立體幾何中的向量方法三

1、3.2立體幾何中的向量方法(三)【學習目標】1.理解直線與平面所成角的概念2能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題3體會用空間向量解決立體幾何問題的三步曲.問題導學知識點利用空間向量求空間角思考1空間角包括哪些角？答案線線角、線面角、二而角.思考2求解空間角常用的方法有哪些？答案傳統(tǒng)方法和向量法.梳理空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應的取值范圍，結合它們的取值范圍可以用向量法進行求解.(1)線線角：設兩條直線的方向向量分別為。，b,且。與力的夾角為夕，兩條直線所成角為仇a-b則cos8=跑"=前面(2)線而角：設為平面a的一個法向量，。為直線的方向

2、向量，直線"與平面a所成的角為仇則(y,當。，£0,勺,(。，n)甘，當a,n)£(兀.二面角的求法：轉化為分別在二面角的兩個半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的方向向量的夾角(注意：要特別關注兩個向量的方向).如圖所示，二面角。一/一£的大小為6,A,BWhACUa,AC_L/于A,BO_L/與B,則8=(AC.BD)=(CA.DB).先求出二面角一個而內(nèi)一點到另一面的距離及到棱的距離，然后通過解直角三角形求角.如圖所示，己知二而角仁一/一£,在a內(nèi)取一點P,過P作PO_L£,PALL垂足分別為。，A,連接A0,則AOL成立，所以N以

3、。就是二而角的平面角.先求出二面角的兩個半平面的法向量的夾角，然后結合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補角的大小，從而確定二面角的大小.題型探究類型一求兩條異面直線所成的角例1如圖所示，三棱柱Q48-OiA囪中，平面088101，平而OAB,NOQ5=60。，ZA05=90%且0B=001=2,。4=正，求異面直線A山與AOi所成角的余弦值的大小.解建立如圖所示的空間直角坐標系，則0(000),Oi(0Jt小),A(W，0,0),4(小，1,小)，8(020),"山=(一小，1,一小)，。0=(誨，1,小).：.Icos瓶IMBMtMl1(一小，1,一小),(小91，一小

4、)|J木.小7異面直線A由與AO1所成角的余弦值為劣反思與感悟在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構建空間直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解.但應用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別.跟蹤訓練1正方體A8COABCid中，E、E分別是AU、AiG的中點，求異而直線AE與b所成角的余弦值.解不妨設正方體棱長為2,分別取D4,DC,所在直線為x軸，)，軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則42,0.0),C(0,2,0),E(1.0.2),F(l,l,2),則成=(-1,0,2),CF=(1,-1.2),.,.屈=小，I而=加，AECF=-14-0+4=3

5、.又恁G=lAtl*os<AE,CF>=-30cosAE,CF),Acos<AE,CF)=嚅，所求值為曙.類型二求直線和平面所成的角例2正三棱柱ABC-ACi的底面邊長為側棱長為建小求AG與側面A84所成的角.解建立如圖所示的空間直角坐標系,則4(000),8(0,a,0),4(0,0,g),G(一殺人米版,方法一取48的中點則M(0,會曲),連接AM,MG,有疝7尸(一當40.0）,茄=（0,a,0）,AA1=（0,09：.MCiAB=09證1,君1=0,：.MCLAB,.WCilAAi,則MGLAB,MCiLAAi,又ABAAA尸A,，“。，平面48514.ZCjAW是A

6、G與側面ABBS所成的角.由于危產(chǎn)（一格，冬/JAa/=（o,宗g）,：.ACrAM=0+2a2=,V（ACuAM）G0o,180°,/.<AChAM>=30。,又直線與平面所成的角W，901，AC】與側面A助Mi所成的角為30°.方法二貓=（0,4,0）,君1=（0。）,AG=（一曰”,巾a）.設側面A58Ai的法向量=（九y9z）,.n-AB=0且/AAi=0.ay=0且娘az=0.，y=z=O.故=(L0,0).小AGl/dL4Cil/.Icos<AC|,n)l=y乙又直線與平面所成的角£0°,90T，AG與側面所成的角為30&#

