1-例題和習(xí)題

1、第一章行列式?要點(diǎn)和公式？1全排列及其逆序數(shù)、對(duì)換排列的逆序數(shù)=各元素的逆序數(shù)之和.一個(gè)元素的逆序數(shù)是指排在其前面并且大于它的元素個(gè)數(shù)n個(gè)元素所有排列的種數(shù) Pn=n!，其中奇、偶排列各占一半。一次對(duì)換改變排列的奇偶性。a2n 1 a?nan,n 1ann2行列式n階行列式的定義(1) a1p1a2p2 anpn或(1) ap11ap22aPnn或(1) 1 2 ap1C1 ap2q2aPnq行列式的性質(zhì)： D=Dtrirj (ciCj)D反號(hào)rik (Cik)Dk或,行列式某行列的公因子可提到行列式符號(hào)外面 ri krj ci kCjD不變以下都是行列式等于零的充分條件： 兩行列完全相同；

2、某一行列的元素全為零； 兩列的元素對(duì)應(yīng)成比例. 假設(shè)行列式的某一行列元素都是兩數(shù)之和，那么行列式可分解 為兩個(gè)行列式之和.行列式按行列展開法那么nnaik AjkD ij 或akiAkjD ij (i=1,2，n)k 1k 11 i i(其中j ', D是原行列式的值)0, i j重要的特殊行列式對(duì)角行列式/上三角行列式/下三角行列式(1-1)n(n 1)(1)2 a1na2,n 1 環(huán)1 (1-4)分塊對(duì)角行列式/分塊上三角行列式 /分塊下三角行列式以上兩式中,范德蒙德行列式1111X1x2x3xn2222X1X2X3xnn 1n 1n 1n 1X1X2X3xnB(1-5)1)km

3、A B(1-6)A、B分別是k階、m階行列式.n(XiXj)(1-7)1 j i n3克拉默法那么和有關(guān)定理克拉默法那么：對(duì)于n個(gè)變量n個(gè)方程的線性方程組anxi a12<2ainXnb1a21xl&222bon簡(jiǎn)記為aij xjb (i=1,2,j 1amXan2X2annxn假設(shè)系數(shù)行列式D 0,那么方程組有唯一解：DjXj L i=1,2,D其中Dj是用方程組的常數(shù)項(xiàng)b1, b2,bn替換系數(shù)行列式D的 第j列得到的行列式。定理：對(duì)于非齊次線性方程組naijXjbi i=1,2,j 1方程組有唯一解系數(shù)行列式D 0;等價(jià)命題方程組無解或有多組解D=0.定理：對(duì)于齊次線性方程

4、組naijXj 0i=1,2,j 1方程組只有零解系數(shù)行列式D 0;等價(jià)命題方程組除零解外有非零解D=0.ana21a22已11已22ann(1-2)1n(n 1)(1) 2 1 2(1-3)?典型題型 ？解二分別求岀行標(biāo)排列和列標(biāo)排列的逆序數(shù)練習(xí)3對(duì)例6中的行列式f(x)，求d3f(x)dx31全排列的逆序數(shù)、奇偶性計(jì)算n元排列的逆序數(shù)的常用方法是： 算岀排列中每個(gè)元素前面 比它大的元素的個(gè)數(shù)(即每個(gè)元素的逆序數(shù))，這些元素的逆序數(shù)之 和就是所求排列的逆序數(shù).判斷排列的奇偶性的常用方法有兩種：方法一：算岀排列的逆序數(shù)，假設(shè)逆序數(shù)為奇數(shù)，那么為奇排列；假設(shè)逆 序數(shù)為偶數(shù)，那么為偶排列；方法二：

5、將所給排列進(jìn)行對(duì)換，使其變成標(biāo)準(zhǔn)排列(偶排列)，假設(shè)所需對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，那么為奇排列；假設(shè)所需對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)，那么為偶 排列.(因?yàn)槊看螌?duì)換都會(huì)改變排列的奇偶性)例1計(jì)算排列134782695的逆序數(shù)，并判斷奇偶性134782695解逆序數(shù) t(134782695) = 000004204= 10該排列為偶排列.例2以下排列中()是偶排列。(A) 4312(B) 51432(C) 45312(D) 654321分析對(duì)于(A)4312，將4和右邊的元素進(jìn)行相鄰對(duì)換，直至其 排在第四位，需3次相鄰對(duì)換；再將3和右邊的元素進(jìn)行相鄰對(duì)換， 直至其排在第三位，需 2次相鄰對(duì)換.于是，經(jīng)過總計(jì)5次相鄰對(duì)

