截面和底面上的射影分別是Oi、O,過(guò)OQ的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面,求各截面的面積.【解析】設(shè)棱錐的高為h,OO1的三等分點(diǎn)為2由得?Ah64其頂點(diǎn)到截面之距VO1%,.2、.3,h11-,h41八八.hO1OVOVO14而OQ2.2.3.3.,那么O1O2O2O3O3O1,1,h1,1,1,"VO2hh,VO3hhh44244413.h344lh.4964162、36(cm).圓錐、圓臺(tái)的中截面與軸截面設(shè)過(guò)

5、O2、O3的截面面積分別為S2、S3,底面面積為221.2123.-hh,'S2S16(cm).0S-h244【例8】1：4,母線長(zhǎng)10,求把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái),圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是圓錐的母線長(zhǎng).【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,圓臺(tái)上、下底半徑為由相似三角形的性質(zhì)有:l10l故圓錐的母線長(zhǎng)為竺3-,即R403r,10l403【例9】一圓錐軸截面頂角為120,母線長(zhǎng)為1,求軸截面的面積.120cos底邊長(zhǎng)為2sin60V3,從而軸截面面積為12【例10】圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2a,母線和軸的夾角為倍,求圓臺(tái)的高與上下兩底面面積之和.【解析】圓臺(tái)的軸錐面如圖,設(shè)它的上底面半徑為1【答案】24430

6、,一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的那么下底面半徑為2r,有2asin302rrra圓臺(tái)h2acos30用a,上下兩底面之和S/X2a25舊2.【答案】73a,5g2【例11】圓臺(tái)兩底半徑分別是2和5,母線長(zhǎng)是3加,求它的軸截面的面積；【解析】圓臺(tái)的軸截面為一個(gè)等腰梯形,故其高為卜聞25229,12故軸截面面積S-2225963;【答案】73a,5必2【例12】圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為2a,母線與軸的夾角為30,一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍,那么兩底面半徑為.【解析】如圖,圓臺(tái)軸截面為梯形ABB1A,BB1c30,BR2a,BCa且OB2O1B1,.BCOBO1RO1R,/.O1B1a,OB2a【

7、答案】a、2a.【例13】圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍,軸截面白面積等于392cm2,母線與底面的夾角是45,求這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng).【解析】設(shè)圓臺(tái)的上,下底面半徑分別為r,R,那么R3r,根據(jù)母線與底面的夾角是45,有高為r,：圓臺(tái)軸截面的面積為S1r3rr392,解得：r14,:母線長(zhǎng)為14/22【答案】14.2【例14】用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐,截得圓臺(tái)上下底面半徑的比是1：4,截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3,求圓臺(tái)的母線長(zhǎng).【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線為l,截得的圓錐底面與原圓錐底面半徑分別是r,4r,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得工,解得l9.3l4r所以,圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9.【答案】9.

8、【例15】圓臺(tái)母線長(zhǎng)為2a,母線與軸白勺夾角為30o,一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的倍,求兩底面半徑以及兩底面面積之和.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r,那么下底面半徑為2r,如圖為圓臺(tái)軸截面的一局部,S那么ASO30°,在RtSA'O'中,sin30°,SA'2rSA'在RtSAO中,2-sin30°,SA4r.SASASA'AA',4r2r2a,ra._2222SS1S2<42r)57r571a二圓臺(tái)的上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為

9、5舊2【答案】a、2a、5t02【例16】圓錐軸截面頂角為120,母線長(zhǎng)為1.求軸截面的面積；過(guò)頂點(diǎn)的圓錐的截面中,最大截面的面積.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】圓錐的軸截面為頂角為120的等腰三角形,腰長(zhǎng)為1,故高為1cos-,底22邊長(zhǎng)為2sin60用,從而軸截面面積為1石R;224過(guò)頂點(diǎn)的圓錐的截面都是等腰三角形,且腰長(zhǎng)為1,設(shè)頂角為,三角形的面積、八1sin為一11sin,22由軸截面的頂角為120知,0w120,故當(dāng)為直角時(shí),過(guò)頂點(diǎn)的截面有最大面積-.2【答案】;(2)1.42球的截面49n和400n.求球的【例17】在球心同側(cè)有相距9的兩個(gè)平行截