7、176;.反思與感悟用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量的有關知識求解線面角.方法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算.跟蹤訓練2如圖所示，己知直角梯形A8CO,其中A8=3C=24Q,ASJ_平而ABC。，AD/BC,ABLBC,且AS=A8.求直線SC與底而A8CO的夾角8的余弦值.解由題設條件知，以點A為坐標原點，分別以AO.A&AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系(如圖所示).設A8=l,則4(0,0,0),5(0,1,0),C(l,L0),4;,0,0),5(0,0,1).,花

8、=(0.0.1),C5=(-h-L1).顯然杰是底面的法向量，它與已知向量A的夾角6=90。一仇.八八ASCS1J3故有sin=cos=-7=-IASIICS1乂3.VG090,cossin2=.類型三求二面角例3在底而為平行四邊形的四棱錐P-ABCO中，ABLAC,以，平面A8CQ,且%=A8,E是尸。的中點，求平面EAC與平而ABCD的夾角.解方法一如圖，以A為原點，分別以AC,AB,AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設出=A8=mAC=，連接3。與AC交于點O,取A。中點F,則。(h0,0),B(0,«0),BA=CD.，。(，一4,0),尸(0,0,4),OE

9、=(0,9AC=(b.O,O).vdkXc=o,/.OE±AC,OF=BA=(0,一米0),OFAC=0.：.OF±AC.：.NEOE等于平面EAC與平面ABC。的夾角（或補角）.cosBe、of="正-=乎.OEOFy'，平面EAC與平面A8CQ的夾角為45。.方法二建系如方法一，用"1_平而"CD,，成=（0.0,為平面ABCD的法向量,元=(40.0).設平面AEC的法向量為m=（x,y,z）.叱號。,付一一6x=0.，x=0,y=z,，取i=（0,l/），,;、fn-APay2cos5i,AP）=-7=.I/hILAPI2，平面

10、AEC與平面ABCD的夾角為45°.反思與感悟（1）當空間直角坐標系容易建立（有特殊的位置關系）時，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單的運算即可求出，有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大?。ㄏ嗟然蚧パa），但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結論，因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的.（2）注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.跟蹤訓練3若B4_L平面ABC,AC±BC.PA=AC=,BC=小,求二面角AP8C的余弦值.解如圖所示建立空間直角坐標系，則A(0.0,0),8(陋，1.

11、0),C(0.1,0),P(OOl),故而=(0.0.1),魂=(也，1,0),嘉=(巾,0,0),CP=(0,-14),設平面以B的法向量為m=(x.y,z),m-AP=Q.f(x,y,z)(0,0,1)=0,m.AB=0限W"(0,1,0)=0,z=0,、港a+)=0,則y=一近，故zw=(l,一5，0).設平面P8C的法向量為=(xr,y'，z),宿=0,)/，z),(碑，0,0)=0,則3=>1'n，cp=Q1(，V，z，)(o,-i,i)=oJgj=0,l-yz+z，=0.令y'=-1,則z'=1,故=(0,-1,1),/迫cos5,而

12、=麗=早又丁二面角APBC是鈍二面角，.二面角APBC的余弦值為一坐.當堂訓練1.在一個二面角的兩個半平而內(nèi),與二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,L3),(2,2,4),則這個二面角的余弦值為()B.華D半或-半A足A6c應答案D物圻占(°，一1，3)(2,2,4)解析由一j=1Jl+9X4+4+16_-2+12V15一回又用一6，知這個二面角的余弦值為隼或一等,故選D.2 .在正三棱柱ABC-AiB中，已知A8=1,。在棱8以上，且BD=1,則AD與平而AAiCiC所成角的正弦值為()A*B.邛C回D.亞答案A解析取AC的中點為E,連接8E,則BEL4C,建立如圖所示的空間直角坐

