2016學(xué)年高考文數(shù)熱點題型和提分秘籍專題15兩角和與差正弦、余弦和正切公式分析

1、專題15兩角和與差的正弦.余弦和正切公式2016年高考文數(shù)熱點題型和提分秘籍【高頻考點解讀】1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式;2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式;3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系;4.能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）.【熱點題型】題型一三角函數(shù)式的化簡與給角求值【例1】（1）已知aC（0,兀），化簡:aa(1+sina+cosa)(cos-2sin萬)2+2cosa(2)2sin50°+sin10

2、°(1+/tan10°)-2sin280°=12cos22-+2sin-2cos2解析(1)原式=、'aaicosy-sinacos2Icos2sin2acos-cos民acos24cos2-2-acos2因為0VoeV兀，所以0V2"V2"，所以cos0,所以原式=cosa.（2）原式=2sin50°+sin10cos10°+V3sin100cos10°J2sin80°=(2sin50°+2sin10132cos10+-2-sin10cos102cos10°=22sin50&

3、#176;-cos10°+sin10°-cos(60°10°)=2-72sin(50°+10。)=22X-23=6.【提分秘籍】(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升嘉”等(2)對于給角求值問題，一般給定另外此類問題也常通過代數(shù)變形(比的角是非特殊角，這時要善于將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角.如：正負項相消、分子分母相約等)的方式來求值.【舉一反三】(1)4

4、cos50°-tan40°=()A.12B.-2-C.mD.22-1(2)(2014臨沂模擬)化簡：sin=sin 2 a sin 2 3 + cos2 a sin 2 3asin23+cos2acos232cos2acos23=解析(1)原式=4win400-Sincos404。"siR40”-win40"cos40"cos40。-40°-Fin40*cos40°_JyJco540*+寫indO°sin400cos40°二弧8*地故選Ccos40(2)法一(從“角”入手，復(fù)角化單角)22221,-22原

5、式=sinasin3+cosacos32(2cosa1)(2cos31)=sin2asin23+cos2acos231cos2acos22cos2a2cos23+1)=sin2asin23一cos2acos232+cosa2三+cos32+cos3=sin3+cos321cos 2 a cos 2 B 2=cos2 3 sin 2 a (cos 2 3 sin 23) -2cos 2a cos 2 31“2法二（從“名”入手，異名化同名）原式=sin2asin23+(1sin2a)cos2=cos23-cos23(sin2a+2cos2a)1+cos2311=212cos23=2.法三(從“哥

6、”入手，利用降哥公式先降次)、1cos2a1cos231+cos2a1+cos231原式=22+222cos2acos23=-(1+cos2a-cos23cos2acos23)+-(1+cos2a-cos23+cos2a+441cos23)2cos2a-cos23111=一十-=一442法四（從“形”入手，利用配方法，先刻二欠項首昉）p sin * cas cos B -原式=Ginsin-cospcos方)"+2sinN1G1S)+'sin20sin26-jcos2uuB)cos(2b+2S)cos1(2cosI( o + 3) - 1=；.答案(DC題型三角函數(shù)的給值求值

7、、給值求角【例2】(1)已知0<3?？?lt;< a <兀，且cosALa - 2廠19, sin23'求 cos(a + 3 )的值;(2)已知 a , 3 (0 ,兀），且 tan（ a13)=萬，tan1,、，3= 7,求 2a 3 的值.c 八 兀 0V 3 <2-<fx<兀,兀3 <2,sincos2一cos3 I-1 - sin 2修-B f=5,a + 3 .cos _2= cos3 計 sinin2且21<-芬筆器2號. 1. cos( a + 3 ) = 2cos2" 2 '49X 5239T=2>

8、;< 729 T = 729., 、一/力tan (3- 5) + tan B2 7=:一;=T>o,又叮 9,冗).1 + -X- 2 7打/.0< 獷 <彳,又,/tan 2<? =2tan a2X3I- tan'仃K，0<2 a <*f -w.tan(2 6一 B、=1+ tan 2 tan ff 3 1I"17T/tan/7=-<0,，萬<B<7T,-7l2#-S8,【提分秘籍】(1)解題中注意變角，如本題中寫上=:-J2)七一3)(2)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：已知正切函數(shù)

9、值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0, -2 ；,選正、余弦皆可；若角的范圍是(0,兀)，選余弦較好；若角的范圍為【舉一反三】已知cos a17, cos(a 3 )=,且 0< 3 < a14(2)求 tan 2a的值;(1) cos ac兀0<a <,43.sina=-71,tana=43, .tan 2 a2tan a2X4738-J3兀(2) 0<(3<a<2-,0Va33sin(a-3)=片47，.cos3=cosa(a3)=cosacos(a3)+sinasin(a3)11343331=7K7X14=2.題型

10、三三角變換的簡單應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)=Asin苫+亍jxCR,且f2=3.(1)求A的值；(2)若f(0)f(0)=|,0(0,y),求f件解(1)由fg2i!=3,得Asin2=3,122322兀3又sin-3=亍，A=小.(2)由得f(x)=psin3+；,3由f(O)+f(0)=2,得標ine+-4)3sin,9+/V|,化簡得cos0=-4,'''0e|。，,',.sin0='1-cos29=：1乎j=40,故f除一°in管一，+點V3sin，=、3><邛=呼.【提分秘籍】解三角函數(shù)問題的基本思想是“變換”，通過適當