6、換，可使4312變成標(biāo)準(zhǔn)排列1234，因此4312是奇排列。對(duì)其它選項(xiàng)可作類似分析。解一四個(gè)選項(xiàng)中，只有(C)可通過偶數(shù)次對(duì)換變成標(biāo)準(zhǔn)排列，答案為(C).“4 3 12解二逆序數(shù) t(4321)0 12 25同理，t (51432)=7，t (45312)=8，t (654321)=15.答案為(C).練習(xí)1求排列13(2n-1)24(2n)的逆序數(shù)，并討論奇偶性. 答案t=n(n-1)/2當(dāng)n=4k,4k+1時(shí)，為偶排列；n=4k+2, 4k+3時(shí)，為奇排列.例3設(shè)排列P1p2Pn-1 pn的逆序數(shù)為k,那么Pnpn-1P2P1的逆序數(shù)為 多少？解 在n個(gè)元素中任選兩個(gè)元素Pi, pj (共

7、有C2種可能)，那么pi, pj必在兩個(gè)排列之一中構(gòu)成逆序，因此兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和為c2.一、n(n 1),t(Pn.P2P1) k22求行列式中的項(xiàng)例4在六階行列式中，如下的項(xiàng)帶什么符號(hào)：a23a31 a42a56a14a65解一調(diào)換項(xiàng)中元素的位置，使元素的行標(biāo)排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列，即日14日23日31日42日56日65再求出列標(biāo)排列的逆序數(shù)，t(431265)=6，故該項(xiàng)帶正號(hào).t1 (234516)=4t2 (312645)=4由于t1+t2=8，故該項(xiàng)帶正號(hào)例5寫出五階行列式中包含因子a13a25且?guī)ж?fù)號(hào)的所有項(xiàng)分析設(shè)項(xiàng)為(-1)ta13a25a3ia4ja5k，顯然ijk是124的某個(gè)

8、排列，共 有六種可能性，其中有三種使乘積帶負(fù)號(hào)，三種使乘積帶正號(hào)。不妨設(shè)下標(biāo)ijk = 124，此時(shí)，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t(35124)=5，是奇排列，于是該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。再對(duì)124進(jìn)行兩次對(duì)換(這不會(huì)改變整個(gè)排列的奇偶性)，可得ijk的另兩組使項(xiàng)帶負(fù)號(hào)的取值：412, 241。解設(shè)(-1)ta13a25a3ia4ja5k，并令下標(biāo)ijk = 124，此時(shí)列標(biāo)排列的逆序 數(shù)為t(35124)=5，是奇排列。再對(duì)124進(jìn)行兩次對(duì)換，得ijk =412, 241.ijk的這些取值使含a13a25的項(xiàng)帶負(fù)號(hào)，即所求的項(xiàng)為-a13a25a31a42a54， - a13a25a34a41a52，- a13a

9、25a32a44a51練習(xí)2寫出四階行列式中所有帶負(fù)號(hào)且包含a23的項(xiàng).答案-ana23a32a44 -a12a23a34a41 -a14a23a32a413x24 1例6求f (x)XX13中X4和X3的系數(shù)752x2X21X分析從行列式定義的一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討 論列標(biāo)的所有可能值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào).設(shè)行列式的一般項(xiàng)為(1)$1円日2卩2213卩3曰4卩4，求X4和X3的系數(shù) 就是分別求有4個(gè)以及3個(gè)元素含X時(shí)的項(xiàng)。假設(shè)4個(gè)元素皆含X,各行元素的列標(biāo)可取如下值：P1： 1P2: 1,2P3： 3P4： 1,4僅當(dāng)P1P2P3P4= 1234時(shí)才能構(gòu)成四元排列。假設(shè)有3個(gè)元