10、面,它們的面積分別為半徑.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】分析：畫(huà)出球的軸截面,利用球的截面性質(zhì),求球的半徑,解：設(shè)球的半徑為R,截面圓心分別記為O1,O2,如圖,A兀O2B249兀,O2B7同理兀OiA2400兀,01A20設(shè)OOix,那么OO2x9.在RtOOiA中,R2x2202;在RtOO2B中,R2(x9)272,x22072(x9)2,解得x15,._22_2_2Rx2025,R25.【答案】25.【例18】半徑為10的球的兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別為12支和16離.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】設(shè)兩個(gè)截面半徑分別為

11、r1,r2,那么27fl12%,271r216兀,解得16,上8.從而球心到兩個(gè)截面的距離分別為：d1Jr2128,d2RR2f226.,求這兩個(gè)截面間的距(1)(2)假設(shè)兩個(gè)截面在球心的同一側(cè),那么它們之間的距離為d1d22,如圖；假設(shè)兩個(gè)截面在球心的兩側(cè),那么它們之間的距離為d1d214,如圖.【答案】2或14.【例19】(2021四川卷8)設(shè)M,N是球心O的半徑OP上的兩點(diǎn),且NPMNOM,分別過(guò)N,M,0作垂直于0P的平面截球得三個(gè)圓,那么這三個(gè)圓的面積之比為()A.3:5:6B.3:6:8C.5:7:9D.5:8:9【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2021年,

12、四川高考【解析】D點(diǎn)評(píng)：此題涉及到線面垂直的概念,學(xué)生對(duì)于線面垂直的概念只是感性熟悉,包括后面學(xué)習(xí)的空間幾何體的體積公式中,椎體的高,也需要的是線面垂直的感性熟悉.【答案】D【例20】球面上有三點(diǎn)A、B、C組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn),其中AB18,BC24、AC30,球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半,求球的半徑.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】分析：此題的條件涉及球的截面,ABC是截面的內(nèi)接三角形,由此可利用三角形求截面圓的半徑,球心到截面的距離為球半徑的一半,從而可由關(guān)系式r2R2d2求出球半徑R.,AB18,BC24,AC30,AB2BC2

13、AC2,ABC是以AC為斜邊的直角三角形.ABC的外接圓的半徑為15,即截面圓的半徑r15,1又球心到截面的距離為dR,152,得R108.【例21】球的半徑為2,相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓.假設(shè)兩圓的公共弦長(zhǎng)為2,那么兩圓的圓心距等于A.1B.22C.曲D,2【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2021年,全國(guó)高考【解析】C;如圖,球心記為O,兩個(gè)圓面的圓心記為OO2,公共弦為AB,M為AB的中點(diǎn),記圓.1所在的平面為,圓.2所在的平面為,那么平面A平面,OOJ平面,0.2人平面,又ABAOM,ABA02M,而AB為兩個(gè)平面的交線,故02M人平面,OM人平面,

14、從而.1/02M,且四邊形OO1MO2為平行矩形.由ABA平面OO1MO2知,ABAOM,又OB=2,AB=2,故OM=J3=QO2,即為所求.【答案】3組合體的截面分析【例22】一個(gè)軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)軸截面是正方形的內(nèi)接圓柱,求它們的高的比值和母線長(zhǎng)的比值.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】如圖作軸截面的圖形,設(shè)圓柱的半徑為r,圓錐的半徑為R,S那么圓柱的高為OO12r,C1D1/AB,C1O1AO圓錐的高為SO乖R,四,即L與衛(wèi)SOR.3R解得：二2平3,它們的高之比為R圓柱的母線長(zhǎng)為2r,圓錐的母線長(zhǎng)為2R,故它們的母線長(zhǎng)之比為【答案】22星,