13、標系，則4坐0),0(0,01)，8(0.09),E咨,00),;平面ABCLL平面A4GC,平面A8CA平面A4iGC=AC,BEA.AC,5EU平面ABC,，8£_1_平面從4。(7,0.0)為平面/UCC的一個法向量.設AD與平面A4CC所成角為a,_3Vcos歷，BE>=一、=一半,小當又曾£0,.，sina=lcos(AD,BE)1=*.3 .已知在正四棱柱ABC。一中，A4=24&則CO與平面8。所成角的正弦值是()A.|B羋C坐答案A解析以。為原點，分別以反，DC.而i的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，設A4=2A8=

14、2,貝8(1,10),C(O1.O),0(000),C】(0,l,2),故協(xié)=(1。)，虎產(chǎn)(0,1,2),5t=(0,1,0),設平面80G的法向量為=(x,y,z),n-DB=0,叫_nDCi=0.x+y=0,了+2z=0,令z=l,則y=-2,x=2,所以=（2,-2,1）.sin=lcos，DO1=uDd2=3Inl-IDCI4.正A3C與正BCD所在平面垂直，則二面角A-8。一。的正弦值為答案p/5解析取8。的中點O,連接AO,DO、建立如圖所示的空間直角坐標系，設8c=1,則A(0.0,0,0).3(0,0),所以昂=(0,0,*),BA=(0,5,設直線CD與平面BOG所成的角為

15、仇祐=瀉,0).殖=（0.0,乎）為平面BCQ的一個法向量.由于麗=（0,I，坐），應）=（坐，0）.設平面從8。的一個法向量為=（x,y,z）.n-BA=O.則s所以=（1,一®1）,取刀=1,則y=一小，z=l,亞L21s所以cos（，OA）=-7=-=華當鄧因為，OA>£0,句,所以sin5.在矩形A8CQ中，AB=,BC="P4_L平而A8CD,M=h則PC與平面A8CO所成的角是.答案30。解析建立如圖所示的空間直角坐標系，則尸(00.1),C(l,®0),PC=(1,業(yè)-1),平面ABC。的一個法向量為=(0。1),所以cos(PC,、

16、PCII1=-=-2*paii一又因為(PC,n)e01801所以反;=120°,所以斜線PC與平面ABC。的法向量所在直線所成角為60。，所以斜線PC與平面ABCD所成角為30。.(規(guī)律與方法)(1)利用法向量求直線4B與平面a所成的角8的步驟：第一步，求平面a的法向量；第二,»步，利用公式sin6=lcos(茄，加|=當曲，注意直線和平面所成角的取值范圍為0，901.(2)利用法向量求二而角的余弦值的步驟：第一步，求兩平面的法向量；第二步，求兩法向量的夾角的余弦值：第三步，由圖判斷所求的二面角是銳角、直角，還是鈍角，從而下結論.在用法向量求二而角的大小時應注意：平面的法

17、向量有兩個相反的方向，取的方向不同求出來的角度當然就不同，所以最后還應該根據(jù)這個二面角的實際形態(tài)確定其大小.40分鐘課時作業(yè)強化訓練拓展提升一、選擇題1.若直線的方向向量與，2的方向向量的夾角是150。，則與/2這兩條異面直線所成的角等于（）A.30°B.150°C.30。或150。D.以上均錯答案A解析異面直線所成角的范圍是（0。,90。,所以八與A這兩條異面直線所成的角為180°-150°=30°2.已知兩平而的法向量分別為機=（0.1,0）,則兩平面所成的二面角為（）A.45°B.135°C.45。或135。D.90&