10、素含x,各行元素的列標(biāo)有以下四種情形P1:2, 3, 4111P2:1,23, 41,21,2P3：331,2, 43P4：1,41,41,41ll-m2, 3第一列中的數(shù)值可組成兩個(gè)4元排列：2134, 4231，而表格后三列所示的允許值中都缺少一個(gè)數(shù)，不能構(gòu)成4元排列.解4個(gè)元素含X的項(xiàng)只有(1)“1234)如日22曰33日44 = 6X4.有3個(gè)元素含x的項(xiàng)有兩個(gè)，(1)t(2134)a12a21a33a44 + ( 1)t(4231)a14a22a33a41=4x3- 2x3 = 2x3x4和X3的系數(shù)分別是6和2.提示f(x)是 X 的 4 次多項(xiàng)式，設(shè) f(X)=C0+C1X+C2

11、X2+C3X3+C4X4，那么 d3f(x)/dx3= 6a3+24a4x，故此題需先求行列式中x4和x3的系數(shù).d3答案=f(x) 144x 12x3數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)。xana12ai3ai4a2ix a22a23a24a3ia32x a33a34a4ia42a43xa44中x4、x3的系練習(xí)4求f (x)D=提示行列式中涉及素的乘積(-i)t(i234) (x aii)(x 多含x2 ;而f(x)的常數(shù)項(xiàng)就是x4和x3的項(xiàng)只有即主對(duì)角線上四個(gè)元答案1, aii+a22+a33+a44.a22)(x f(0).1項(xiàng)，a33)(x a44)，其余的項(xiàng)至aiiai2ai3ai4a2ia22寵3a24

12、a3ia32a33a34a4ia42a43a44f(0)aiia12ai33aii4anai3例7設(shè)Da2ia22a23,那么D3a2i4a2ia23=()矽332a333a3i4a3ia32933(A) -3 D(B) 3D(C) I2D(D) -i2D對(duì)第i,3列提取公因子aii4aiiai2a13解一D3(-i)a2i4a2ia22a23a3i4a3ia32a333行列式的性質(zhì)aiiai2a13a2ia22a23a3ia32a33c2 4q 3aiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a33對(duì)第2列提取公因子3=3D答案為(B).將D按照第2列拆分為兩個(gè)行列式之和,1 31 b1

13、C1d a b c c 12a1 J 12c 12d 2a 2b 2C 2a1 a1b1 C1d a b c c 12a 12b 1 2C 12d記作DiD2對(duì)Di的各行分別提取并利用abcd=1,得iiiia ia ia2aa2aii,“ iib ib i pb2"bb2"biiiic ic i ccccii,“ iid id i -5-孑d2a,b,c 和 d，Di = abcdiiiii ,-2aaaaaaiiiibibb2bC3C4b2biiiiic2cccccidiiidi “ddC3C2c2 c1D2D= 0.aiiai2Bn練習(xí)5設(shè)Da22nan2%ni,3a

14、ii 4aiiai33aii63a2i4a2ia233a2i3a3i 4a3ia333a3i上式右端第一個(gè)行列式等于零(因?yàn)榈谛辛惺降母髁蟹謩e提取公因子，得aiiai2ai3> 3 (-i) (-i)a2ia22a23a3ia32a33解二i,2列成比例)，而第二個(gè)3Dai2a22日32ai3a23a33即川i那么Dan i,nan i,n ian i,ia1 na1,n ia1i(A) i(B) -i提示將D左右翻轉(zhuǎn)、得到D，而左右或上下翻轉(zhuǎn)可通過 現(xiàn).【答案(A)再上下翻轉(zhuǎn)例8設(shè)abcd=1,證明行列式o=T T I .1 a1b1 C1d abed 2 2 2 2 a 1 b 1

