正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理高考風(fēng)向】1.考查正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查.【學(xué)習(xí)要領(lǐng)】1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過(guò)正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合.1正弦定理：焉=氏=/=2巳其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：a ： b ： c=sin_A : sin_B : sin_C; (2)a= 2Rsin_A, b= 2Rsin_B, c= 2Rsin_C; (3)sin A = 2R，sin B = "

2、;2r, sin C=2R等形式，解決不同的三角形問(wèn)題.2.余弦定理：a2= b2+c2 2bccos A, b2= a2+ c2 2accos B, c2= a2+ b2 2abcos C.余弦定理可以變形:b2+c2-a2b a2 + c2-b2c a2+b2-c2cos A 2bc ' cos 2ac ' cos 2ab111abc 13. 手ABc=2absinC = 2bcsinA = 2acsinB=4R = 2(a+b+c) r(r 是二角形內(nèi)切圓的半徑 )，并可由此計(jì)算R、r.4. 在 ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a

3、= bsin Absin A<a<ba>ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 .在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在4ABC中,A>B? a>b? sin A>sin B; tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC ;在銳角三角形中， cosA<sinB,cosA<sinC 2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：（1）化邊為角；（2）化角為邊，并常用正弦（余弦）定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換.abc1. 在 ABC 中，若 A=60 , a= <3,則 “

4、/=.'' y ' sin a+sin B + sin C2. （2012福建）已知 ABC的三邊長(zhǎng)成公比為 業(yè)的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 .3. （2012 重慶）設(shè) ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,且 cos A=3, cos B=：5, b=3,則 c= 513.4. （2011課標(biāo)全國(guó)）在ABC中，B= 60°, AC = V3,則AB+2BC的最大值為 .5. 已知圓的半徑為4, a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc= 16M2,則三角形的面積為（）A. 2mB. 8V2C. 2D最題型一利用正弦定理解三角

5、形【例1】 在 ABC中，a=73, b=W，B=45°.求角A、C和邊c.思維啟迪：已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的個(gè)數(shù)的判斷.探究提高 (1)已知兩角及一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的 難點(diǎn)，應(yīng)引起注意.變式訓(xùn)練1已知a, b, c分別是 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊，若a=1, b =A + C=2B, 則角A的大小為.題型二利用余弦定理求解三角形 【例2】在MBC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊

6、，且黑C(1)求角B的大小；(2)若 b=#i3, a + c= 4,求 ABC 的面積.思維啟迪：由咤=利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解. c0s C2a+c探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用.變式訓(xùn)練2已知a, b, C為4ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a, b, c,且Zcos4+cos A= 0.(1)求角A的值；(2)若 a=2«3, b + c= 4,求 ABC 的面積.題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3 (2012課標(biāo)全國(guó))已知a,

7、 b, c分別為 ABC三個(gè)內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，acos C+J3asin C-b-c= 0.求A;(2)若a=2, AABC的面積為 能，求b, c.再利用和差公式可求出 A;面積公式和余弦定理相結(jié)合，可求思維啟迪：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，出 b, c.探究提高 在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角.通常的思路是將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角.變式訓(xùn)壕3在 abc中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a, b, c.若c=2, C = 3,且 ABC的面積為43,求a, b的值；代數(shù)化簡(jiǎn)或三角運(yùn)算不當(dāng)致誤典例：(12 分)在4ABC 中，若(a2 + b2)s

8、in(AB) = (a2b2) sin(A+B),試判斷 ABC 的形狀.審題視角 (1)先對(duì)等式化簡(jiǎn)，整理成以單角的形式表示.(2)判斷三角形的形狀可以根據(jù)邊的關(guān)系判斷，也可以根據(jù)角的關(guān)系判斷，所以可以從以下兩種不同方式切入：一、根據(jù)余弦定理，進(jìn)行角化邊；二、根據(jù)正弦定理，進(jìn)行邊化角.溫馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊 之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷.(2)本題也可分析式子的結(jié)構(gòu)特征，從式子看具有明顯的對(duì)稱(chēng)性，可判斷圖形為等腰或直角三角形.(3)易錯(cuò)分析：方法一中由sin 2A = sin 2B直接得到A=B,其實(shí)學(xué)生忽略了

