正多邊形和圓及圓的有關(guān)計(jì)算

1、正多邊形和圓及圓的有關(guān)計(jì)算一、知識(shí)梳理：1正多邊形和圓各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。定理：把圓分成n (n>3)等分：(1) 依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)按正多邊形；(2) 經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n 邊形。定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。正多邊形的外接(或內(nèi)切)圓的圓心叫正多邊形的中心。外接圓的半徑叫正多邊形的半 徑，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距。正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫正多邊形的中心角。正n邊形的每個(gè)中心角等于 360-n正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱

2、軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正 n邊形的中心。若n為偶數(shù)，則正n邊形又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。邊數(shù)相同的正多邊形相似，所以周長(zhǎng)的比等于邊長(zhǎng)的比，面積的比等于邊長(zhǎng)平方的比。2、正多邊形的有關(guān)計(jì)算正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n -2)18°n定理：正n邊形的半徑和邊心距把正 n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。正多邊形的 有關(guān)計(jì)算都?xì)w結(jié)為解直角三角形的計(jì)算。3、畫正多邊形(1) 用量角器等分圓(2)用尺規(guī)等分圓正三、正六、正八、正四及其倍數(shù)(正多邊形)。正五邊形的近似作法(等分圓心角)4、圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)nR(1)圓周長(zhǎng)C= 2 n R; (2)弧長(zhǎng)L =1805、圓扇形，弓形的面積2(I

3、 )圓面積：S - R ;(2) 扇形面積：一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。n兀R2在半徑為R的圓中，圓心角為 n°的扇形面積S扇形的計(jì)算公式為：S扇形二360注意：因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng) L二農(nóng)。所以扇形的面積公式又可寫為S扇形=1LR180 2(3) 弓形的面積由弦及其所對(duì)的弧組成的圓形叫做弓形。弓形面積可以在計(jì)算扇形面積和三角形面積的基礎(chǔ)上求得。如果弓形的弧是劣弧，則弓形面積等于扇形面積減去三角形面積。若弓形的弧是優(yōu)弧，則弓形面積等于扇形面積加上三角形面積。（4）圓柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖 a、圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖圓柱可以看作是由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如把矩形ABCD繞邊

4、AB旋轉(zhuǎn)一周得到的圖jy A形是一個(gè)圓柱。（如圖所示）AB叫圓柱的軸，圓柱側(cè)面上平行軸的線段CD , C'D ',都叫圓柱的母線。圓柱的母線長(zhǎng)都相等，等于圓柱的高。圓柱的兩個(gè)底面是平行的。RAB=咼，AC=底面圓周長(zhǎng)。C圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖6 17,其中S 側(cè)面=2 n Rh圓柱的軸截面是長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為h, 邊長(zhǎng)為2RR是圓柱底半徑，h是圓柱的高。如圖所示b、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖圓錐可以看作由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到。如圖所示，把 Rt OAS繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形就是圓錐。旋轉(zhuǎn)軸SO叫圓錐的軸，連通過(guò)底面圓的圓心，且垂直底面。連結(jié)圓錐頂點(diǎn)和底面圓的任意一點(diǎn)的SA

5、、SA',都叫圓錐的母線，母線長(zhǎng)都相等。圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如所示是一個(gè)扇形SAB半徑是母線長(zhǎng)，AB是2 n R。（底面的周長(zhǎng)），所以圓錐側(cè)面積為 S側(cè)面=n RL.二、典型例題：1如圖，六邊形 ABCDEF是正六邊形，曲線 FK1K2K3K4K5K6K7邊形的漸開(kāi)線”其中 FK1,Kg,K2K3,K3K4,K4K5,K5K6,依次按點(diǎn)A, B, C, D, E, F循環(huán)，其弧長(zhǎng)分別記為 "，"，13, 14, ", b, 當(dāng) AB = 1 時(shí)，12 011 等于（叫做正六的圓心201仁201仁一 2011-：A.B.C.二一D.2342oii 二2如圖，一張

6、半徑為1的圓形紙片在邊長(zhǎng)為 a（a3）的正方形內(nèi)任意移動(dòng)，則在該正方形內(nèi)，這張圓形紙片不能接觸到的部分”的面積是（）2A. a -二B. (4-Ja2C. :D. 4-二6CT60 °此).D. 4 3如圖，直徑 時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B'則圖中陰影部分的面積是（A. 3 二B. 6C. 5 二4.以數(shù)軸上的原點(diǎn) 0為圓心,3為半徑的扇形中，圓心角 AOB =90】另一個(gè)扇形 是以點(diǎn)P為圓心,5為半徑，圓心角 CPD 60 ,點(diǎn)P在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù) a,如圖,AB為6的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)如果兩個(gè)扇形的圓弧部分（AB和CD ）相交,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是5已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如