15、2點(diǎn)3.【例23】棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDABiGD1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的外表上,E,F分別是棱AAi,DDi的中點(diǎn),那么直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為.2.2A.+B.1C1;D.22.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2007年,湖南高考【解析】答案：D.正方體ABCDAiBiCiDi,如圖,設(shè)EF所在的大圓圓面截正方體EFGH,圓心為OAiEA由題意知面EFGHII面ABCD,四邊形EFGH為正方形,球半徑為R圓2又直線EF被球O截得線段長(zhǎng)即為大圓O截直線EF的長(zhǎng).如圖:MNNK2MK22【答案】D【例24】連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦.半徑為4的球的兩條弦AB、C

16、D的長(zhǎng)度分別等于2"、4邪,M、N分別為AB、CD的中點(diǎn),每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng),有以下四個(gè)命題：弦AB、CD可能相交于點(diǎn)MC.MN的最大值為5其中真命題的個(gè)數(shù)為A.i個(gè)B.2個(gè)【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2021年,江西高考【解析】先算出兩個(gè)弦心距分別為弦AB、CD可能相交于點(diǎn)NMN的最小值為1D,4個(gè)利用三角形的三邊的大小關(guān)系可知OMONMNOMON當(dāng)且僅當(dāng)AB與CD在同一個(gè)大圓面內(nèi)且相互平行時(shí)取等號(hào).是正確的AB與CD兩條相交直線直CDAB,只有CD為點(diǎn)評(píng)：用好三角形的三邊關(guān)系是此題的關(guān)鍵,另外,由線總可以確定一個(gè)圓面,如果要經(jīng)過(guò)一條弦的中點(diǎn),又

17、直徑,AB為弦,只能是經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn).【答案】C多面體與簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的外表最短距離問(wèn)題【例25如圖正方體ABCDABCQ,其棱長(zhǎng)為1,P,Q分別為線段AA,GD上的兩點(diǎn),且APCiQ.求在正方體側(cè)面上從P到Q的最短距離.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】將正方體相鄰兩個(gè)面展開(kāi)有以下三種可能,如圖.DiAi1PB甲Q一iQNDiCi乙由于兩點(diǎn)間線段最短,由側(cè)面展開(kāi)圖可知：三個(gè)圖形甲、乙、丙中PQ的長(zhǎng)即為兩點(diǎn)間的最短距離,分別為：前上PQ«121產(chǎn)4222左上PQ2左后PQJ211產(chǎn)22244旗122由于0<<1,式PQJ222A拒;式PQJ21

18、22>72最短距離PQa【答案】金.【例26】如圖,正三棱柱ABCDEF的底面邊長(zhǎng)為1,高為8,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)D點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為【備注】棱柱的外表距離問(wèn)題【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】將正三棱柱ABCAB£沿側(cè)棱CC1展開(kāi),其側(cè)面展開(kāi)圖如下圖,由圖中路線不難知道最短路線長(zhǎng)為10.【答案】10.【例27如下圖,正三棱錐SABC的側(cè)棱長(zhǎng)為i,ASB45°,M和N分別為棱SB和SC上的點(diǎn),求AMN的周長(zhǎng)的最小值.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】分析：將側(cè)面展開(kāi)化歸為平面幾

19、何問(wèn)題.將正三棱錐側(cè)面棱SA剪開(kāi),然后將其側(cè)面展開(kāi)在一個(gè)平面上,如下圖,連接AA',設(shè)AA'與SB交于M,交SB于N點(diǎn),顯然AA',也就是說(shuō)當(dāng)AM,MN,NA(NA')在一條直線上AA'的長(zhǎng)就是截面AMN的周長(zhǎng)最小值.SABBSCCSA'45°AMN的周長(zhǎng)lAMMNNA'時(shí),對(duì)應(yīng)得截面三角形周長(zhǎng)最短,那么SASAi,ASBASA'i35°AA'.SA2SA'22SASA'cosi35°2,2AMN周長(zhǎng)最小值為J2/【答案】.2.2【例28如圖,長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,