15、c u 2 2 2 2 abed證將行列式按第i列拆分為兩個(gè)行列式之和，即(C) (-i)n(D)2(或者，將D依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn))可n(n-i)/2次相鄰的列(行)對(duì)換實(shí)例9如果n階行列式Ddegj)滿足aijaji ,那么稱D為反對(duì)稱行列式，證明：奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式等于零.證 aijajiaiiaiiaii0(即D的主對(duì)角元全為零)0ai2ai3ainai20日22a2n設(shè)Da13a230a3n，那么a1na3n00 a12a13a1nai20日22a2nDDTa13a230a3na1na2na3n00a12a13a1n各行提取(1)a na120a22a2n(1)a13a230a3na1n

16、a2na3n0(1)nD由n是奇數(shù),得 D = -D，故D=0利用行列式性質(zhì)，化為三角形行列式利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式是最常用的方法之一.要點(diǎn)和公式中的公式(1-5)和(1-6)就是用此法證明的.其根本步驟是，利用口 + krj (ci+kcj)、提取公因子、rirj (ccj)等運(yùn)算，將對(duì)角線以下或以上的元素化為零，然后利用公式(1-1)(1-4)計(jì)算出結(jié)果.1123133795204213571464410102例11計(jì)算五階行列式D4行列式的計(jì)算和證明計(jì)算行列式的方法比擬靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用.除了本章介紹的方法，以后還會(huì)陸續(xù)學(xué)習(xí)到

17、一些新的方法，平時(shí)應(yīng)注意歸納、整理在計(jì)算行列式時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察是否能用常用的幾種方法. 對(duì)角線法那么，只適用于二、三階行列式利用n階行列式的定義利用定義計(jì)算行列式是最根本的方法。要點(diǎn)和公式中的公式(1-1)(1-4)就是用定義法證明的.13234130542947103921410r2r3r4r53r2r13P4r11000010220230123045212132112311123102041r4r202041003020030202153001120022200222r2r30a21a12a22a13a230a240325例10

18、用行列式的定義計(jì)算a31a32a33a34a350a42a43000a52a5300解 根據(jù)定義，行列式的一般項(xiàng)為(Dtaiprazpzaspsaqpqasps，當(dāng)其 中任一元素為零時(shí)，乘積為零.假設(shè)不考慮各行元素中的零，各行元素的列標(biāo)分另冋取如下值：pi： 2, 3P2： 1,2, 3, 4, 5P3： 1,2, 3, 4, 5P4： 2, 3P5： 2, 3上面的這些數(shù)值無法使 P1P2P3P4P5組成任何一個(gè)5元排列(因?yàn)槠?中的P1, P4, P5只能取2或3)，也就是說，一般項(xiàng)中的5個(gè)元素至少 有一個(gè)為零，故行列式的值等于零 .00010002000n 2000n 100000000

19、n練習(xí)6用行列式的定義計(jì)算(n 2)即答案行列式的n!項(xiàng)中只有1項(xiàng)不等于0，D ( 1)t(n 1)(n 2) 21na!,n 1a2,n 21,1a n,n(n 1)(n 2)1)2 n!r4*1000012000201323410210000120002010034134112311123102041r54r402041001120011200012000160004600002r51241 2 1(注意上面標(biāo)有*的步驟,其目的是為了防止岀現(xiàn)繁瑣的分?jǐn)?shù)運(yùn)算例12計(jì)算n階三對(duì)角行列式Dn分析三對(duì)角行列式戀可通過逐行(或逐列)的倍加運(yùn)算，將主對(duì)角 線以下或以上的元素化成零.1r 2 11Dn

20、22 113212r3 - r13n(n 1) n答案(1)2 X ai xn 1i 1n 1rnrn 1na的特點(diǎn)，將第一行乘以一并對(duì)第一行提取公因子c 34n 1,2=n+123n1 12 1 2例13計(jì)算n階行列式Dn32n 1n(n 1)XaaaaXaa例15計(jì)算n階行列式DnaaXaaaaX分析此行列式的特點(diǎn)是：各行列元素之和相等.可將第2,3,n 列行都加到第一列行上,對(duì)第1列行提取公因子后，再化為三 角形行列式.或者，利用主對(duì)角線上下的元素皆為1并加至其它各行，化為爪形行列式計(jì)算 解一 將第2,3,n行都加到第一行上,Dn r1(r2 r3 ." rn) x (n1)a