7、圖所示，直徑平行于地面放置，搬動(dòng)時(shí)為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面， 再將它沿地面平移50m，半圓的直徑為 4m,則圓心O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是 m。（結(jié)果用n表示）6如圖，在正方形 ABCD內(nèi)有一折線段，其中 AE丄EF , EF丄FC ,并且AE=6, EF=8 , FC= 10,則正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面j4 AiXi JiEll國(guó)2積為7如圖，將邊長(zhǎng)為 a的正六邊形A1A2A3A4A5A6在直線I上由圖1的位置按順時(shí)針?lè)较蛳蛴易鳠o(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)Ai第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)Ai所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為.8如圖3,自行車的鏈條每節(jié)長(zhǎng)為2.5c

8、m，每?jī)晒?jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為0.8cm ,如果某種型號(hào)的自行車鏈條共有60節(jié)，則這根鏈條沒(méi)有安裝時(shí)的總長(zhǎng)度為 .60節(jié)9. 如圖，已知O O的半徑為2,弦AB丄半徑OC,沿AB將弓形ACB翻折，使點(diǎn)C與圓心O重合，則月牙形（圖中實(shí)線圍成的部分）的面積是 .10. 如圖，在扇形 OAB中，/ AOB= 90°，半徑 OA= 6將扇形 OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn) O恰好落在AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C, 求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積.;11. 閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題.經(jīng)過(guò)正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫作這個(gè)正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對(duì)稱中心，這個(gè)正四邊形叫作這

9、個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形.如圖，已知正四邊形 ABCD的外接圓OO , OO的面積為S，正四邊形 ABCD的面積為 S2 以圓心O為頂點(diǎn)作ZMON，使NMON =90° .將ZMON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別 與OO相交于點(diǎn)E、F ,分別與正四邊形 ABCD的邊相交于點(diǎn)G、H .設(shè)由OE、of、Ef及正 四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中的陰影部分）的面積為 S .（1 ）當(dāng)OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)（如圖），則S Sp S2之間的關(guān)系為：S=（用含S、S的代數(shù) 式表示）；（2）當(dāng)OM 1AB時(shí)（如圖 ），點(diǎn)G為垂足，則（1 ）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 當(dāng)乂MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí) (如圖

10、 )，貝卩(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.三、鞏固練習(xí):1. 如圖，在？ABCD中，AD = 2, AB= 4，/ A = 30°,以點(diǎn) A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交 AB于點(diǎn)E,連結(jié)CE,則陰影部分的面積是 .乂_一2. 如圖所示，A是半徑為1的O O外一點(diǎn)，0A= 2, AB是O O的切線，.-B為切點(diǎn)，弦BC / OA,連結(jié)AC,陰影部分的面積為 . ae a3個(gè)扇形的圓心角為120 °半徑為3,則這個(gè)扇形的面積為 4在半徑為4的圓中，45。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于.n5.已知圓錐的高是 30cm,母線長(zhǎng)是50cm，則圓錐的側(cè)面積是 cm2.6如果一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)

11、等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”，則半徑為BA形”的面積為7. 如圖，RtAABC 中，/ ACB = 90°, AC= BC = 2 2，若把轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為 .8. 如圖， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90°, AC = BC把 ABC繞點(diǎn)A按 順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。后得到厶AB ' C '，若AB= 2,則線段 上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)部分 (陰影部分)的面積是Rt ABC繞邊AB所在直線旋9如圖，扇形 OAB，/ AOB = 90°,O P與OA、OB分別相切于點(diǎn) F、E,并且與弧 AB相切于點(diǎn)C,則扇形OAB的面積

12、與O P的面積比是10.如圖，O P內(nèi)含于O O,O O的弦AB切O P于點(diǎn)C,且AB / OP. 若陰影部分的面積為 9 n，則弦AB的長(zhǎng)為 .11.如圖，在正方形 ABCD中，AB = 4, O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，分別以 OB、OD為直徑作O O1、O O2.(1) 求O O1的半徑；(2) 求圖中陰影部分的面積.12. 已知：如圖，在 Rt ABC中，/ C = 90°,/ BAC的角平分線 AD交BC邊于D.(1)以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過(guò) A, D兩點(diǎn)作O 0(不寫作法，保留作圖痕跡 線BC與O O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.(2)若 中的O O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為 E, AB= 6, BD = 2 3, 求線段BD , BE與劣弧DE所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號(hào)和n )13. 某玩具由一個(gè)圓形區(qū)域和一個(gè)扇形區(qū)域組成.如圖，在OOi和扇形 O2CD