20、ABa,BCb,BBic,并且abc0.求沿著長(zhǎng)方體的外表自A到Ci的最短線路的長(zhǎng).AiBiaDi【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】分析：解此題可將長(zhǎng)方體外表展開(kāi),利用在平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)是兩點(diǎn)間的最短距離來(lái)解答.將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開(kāi)有以下三種可能,如圖.三個(gè)圖形甲、乙、丙中AC1的長(zhǎng)分別為：(ab)2c2v'a2b2c22ab,Ja2(bc)2Ja2b2c22bc.(ac)2b2a2b2c22acabc0,abacbc0.故最短線路的長(zhǎng)為ya2b2c22bc.【答案】a2b2c22bc【例29如下圖,設(shè)正三棱錐VABC的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a,

21、AVB.過(guò)A作與側(cè)棱VB,VC相交的截面AEF,求截面周長(zhǎng)的最小值.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】分析：將側(cè)面展開(kāi)化歸為平面幾何問(wèn)題.將正三棱錐沿側(cè)棱VA剪開(kāi),然后將其側(cè)面展開(kāi)在一個(gè)平面上,如下圖,連接AA',設(shè)AA'與VB交于E,交VC于F點(diǎn),顯然AEF的周長(zhǎng)lAEEFFA'>AA',也就是說(shuō)當(dāng)AE,EF,FA(FA')在一條直線上時(shí),對(duì)應(yīng)的截面三角形周長(zhǎng)最短,那么AA'的長(zhǎng)就是截面AEF的周長(zhǎng)最小值.由于AVB,因此在VAA'中可利用余弦定理求出AA'的長(zhǎng).如下圖為正三棱錐沿側(cè)棱VA剪

22、開(kāi)的側(cè)面展開(kāi)圖,AVB,那么在AVB中,由余弦定理得cos一sin一222(2a)(2a)a722a2a8152,cos22cos81732sin27.1532從而cos3coscos2sin2sin7128于是在AVA'中,由余弦定理得2_2_2_AA'(2a)(2a)22a2acos31212a1611所以AA'a為所求最小值.44【例30】如圖,圓臺(tái)上底半徑為1,下底半徑為4,母線AB18,從AB中點(diǎn)M拉一繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到A點(diǎn)A在下底面.求繩子的最短長(zhǎng)度；求繩子最短時(shí),上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解

23、析】如圖為圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖,由題意知,繩子的最短距離即為AM的長(zhǎng)度.設(shè)PBx,那么PAx18,有立必4圓心角相等xx18解得x6,故側(cè)面展開(kāi)圖中的APA'AP24,PM6915,由余弦定理得:2_22AM241522415cos-441,3故AM21,即繩子的最短長(zhǎng)度為取繩上任意點(diǎn)E',連結(jié)PE',交圓臺(tái)上底于點(diǎn)F',由于PF'6,因此當(dāng)PE'取最小值時(shí),F'E'取最小值,而點(diǎn)到線的垂直距離最短,過(guò)點(diǎn)P作PEAM,且與？B'交于點(diǎn)F,其中PF6,那么FE為上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離.2415sin-在PAM中,由面積公