21、1 2 3n2 3n1DnrulJ3n2(i n 1,n 2,1)n(n 1)分析型的行列式可看作是丨的變形，可通過逐行的倍加運(yùn) 算，將主對(duì)角線以上的元素化為零.解 自倒數(shù)第2行開始往上，每行加后行，將第一行乘以一a加到其它各行,(1)n 1(n 1)!()2上式-iri 2r12,3,., n) x(n 1)a1 2 31 1例14計(jì)算n階爪型行列式Dn 111x(n 1)a (x、n 1a)解二將第1行乘以-1并加至其它各行,r1Dn (i 2,3,.,n)分析尺I稱為爪型或箭型，可利用主對(duì)角元，通過n+m或C1+kG i=2, 3,運(yùn)算，將其化為或I一.再將各列都加至第一列,DnC1 c

22、i(i 2,3,n)C1Ci上式(i 2,3,，n)(n1)an(n 1)2n 1x (n 1)a (x a)注對(duì)于以上關(guān)于I1 hlIX型行列式的例題，它們的翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn) 等形式，可循類似的思路進(jìn)行計(jì)算.例16Xj a (i=1,2,n)，證明:a a?練習(xí)7計(jì)算n階行列式Dnxan 1anxXXX1aaa程aaa冷aaai 1Xia(Xi 1a)分析用第一行列乘以-1并加至其它各行列，即可化為爪形行 列式.XiririxiX2證Dn (i2,3，,n)xiX3axiXna由于X a,將第i行i=2, 3,n乘一a/xi a加到第一行上，得xin(xi a)i 2Xi aXx2 axiX3ax

23、ixi(xin a a)i 2Xi(X2a) (x3 a) (Xn a)xiX|a2Xin(Xiia)再將第一列加到后面各列注意，這樣做是根據(jù)行列式的什么特點(diǎn)？i0000i2000Ccii2200(i 2,3,n)i2220n i2n 32n4nn i(i)(2)n 2(n i)(i)ni(ni)2n2練習(xí) 9計(jì)算(n 2)階行列式Dndet(aij)其中aij max(, n ji)>(i,ji,2,n)提示依題意，有nn i32inn i322nn i333Dnnn in in in innnnn在副對(duì)角線及其上方，各行的對(duì)應(yīng)元素相同.從第一行開始，前行減后行，即ri-ri+i i=

24、i, 2,-i，可將副對(duì)角線以上元素全化為0,即得公式i-4的形式.或者，也可利用副對(duì)角線下方相鄰列元素相 同的特點(diǎn)計(jì)算.n in 2答案i 2 nn(Xii ia)X iiiiix iiiiix iiiiii x練習(xí)8.計(jì)算4階行列式分塊法假設(shè)行列式是公式i-5和i-6所示的分塊三角形，或者容易變換成 這種形式，那么可用分塊法計(jì)算.注意公式中的A和B必須是“行數(shù) =列數(shù)的數(shù)表.例i7計(jì)算n2階行列式Dndet©),其中aj |i j(i, j i,2,n) 0分析此行列式的特點(diǎn)是：在主對(duì)角線上方或下方,相鄰行列中的對(duì)應(yīng)元素相差i.這種行列式可通過逐行相減的方式:從第一行例開始，前行

25、 例減后行列，或者,從最后行列開始，后行列減去前行列，將主對(duì)角線以上或以下的元素化為相同的數(shù)，然后再計(jì)算解依題意，行列式為0i2n2n ii0in3n 22i0n4n 3Dnn 2 n3n 40in i n2n 3i0iiiiiiiiiirin iiiiii(ii,2, ,ni)iiiiin in 2n 3i0提示利用各行元素之和相等的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，或者化為爪型答案x4.2347i003458i20456I9i23000i000002000003000004000000例i8計(jì)算分析該行列式可分塊為的形式,其中iIA i 2，IBIi 23于是可利用公式i-6進(jìn)行計(jì)算.i解 D ( i)3 4