9、2A與2B互補(bǔ)的情況，由于計(jì)算問(wèn)題出錯(cuò)而結(jié)論錯(cuò)誤.方法二中由c2(a2- b2)= (a2+ b2)(a2- b2)不少同學(xué)直接得到c2= a2+ b2,其實(shí)是學(xué)生忽略了 a2b2=0的情況，由于化簡(jiǎn)不當(dāng)致誤.結(jié)論表述不規(guī)范. 正確結(jié)論是 ABC為等腰三角形或直角三角形，而不少學(xué)生回答為：等腰直角三角形.高考中的解三角形問(wèn)題典例：(12分)(2012遼寧)在4ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.角A, B, C成等差數(shù)列.求cos B的值；(2)邊a, b, c成等比數(shù)列，求 sin Asin C的值.解后反思 (1)在解三角形的有關(guān)問(wèn)題中，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般要先化為只含

10、邊之間的關(guān)系或只含 角之間的關(guān)系，再進(jìn)行判斷.(2)在求解時(shí)要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征判斷使用哪個(gè)定理以及變形的方向思想方法,感悟提高方法與技巧1 .應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A+B + C=tt, A+2+C = 2互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù).2 .正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2A = sin2B + sin2C 2sin B sin C cos A,可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明.失誤與防范1 .在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有 時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類(lèi)討論.2 .利用正、余弦定理解

11、三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，滿分：57分）、選擇題（每小題5分，共20分）（2012 廣東）在 4ABC 中，若/ A= 60 °, /B = 45°, BC=3T2,則 AC 等于 （）C. 3B. 2 32.（2011浙江）在 ABC中，角 sin Acos A + cos2B 等于A,B,C所對(duì)的邊分別為 a, b, c.若acos A= bsin B,則1B.2C.D. 13.在 ABC中，a, b, c分別為角A,B, C所對(duì)的邊，若a=2bcos C,則此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.

12、等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形4.（2012 湖南） ABC 中,AC =，7, BC=2, B= 60°,則BC邊上的高等于33B. 2J3 + V6Cy.2二、填空題（每小題5分，共15分）5.（2011 北京）在 ABC 中，若 b=5, / B=j, sin A=1,則 a= 436.（2011福建）若 ABC的面積為V3, BC = 2, C= 60°,則邊AB的長(zhǎng)度等于7.在 ABC 中，若 AB = V5,9AC =5,且 cos C= 10，則 BC =三、解答題（共22分）8. （10 分）在 ABC 中，角 A,B，C所對(duì)的邊分別為a, b，c，且

13、?t足cos +嚕ABAC=3.（1）求 ABC的面積;（2）若b+c=6,求a的值.9. （12 分）在 ABC 中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，4sin2旦于一cos 2A = 1.（1）求A的度數(shù)；若a=b+c=3,求b、c的值.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升（時(shí)間：25分鐘，滿分：43分）、選擇題（每小題5分，共15分）1. .（2012 上海）在 ABC 中，若 sin2A+sin2B<sin2C,則4 ABC 的形狀是（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不能確定2. （2011遼寧）4ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c, asin Asin B+bcos2A=pa,則b等于 a（）A . 2,3B. 2 2C. 3D. , 23. （2012湖北）設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且 A>B>C,3b =20acos A,貝U sin A ： sin B ： sin C 為（）A.4：3：2B. 5：6：7C. 5：4：3D.6：5：4二、填空題（每小題5分，共15分）4 .在4ABC中，a、b、c分別為/A、/ B、/ C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知 a,b,c成等比數(shù)列，且a2-c2=ac-bc,則/ A=, ABC的形狀