24、式有PE321故FE60,36為所求的最短距離.7【答案】FE60、.367【例31】以A為頂點(diǎn)的正四面體ABCD,其棱長(zhǎng)為1,P,Q分別為AB,CD上的兩點(diǎn),且APCQ.求在正四面體側(cè)面上從P到Q的最短距離.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】由于兩點(diǎn)間線段最短,體的對(duì)稱性知,經(jīng)過(guò)棱因此側(cè)面展開(kāi)圖中的PQ長(zhǎng)即為兩點(diǎn)間最短距離：由正四面AD與過(guò)棱BC時(shí)側(cè)面展開(kāi)圖中PQ距離相等,如圖1與2,同理過(guò)棱BD與AC時(shí)PQ長(zhǎng)度相等,圖1C'D1.因此只需考慮以下兩種情況過(guò)棱AD時(shí),如圖2所示,沿AC展開(kāi),此時(shí)PQ1.過(guò)棱AC時(shí),如圖3所示,沿AD展開(kāi),由于AMPCM

25、Q,APCQBACACD60°,CMQ(AAS),AMCMPQ2c11一22cos60°42將兩種情況進(jìn)行比擬有:當(dāng)1時(shí),有.42當(dāng)>1時(shí),有C2故PQmm【答案】PQm博12>121212【例32如圖,在直三棱柱ABCAB1cl中,ABBC我,B02,ABC90,E、F分別為AAC1B1的中點(diǎn),沿棱柱的外表從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2005年,江西高考:側(cè)面展開(kāi)后如圖1所示.【解析】VABBC板,ABC90,;AC2.Ai'A1B1FC1EABC圖iA'IAiEAAi,2把AiBiCi

26、與側(cè)面AFAiBiBFAiBiBA展平如圖3.2,22所示.EF2AF9_2222圖2連結(jié)EF,過(guò)E作EMBiB,那么FMEF假設(shè)把AiBiCi與側(cè)面AACCi展平如圖3.連結(jié)EF,作EMCCi于M,作FDEM于D點(diǎn),那么EDFD,EF.3232",222比擬以上三條路徑,以第三條最小,EF間最短路徑為也.2【答案】也;2SB和【例33如下圖,正三棱錐SABC的側(cè)棱長(zhǎng)為i,ASB40o,M和N分別為棱SC上的點(diǎn),求AMN的周長(zhǎng)的最小值.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】過(guò)SA作正三棱錐側(cè)面展開(kāi)圖,如下圖,SNAM-?NA'(A)BCSASA1,

27、ASBBSCCSA'40oASA'120oAA'.SA2-SA'2_2SA-SA'cos1200'.3AMN周長(zhǎng)最小值為j3【答案】3球面距離【例34】在體積為4百的球的外表上有A,B,C三點(diǎn),AB1,BC夜,A,C兩點(diǎn)的3球面距離為,那么球心到平面ABC的距離為.3【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2021年,遼寧高考【解析】W;4汽34AR春,記球心為O,知AOC,于是ACRg,ABC2333為直角三角形,外接圓半徑為,于是球心到平面ABC的距離為2.3【例35】球O的半徑是1,A、B、C三點(diǎn)都在球面上,A、B兩點(diǎn)和A、

28、C兩點(diǎn)的球面距離都是,B、C兩點(diǎn)的球面距離是4,那么二面角BOAC的大小3B.71C.2【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2006年,四川高考【解析】球O的半徑是R=1,A,B,C三點(diǎn)都在球面上,A,B兩點(diǎn)和A,C兩點(diǎn)的球面距離都是一,那么/AOB,/AOC都等于ABAC,B,C兩點(diǎn)的球面距離是BC1,過(guò)B做BDAO,垂足為D,連接CD,貝UCDAD,貝UBDC二面角BOAC的平面角,BDCD也,BDC-,二面角BOAC的大小是,選C.222【答案】C【例36】A、B是半徑為R的球O的球面上兩點(diǎn),它們的球面距離為gR,求過(guò)A、B的平面中,與球心的最大距離是多少？【考點(diǎn)】截