18、#176;答案C解析cosm,n>=麗=不=勺，即0w,n>=45。.所以兩平面所成二面角為45?；?80。-45。=135。.3.設直線/與平面a相交，且,的方向向量為。，a的法向量為，若。，=牛，則/與a所成的角為（）2兀八兀A.-yB.j一兀-57rC6D-6答案C解析線面角的范圍是o,.2it）=犯，./與法向量所在直線所成角為看：.1與a圻成的角為也4 .已知在棱長為2的正方體ABCO-A山1GA中，七是。C的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A叢與所成角的余弦值為（）A曙B.C.yio10D.VTb一5答案A解析A(220),8(2Q2),E(0,1,0),5(02

19、2),，后=(0,-2,2),說=(0,l,2),，腦ii=245,1前1=4,赤麗=02+4=2,Acos(AB9ED)魂毋i_2回LASillEDil2也X于10'.,.AS與Ed所成角的余弦值為嚅.5 .如圖所示，已知點尸為菱形ABC。外一點，且用，面ABC。，PA=AD=AC,點尸為PC中點，則二而角。一5/一。的正切值為（）A*D,羊答案D解析如圖所示，連接8。，ACOBD=O.連接OF,以。為原點，OB,OC,。尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系。町憶.設PA=AD=AC=9則BD=y13.所以8停,0,0）,電,0,；）,C（0,0）,0（一半,0,0）.

20、結合圖形可知，沅=（0,0）且次為面88的一個法向量,由詫=(坐,0),兩=售,0,一；),可求得面的一個法向量為=(1,小,小).所以cos。1,0C)sin(w,0C)=,所以tan</,0C)6已知矩形ABC。與ABEF全等，。一48一七為直二而角，M為A5中點,FM與BD所成角為仇且cos8=*.則AB與BC的邊長之比為()A.1：1B.艱：1C.2：2D.1：2答案C解析設A8=",BC=b,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,則相關各點坐標為ES.0.0),M0,0),B(0,%0),0(0,0,b).-*ClFM=(b,J*0)，所以I麗1=7尻+號,I彷l=d

21、42+2,2而麗=一號,IcosFM,整理得，4/+5(，)-26=0,所以BC=b=2.BD=(0,a,/?),二、填空題7.若兩個平而a,£的法向量分別是=(1。1)，。=(-1,1,0).則這兩個平面所成的銳二而角是.答案60。解析COS（，V）1I歷后=一2且，。SO1801,，v>=120。,故兩平面所成的銳二面角為60。.8 .如圖，平面用平面ABC。，A5CQ為正方形，/力。=90。，且用=AD=2,E,E分別是線段用，。的中點，則異而直線EF與B。所成角的余弦值為.解析建立如圖所示空間直角坐標系，則氏0。1),尸(120),8(2,0。),。(0,2.0).彷=

22、(-2,20),故cosEF,BD)69 .在空間四邊形OABC中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=則cos51,BC)的值為答案0解析醇比=豆(沆一無)=殖詼一萬V五=OA-OCcos-idAlddBIcos卜4南(I亦一麗)=0.一OABCecos0A,BC=0.OA-BC三、解答題10.二面角的棱上有A、B兩點,直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平而內(nèi)，且都垂直于A反已知AB=4,AC=6,80=8,CO=26，求該二面角的大小.解由條件，知之麻=0,矗麗=0,CD=CA+AB+BD.bP=l以P+篇P+I麗F+2近益+2/S,筋+2為屈=62+42+82+2X6X8cos<C

23、A,BD)=(2亞R/.cos<CA,BD=一；，<CA,BD>G0°,1801,(CA,BD)=120°,二面角的大小為60°.11.如圖，三棱柱A8C-48iG中，CA=C8,AB=A4i,ZBA4i=60°.(1)證明:A8J_A】C；若平面"UL平面A4由BA8=C8=2,求直線AC與平面88cC所成角的正弦值.證明如圖，取A8的中點0,連接。、40.C|VC4=CB,：.CO±AB,又A4=A8,：.AAi=2AO9又NAp4O=60。，NAQA】=90。，即A8_LA。，又AQnoc=o,，48，平面從1