26、 i 2i 24(4 i)3! ( i) 2(i) ( 2) ( 3) ( 4)i44練習(xí)10用分塊法計(jì)算“練習(xí)6中的行列式解二 當(dāng)n 3時(shí)，將第1列乘以(-1)并分別加到后面各列，得X10y10練習(xí)11用分塊法計(jì)算行列式0X20yy30X300y40X4X"1yjX1(ynY1)X2y1X2(y2y1)X2(ynyXny1Xn(y2y1)Xn (yny=1CiC|(i 2,3,n)11提示對(duì)換第2,3行，再對(duì)換第2,3列，然后分塊計(jì)算答案(X1X3 yiy3)(X2X4 y2y4)拆分法假設(shè)行列式的某些行(列)為幾個(gè)數(shù)之和，那么可以考慮將行列式按這 些行(列)拆分為幾個(gè)行列式之和，

27、前面的例8采用的就是拆分法.特別是，當(dāng)每個(gè)元素都是兩數(shù)之和時(shí)，行列式可拆分為2n個(gè)行列式之和，在某些情況下，這個(gè)2n個(gè)行列式中有很多等于零，那些不等于零的行列式也很容易計(jì)算 .(第2,n列兩兩成比例)當(dāng) n=2 時(shí)，D2(X2 X1 )(y2 y1)a1b1a1b2a1bn練習(xí)12用拆分法計(jì)算Dna2b1a2b2a2bn(n 2)ananb2anbn答案當(dāng) n=2 時(shí)，D2 (ai a2)(bi b2) 當(dāng) n 3 時(shí)，Dn=0例19證明aabcb2bcaccaba b b c c b c c a a c a a b b分析等號(hào)左端，每列可看作為兩個(gè)子列之和，各列取兩個(gè)子列 之一，可將該行列式

28、分解為23=8個(gè)行列式之和.左端行列式中，子列1-(2)和2-(1)相同，2-(2)和3-(1)相同，3-(2)又和1-(1)相同.因此，在拆分所得的8個(gè)行列式中，只有兩個(gè)可能 不為零，即，各列都取第1子列，或都取第2子列其它情形下行列式中都有兩列相同，從而等于零.證對(duì)于左端行列式，每列取子列之一，可拆分為23=8個(gè)行列式之和，其中只有兩個(gè)可能不為0,即例21計(jì)算n階行列式Dna1 ba2ana132bana1a2anb分析把原行列式表示成如下形式a1ba20an0Dna10a2ban0a10a20anb各列的第一子列成比例(n 2)a b b c c aa b cb c ab c c a a

29、 bb c acabc a a b b ccaba b c將行列式拆分為 2n個(gè)行列式之和，這些行列式中可能不為零的有n+1個(gè)，即全取第二子列，或者除了某一列取第一子列，其余的 都選第二子列a b ca b ca b cb c a(1)2b c a2b c acabcabcab例20計(jì)算n階行列式DnX1yi1紬21X1ynX2%1曲21X2ynXnW1Xny21Xnyn111(n 2)a1ba20a0a10a2ban0a10a20anb解Dnbb a2 1baiba2N “ a 1 A 口 a. K- 1baba? 1 bl>bab1a2 ；b(再將第二個(gè)行列式的第 3列依次和左邊的兩

30、列作相鄰對(duì)換 )分析該行列式的特點(diǎn)是：任意兩列(行)的第一子列(行)相同、第 二子列(行)成比例.解一當(dāng)n 3時(shí)，將行列式按列拆分，得 2n個(gè)行列式之和，其中每 個(gè)行列式都至少有兩列相同或成比例，故Dn=0.banban+banan當(dāng)n=2時(shí)，D2bn (a1bn 1a2bn 11X"2紬1 11 X22曲、11紬11X"21x2y11x2y2(X2 為)(2%)說明從計(jì)算步驟可以看出，Dn=0的結(jié)論只有在n 3時(shí)才成立. 計(jì)算n階行列式時(shí)，要特別留心 Dn的結(jié)果是否能用一個(gè)表達(dá)式統(tǒng) 一表示，否那么，應(yīng)分開討論.nanbn 1) bn bn 1aii 1練習(xí)13用拆分法計(jì)算