29、面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】分析：A、B是球面上兩點(diǎn),球面距離為-R,轉(zhuǎn)化為球心角AOB-,從而22ABJ2R,由關(guān)系式r2R2d2,r越小,d越大,r是過(guò)A、B的球的截面圓的半徑.由于過(guò)AB的大圓到球心距離為0,因此要球最大距離那么過(guò)A、B的平面必為小圓,AB為小圓的弦,為使r小,那么AB為小圓的直徑時(shí),r最小.球面上A、B兩點(diǎn)的球面的距離為-R.AOB-,ABV2R.2當(dāng)AB成為圓的直徑時(shí),r取最小值,此時(shí)r1AB-2R,22d取最大值,dJR產(chǎn)RR,2即球心與過(guò)A、B的截面圓距離的最大值為?R.2【例37】A,B,C三點(diǎn)在球心為O,半徑為R的球面上,且ABAC

30、BCR,那么A,B兩點(diǎn)的球面距離為,球心到平面ABC的距離為.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】如右圖,ABR,所以O(shè)AB是等邊三角形,AOB-,故A,B兩點(diǎn)的球面距離為371ABC為等邊三角形,它的外接圓半徑r2,3R3R,323在RtOO1B中,OO1Jr2(2L1R)26-R,33所以球心到平面ABC的距離OO1§R.或者也可由正四面體OABC的棱長(zhǎng)為R,那么高為R.【答案】/R,攻R33【例38】A、B是半徑為R的球O的球面上兩點(diǎn),它們的球面距離為平面中,與球心的最大距離是多少?【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】

31、分析：A、B是球面上兩點(diǎn),球面距離為兀一兀一R,轉(zhuǎn)化為球心角AOB一,從而22AB/R,由關(guān)系式所以AB為圓的直徑時(shí),r2R2d2,r越小,d越大,r是過(guò)r最小.A、B的球的截面圓的半徑,解：二,球面上A、B兩點(diǎn)的球面的距離為.ABJ2R.一兀AOB一當(dāng)AB成為圓的直徑時(shí),r取最小值,此時(shí)r2ABdRr2即球心與過(guò)A、B的截面圓距離的最大值為2【例39】如圖球O的半徑為2,圓Oi是小圓,OiO&,A、B是圓Oi上兩點(diǎn),假設(shè)A,B兩點(diǎn)間的球面距離為立,那么3AO1B=【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2021年,陜西高考【解析】2AOBR一兀3AOB是ABR2.又0

32、1AO1BR2OO122,【例40】如圖,在半彳仝為3的球面上有平面ABC的距離是述,那么2A、B、C三點(diǎn),ABCB、C兩點(diǎn)的球面距離是90o,BABC,球心O到D.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2021年,四川高考垂足O是AC的中點(diǎn).【解析】AC是小圓的直徑.所以過(guò)球心O作小圓的垂線,OC3,即BCOBOC,兀C兩點(diǎn)的球面距離是一3兀3此題涉及到點(diǎn)到平面的距離,可根據(jù)學(xué)生情況酌情處理是否講解.【答案】C.【例41】球面上有3個(gè)點(diǎn),其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的1-,經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小6圓的周長(zhǎng)為4叫求這個(gè)球的半徑.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【

33、關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識(shí)求解.設(shè)球的半徑為R,小圓的半徑為r,那么271r4tz,r2.如下圖,設(shè)三點(diǎn)為A、B、C,O為球心,27rTTAOBBOCCOA=.63又OAOB,AOB是等邊三角形,同樣,BOC、COA都是等邊三角形,得ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)等于球半徑R.r為ABC的外接圓半徑,rABR,R2r2石.333【答案】2.3E,F分【例42如圖,O是半徑為1的球心,點(diǎn)A,B,C在球面上,OA,OB,OC兩兩垂直,別是大圓弧AB與AC的中點(diǎn),那么點(diǎn)E,F在該球面上的球面距離是.2r兀兀r炎兀A.B.-C.-D.B【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】選擇【