24、。，4iCU平面4OC,JABLAC（2）解以。為原點，OA所在直線為x軸，Q4所在直線為），軸，OC所在直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則以1,0,0）,4（0,巾,0）,3（1,0,0）,C（0.0,?。?8（-2,小,0）,則詫=（10,楙,麗產(chǎn)（一1,小,0）,指=（0,一小,誨），!1,BC=09設=a，y,z）為平面38CC的一個法向量，則j_x+yj3z=0、一x+4=0令Z=-1,則x=4，y=l,所以=（小,1,一1）為平面8&GC的一個法向量,所以直線AC與平面B8CC所成角的正弦值sin8=lcos/fit,1=-.12 .如圖所示，直棱柱ABC-A山C中

25、,D,E分別是A8,的中點,AA=AC=CB=（1）證明:BG平面4CD；（2）求二面角D-AiC-E的正弦值.證明連接AG，交AC于點F,連接OF,則尸為AG的中點，因為。為AB的中點,又因為ORz平面AC。，8CN平面ACO,所以BG平面AC。解由IAA11=LACI=ICH=坐啟81,可設:IABI=2a,則L44I=L4CI=IC8=V,所以AC_L8C,又由直棱柱知CG_L平面ABC,所以以點C為坐標原點，分別以C4,CB,CG所在直線為x軸，y軸,z軸，建立空間直角坐標系如圖.則C(OAO),A(y2a,0.yflii),乎”，孝”，0),£(0,也“，坐j,CAi=(0

26、,島)，加=凈,冬，0),=(0,取I,2a,一孝“)設平面AiC£)的一個法向量為=(x,y,z),則西=0且曰=0,可解得y=-x=z,令x=l,得平面AC。的一個法向量為=(1,-1,1),同理可得平面4CE的一個法向量為1=(2，-2),貝Icos，m)=號，又因為(，m>e0180°,所以sin<，m)=卓，J所以二面角D-AC-E的正弦值為半.13 .如圖所示，在四棱錐E-A8C。中，平而石4。_1_平面ABC。，DC/AB.BCtCD,EA工ED,AB=4,BC=CD=EA=ED=2.(1)證明：BDLAEx(2)求平面EAD和平而COE所成角(銳

27、角)的余弦值.(1)證明因為8CJ_CQ,BC=CD=2,所以80=2吸，又因為E4_LE。，EA=ED=2,所以AD=2W.又因為/W=4,由勾股定理知又因為平面平面ABC。，平面E4OU平面ABCQ=AO,BDU平面ABCD,所以8OJ_平面E4D又因為AEU平面EA。，所以8OL4E.解如圖，取AO的中點。，連接0E,則。E_LAD,因為平面EAO_L平面A8CO,/平面E4OPI平面ABCD=AD,/OEU平面E4D,4所以OE_L平面A8CD取AB的中點F,連接OF,則0F8D因為BO_L4。，所以OF_L4D以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則D（一也0,0）,C

28、（一2小,巾,0）,E（0,0,碑），DC=（-yf2,m，0）,DE=（yf2,0,y/2）.設平面CQ£的一個法向量為i=（x,y,z）,DC«i=0t則'_IdEwi=0.x+y=0,所以Icx+z=0.令x=l,可得平面CDE的一個法向量川=（1，-1）.又平面AOE的一個法向量為/12=（0.1,0）.因此ICOSOh,“21=翳曷=坐所以平面ADE和平面CDE所成角（銳角）的余弦值為坐.3.2立體幾何中的向量方法(三)(學生版)【學習目標】1.理解直線與平面所成角的概念2能夠利用向量方法解決線線、線而、而面的夾角問題3體會用空間向量解決立體幾何問題的三步