31、“練習(xí)8中的行列式練習(xí)14用拆分法解“練習(xí)4 .降階展開法-行列式按行列展開法那么利用行列式的性質(zhì)，將行列式的某行列元素盡可能多地化為零， 然后將行列式按該行列展開，從而變成n-1階行列式的計(jì)算，這 稱為降階展開法，也是最常用的計(jì)算方法之一 .例22計(jì)算4階行列式分析對(duì)于數(shù)字行列式，常用的計(jì)算方法是化為上 下三角行列式 或者用降階展開法，這里采用降階展開法.解 先將第3行元素盡可能多的化為零，再按該行展開5263Cl 2C41 11 634724c2 3c4451842341C3 4C40 0 017810537105按第3行展開3 41 11 6= (1)3 4 145183710r2 4r

32、1$ 3r11116按第1列展開3961039626 80268提取公因子2)13 213 43 ( 2)13114156解按第abb1111a11bba1111i a4i得行展開,D2n aa2n 1 階a2D2n 2 ( 1)2n(a2 b2)D2n 2于是，遞推可得D2n (a2(a2(a2注展開時(shí)注意不要遺漏了代數(shù)余子式的符號(hào)練習(xí)15用降階展開法計(jì)算“練習(xí)6中的行列式.提示按最后一行列展開.a100b0b200b3a30b400a4練習(xí)16用降階展開法計(jì)算提示按第一行列展開后分塊計(jì)算.答案a2a3-b2a3a1a4-b1b4遞推法當(dāng)n階行列式的結(jié)構(gòu)具有重復(fù)性時(shí)，可通過按某行列展開，得岀

33、它的線性遞推公式，然后遞推岀結(jié)果.例23計(jì)算2n階行列式分析將行列式按第1行列展開，得兩項(xiàng)之和，并進(jìn)而建立遞推 公式.1(1)2nb2D2n 2b2)D2n 2b2)2D2n 4(a2 b2)n 1D2b2)n注此題也可按如下方式給岀遞推公式rir 1 C C 1D2n(in,n 1, 3)(i n,n 1,3)2 2(a b )D2n 2例24計(jì)算n階三對(duì)角行列式分析三對(duì)角行列式按第一行 公式.解按最后一行展開，有D n (a b)Dn 1Dnaba ba abab2n 1階(1)2n 1ka b ab1 a b1aba bab1 a列或最后一行列展開，可建立遞推aba babI b0ab再

34、將右端的第二個(gè)n-1階行列式按最后一列展開,D n a把遞推公式重新寫成，Dn繼續(xù)遞推下去，aDnaDnb)Dn 1 abDn 2b(Dn 1 aDn 2)b( Dn 12b2(Dn 2aDn 2)aDn 3)bn 2(D2aD1)由于 D2 aD1(a b)2 ab a(a b) b2，因此,D naDn 1 b"將上式中的n分別用n, n-1, n-2,，2代替, 后對(duì)各個(gè)等式分別乘1, a, a2, ., an-2，得給岀n-1個(gè)等式，然行列式DT相當(dāng)于把原行列式中的a和b互換.求解思路：假設(shè)能找出一個(gè)遞推公式，那么利用d=dt可得出另一個(gè)遞推公式(即把第一個(gè)遞推公式中的 a,

35、b互換)，再聯(lián)立求解.D n aD n 1 a2D n 2aDn 1 bn a'Dn 2 a'Dn 3abn 1a2bn 2an 2D 2an 1D1an 2b2將以上等式兩端相加，得D n把 D1=a+babn 1練習(xí)an 1D1bn代入上式，移項(xiàng)，得bn abn 1 a2n 2a2bn 2an 2b2an 2b2n 1 n abax1aaa0bX2aa0bbX3a0bbba(Xna)X1aaaX1aa0bX2aabX2a0bbX3abbX30bbbabbb(Xn a)解將行列式的最后一列寫成如下形式的兩數(shù)之和,并進(jìn)行拆分Dn其中，第二個(gè)行列式按最后一列展開，得a)Dn(n