34、關(guān)鍵詞】2006年,浙江高考【解析】由于E,F分別是大圓弧AB與AC的中點(diǎn),有EOGBOE45o2J2兀EG1sin-FG,EGF422EFEG2-FG21OEOFEOF3,【答案】.點(diǎn)E,F的球面距離為71713【例43】A,B,C,D在同一個(gè)球面上,AB平面BCD,BCCD,假設(shè)AB6,AC2而,AD8,那么B,C兩點(diǎn)間的球面距離是【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2021年,江西高考【解析】?；如圖,取AD中點(diǎn)O,BD的中點(diǎn)E,連結(jié)OE,那么OEIIAB,從而OE平面BCD,又E為RtBCD的外接圓圓心,故OBOCODOA,從而O為球心,球的半徑為4,又BC7(2V

35、13)2624,故BOC工,B,C兩點(diǎn)間的球面距離為-447t.3333【例44】如果把地球看成一個(gè)球體,那么地球上的北緯60緯線長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)的比值為A.0.8B.0.75C.0.5D.0.25【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2021年,遼寧高考【解析】答案：C設(shè)地球半徑為R,那么北緯60緯線圓的半徑為Rcos601R2而圓周長(zhǎng)之比等于半徑之比,故北緯60緯線長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)的比值為0.5.【答案】C.【例45】在半徑為R的球面上有A,B兩點(diǎn),球心為O,半徑OA,OB的夾角是那么3A,B兩點(diǎn)的球面距離為.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】由于O為

36、球心,故半徑OA,OB所在的圓即為大圓,由球面距離的定義知：圓3心角所對(duì)的弧長(zhǎng)即為所求的球面距離,等于-R.33【例46】在北緯60緯線上有A,B兩地,它們分別在東經(jīng)60°與西經(jīng)120°的經(jīng)線上,設(shè)地球半徑為R,求A,B兩地的球面距離.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】無(wú)【解析】如下圖,設(shè)60°緯線圈圓心為O一那么QAO1B為緯線圓半徑,°1_01ARc°s60-R-2如圖,地球中央為O,那么AO1B120°60°180°AB為緯線圈的直徑,即ABR【答案】R【例47】地球的半徑為R,球面上A

37、,B兩點(diǎn)都在北緯45圈上,它們的球面距離為-R,3A點(diǎn)在東經(jīng)30上,求B點(diǎn)的位置及A,B兩點(diǎn)所在的緯線圈上對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度.【考點(diǎn)】截面與距離問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】【關(guān)鍵詞】無(wú)求點(diǎn)B的位置,如圖就是求AOB的大小,只需求出弦AB的長(zhǎng)度.對(duì)于AB應(yīng)把它放在OAB中求解,根據(jù)球面距離概念計(jì)算即可.如圖,設(shè)球心為O,北緯45圈的中央為O1,.,一.一、一TT由A,B兩點(diǎn)的球面距離為-R,所以O(shè)AB為等邊三角形.于是ABR.""2由OiAOiBRcos45R,2_2_2_2一.兀OiAOiBAB.即AOiB-.120,W匕緯45或者西經(jīng)60,W匕緯452又A點(diǎn)在東經(jīng)3

38、0上,故B的位置在東經(jīng)OiA-A,B兩點(diǎn)在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度為【答案】24【例48】從北京A靠近北緯45°、東經(jīng)120°,以下經(jīng)緯度均取近似值飛往南非首都約翰內(nèi)斯堡B南緯30°、東經(jīng)30°,有兩條航空線可供選擇：甲航空線：從北京A沿緯線向西飛到土耳其首都安卡拉C北緯45°、東經(jīng)30°,然后向南飛到目的地B.乙航空線：從北京A沿經(jīng)線向南飛到澳大利亞的珀斯D南緯30°、東經(jīng)120°,然后向沿緯線向西飛到目的地B.請(qǐng)問(wèn)：哪一條航空線較短？如果這條航線的兩段都分別選擇最短路線,那么這條航線的總長(zhǎng)為多少？地球視為半徑R的球【考點(diǎn)】截面與距離