29、曲.問題導學知識點利用空間向量求空間角思考1空間角包括哪些角？答案線線角、線面角、二面角.思考2求解空間角常用的方法有哪些？答案傳統(tǒng)方法和向量法.梳理空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應的取值范圍，結合它們的取值范圍可以用向量法進行求解.(1)線線角：設兩條直線的方向向量分別為跖b,且。與力的夾角為如兩條直線所成角為仇a-b則cos6=跑"=而而.(2)線面角：設為平而a的一個法向量，。為直線的方向向量，直線”與平面a所成的角為仇則.-(a,n),當(a,n)e0,芻，(a,n)-.當(a,n)£(.tt.(3)二而角的求法：轉化為分別在二面角的兩

30、個半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的方向向X量的夾角(注意：要特別關注兩個向量的方向).1如圖所示，二而角a-/一£的大小為6，A,B0,ACUa,8OU£,ACJJ于A,BDAJ與B,則6=<AC,BD=iCA.DB).先求出二面角一個而內(nèi)一點到另一面的距離及到棱的距離，然后通過解直角三角形求角.如圖所示，己知二面角a一/一£，在a內(nèi)取一點P,過戶作POJ_£,PALI,垂足分別為。，A,連接A0,則AO_L/成立，所以就是二面角的平面角.先求出二面角的兩個半平面的法向量的夾角，然后結合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補角的大小，從而

31、確定二面角的大小.題型探究類型一求兩條異面直線所成的角例1如圖所示，三棱柱OAB-O】Ai當中，平面088。，平而OAB,/。8=60。，NAO8=90。，且08=00=2,。4=小，求異而直線45與AOX所成角的余弦值的大小.反思與感悟在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構建空間直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解.但應用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)另L跟蹤訓練1正方體A8CO-A山中，E、F分別是A。1、4G的中點，求異而直線AE與CF所成角的余弦值.類型二求直線和平面所成的角例2正三棱柱ABC-ACi的底面邊長為側棱長為建小求AG與側面A84所成

32、的角.反思與感悟用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量的有關知識求解線面角.方法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算.跟蹤訓練2如圖所示，已知直角梯形ABCD,其中AB=3C=1W,AS_L平面ABC。，AD/BC,AB1BC,且AS=AB.求直線SC與底而ABC。的夾角6的余弦值./類型三求二面角例3在底而為平行四邊形的四棱錐P-A8c。中，ABLAC,也，平面A8CO,且出=",E是P。的中點，求平而E4C與平面A3C。的夾角.反思與感悟（1）當空間直角坐標系容易建立（有特殊的位置關系）時，用向量

33、法求解二面角無需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單的運算即可求出，有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大?。ㄏ嗟然蚧パa），但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結論，因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的.（2）注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.跟蹤訓練3若平而ABC,AC1,BC,PA=AC=,BC=求二面.角APBC的余弦值.當堂訓練1 .在一個二面角的兩個半平而內(nèi)，與二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,L3),(224),則這個二面角的余弦值為()A.乎bTD.<104()A.|B羋C*D孌或-華2 .在正三棱

34、柱ABC-ABCi中，已知A8=1,。在棱8S上，且BD=1，則AD與平面AA.C.C所成角的正弦值為()B邛3 .已知在正四棱柱ABCZ)ASGd中，則CO與平面8OG所成角的正弦值是4 .正A3C與正BCD所在平面垂直，則二面角A-3。一。的正弦值為5 .在矩形力8c。中，A3=l,BC=p,用_1_平而ABC。，PA=,則PC與平而ABC。所成的角是(規(guī)律與方法.)(1)利用法向量求直線A3與平而a所成的角6的步驟：第一步，求平面a的法向量；第二步，利用公式sin6=lcos(AB,n)|=3"，注意直線和平面所成角的取值范圍為0，90。.IA疥川(2)利用法向量求二而角的余弦值的步驟：第一步，求兩平面的法向量；第二步，求兩法向量的夾角的余弦值：第三步，由圖判斷所求的二面角是銳角、直角，還是鈍角，從而下結論.在用法向量求二而