36、1)anan 1bn 1a b(右ab)b)第一個(gè)行列式n階行列式的結(jié)論:X|bbX2bx31 aa211a2a311a3an11an用遞推法證明以下17xibcnn(1) aia2x a1a2X1a3n Xn 1naxa2X2X1anXa1 b1a2a3anb21nb31(aib1 a1b1)iaib1bn1提示這三個(gè)彳亍列式按最后一行展開，可得遞推公式如下：Dn (1an)Dn 1anDn2DnDn 1(1)nDn xDn 1anD nDn1anbn練習(xí)18試用遞推法計(jì)算“例12-14中的n階彳亍列式1aia1a2a 1Xaaaa1a2anan例25設(shè)a b，計(jì)算n階(n 2)行列式X1b

37、bX2bX3Xna(i 1,2.,n)于是，遞推公式如下,bX2bX1bbDn(xnx2a)Dn 1x3X31(Xi b)1Xn 1 bnai1(Xi1b)Dn的轉(zhuǎn)置行列式相當(dāng)于把Dn的a和b互換了位置，因此n 1(xn b)Dn 1 b (x a)i 1DT由于a b，且DnDnT=Dn，聯(lián)立上面的兩個(gè)遞推公式，可解得nna (為 b) b (為 a)i 1i 1a b注a=b的情形參見例16.XXyXyXyXyXXyXyXyXyXXyXyXyXyX練習(xí)19計(jì)算n階行列式(n 2)的方法，可得Dn=-yDn-1 + (x+y)yn-1 和提示方法：采用例 25n 1Dn=yDn-1 + (x

38、-y)(-y) ；方法：先“門-r2 “C1-C2然后按第一行展開，再按第一列展2開，可得Dn y Dn 2.歸納法如果得出的遞推公式難以計(jì)算，可考慮通過n=1,2,3的低階行列式去猜測(cè)一般結(jié)果，然后結(jié)合遞推公式用歸納法證明猜測(cè)成立.如果行列式已告訴結(jié)果，而要證明與自然數(shù)n有關(guān)的結(jié)論時(shí)，也可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.cos 1解 按如下方式添加一行一列，構(gòu)成與 Dn相等的n+1階行列式,Dn例26計(jì)算Dn12cos112 cos112 cos解將行列式按最后一行展開后，可得遞推公式D n 2 COS Dn 1 Dn 2由于 D1COS ， d2COS112cos22cos 1 cos2于是，猜測(cè)D

39、ncosn *用歸納法證明猜測(cè):*式對(duì)n=1,2成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1, n-2階行列式成立，即Dn 1cos(n 1) ， Dn 2 cos(n 2)代入遞推公式，得Dn 2cosDn 1Dn22coscos(n1)cos(n 2)cosncos(n2)cos(n 2)cosn故結(jié)論對(duì)一切自然數(shù) n成立注本例中遞推公式為三項(xiàng)的遞推公式.如果是兩項(xiàng)遞推公式，那么歸納假設(shè)時(shí)只需假設(shè)結(jié)論對(duì) n-1成立.練習(xí)20設(shè)a b,用數(shù)學(xué)歸納法證明:XaaabXaaDnbbXabbbXb(x a)n a(x b)nb a提示采用例25的方法，得遞推公式Dnn 1(x a)Dn 1 a(x b)n 1加邊法加邊

40、法是一種升階計(jì)算的方法： 對(duì)行列式添加一行一列， 構(gòu)成與 Dn相等的n+1階行列式.通常，所加的行列為1, 0,，0，而所 加的列行那么根據(jù)具體情況而定.例27計(jì)算Dn2X1Q已2已1ana1a1a2X2a?ana2Gana2an2 Xnan(X1X2Xn0)分析假設(shè)忽略Xi，那么每行列元素都是a1, 32,an的倍數(shù).可通過 在左上角添加一行一列：行列為“匂1,日2,an，列行是“1,0, 0，從而構(gòu)成與Dn相等的n+1階行列式，再加以化簡(jiǎn).aX1a-2a2Qa2已1已2X2a2ana1ana2an(n+1 階)ana1anaxn將第1行乘以一a1加到第2行，乘以一 以一an加到第n+1行，即n a 1hDn 廠2,3，,n_1)由于X1X2Xn0，將第an/Xn并加至第1列，即亠ai 1qDn 1(i 2,3,.,n 1)cXi 1ana2加到第3