11、的變換達到由此及彼的目的，變換的基本方向有兩個，一個是變換函數(shù)的名稱，一個是變換角的形式.變換函數(shù)名稱可以使用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角的余弦公式等；變換角的形式，可以使用兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式等.【舉一反三】已知函數(shù)f(x)=singx+4.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若a是第二象限角，f三Cos2a,求cosasina的值.4解(1)因為困數(shù)戶口皿”的單調(diào)遞增區(qū)間為7T九_."+2Jc7Tr1+2內(nèi)1f上小士士一7T_冗一互廣由一彳+2/冗W3m+12d,v兀2¥冗七士兀211兀亡得一7+于口W豆+丁，尤Z所以函數(shù)f(4的單調(diào)遞增區(qū)間為TT

12、2力冗7T2#冗43J123(2)由已知，有sina + 丁 尸 5cos 弋 十-t)cos 2 a sin 2 a ),所以sin一一兀,一_兀c cos + cos a sin =4a “cos 亳sincos 2 a sin 2 a ),即sina + cos4=_(cos5a sina ) 2(sin當sina+cosa=0時，由a是第二象限角，3兀知a=42k兀，kCZ.此時cosasina=2.當sina+cosaw0時，有(cosasina)2=1.由a是第二象限角，知cosasina<0,此時cosasina綜上所述，cos a sina =小或一號.【W(wǎng)j考風(fēng)向標】1

13、1【2015局考重慶，又6】右tana=§,tan(a+b)=5,則tanb二(A)1(B)1(C)5(D)57676【答案】A【解析】tan : =tan(-( ； '')-< =-tan ;1 tan(：，)tan ;11 12 31 ，一=,故選A.7【2015高考上海，文1】函數(shù)f(x)=13sin2x的最小正周期為【答案】n313【解析】因為2sin2x=1cos2x,所以f(x)=1(1cos2x)=-十cos2x,222-，一，2二所以函數(shù)f(x)的最小正周期為=n.2【2015高考廣東，文16(本小題滿分12分)已知tana=2.(1)求tanl

14、a+I的值;4的值.sin2二：.2sin*'sincos-cos2二7【答案】(1)3;(2)1.【解析】tan：1=£J = _31 - tan：12/tatana+tan一na(1)tana十一1(=44.幾1 -tan.：itan4(2)sin2：2；二7sin二二sin二cos：-cos2：-12sin二cos：22sine二sin:cos：工2cos一1)一12sin二cos;-2：-2sin二qsin:cos:-2cos:2 tan二二2tan:工Tan:-2_22=T2ZT22-2二11. （2014廣東卷）若空間中四條兩兩不同的直線11,12,13,14滿足

15、11112,12/“3,I3H4,則下列結(jié)論一定正確的是（）A. 1山4B. 11/14C. 11與14既不垂直也不平行D. 11與14的位置關(guān)系不確定【解析】本題考查空間中直線的位置關(guān)系，構(gòu)造正方體進行判斷即可.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)BB1是直線11，BC是直線12,AD是直線13,則DD1是直線14,此時11/14；設(shè)BB1是直線11,BC是直線12,A1D1是直線13,則C1D1是直線14,此時11,14.故11與14的位置關(guān)系不確定.02. （2014湖北卷）某實驗室一天的溫度（單位：C）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:7t7tf(t)=10V3

16、cos12tsint,tC0,24).(1)求實驗室這一天上午8時的溫度；(2)求實驗室這一天的最大溫差.【解析】f(8)=10串cos,X8sinX8=10%3co23-sin13=10-73*；)-i23=i0.故實驗室上午8時的溫度為10c.(2)因為&)=10-卷co電+%位=10-23造+5又歸當1=2時，smfe+1當f=14時,/語l+»-Lxjldfenw于是。在Ph上取得最大值12,最小值盤故實蛉室這一天最高溫度為12七,最低溫度為8七，最大溫差為4七一1 I3.(2014湖南卷)如圖1-4所示，在平面四邊形ABCD中，DAAB,DE=1,EC=J7,EA=

17、2,/ADC=?/BEC=；(1)求sin/CED的值；(2)求BE的長.圖1-4【解析】設(shè)/CED=o.在4CDE中，由余弦定理，得EC2=CD2+DE2-2CDDEcos/EDC,于是由題設(shè)知，7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=3舍去).CDsin a,EC在ACDE中,由正弦定理,得sin-ECDCCDsin宇2r，是,sina=-；=-3,即EC77sin/CED=217(2)由題設(shè)知，0Va<3,于是由(1)知,2兀& sin a3cos a= '1 sin a=-21=2/7497.1,32cos2sin民_12>C7+2

18、14.在RtAEAB中，cos/AEB=EA=-2-,故BEBE22BE=；=r=47.cos/AEB714f1!= 0,其中 a24. (2014江西卷)已知函數(shù)f(x)=(a+2cosx)cos(2x+0)為奇函數(shù)，且(1)求a,。的值;升2若比尸-5,兀j求sin計3)的值.u-2【策祇】（1）因為為）=9+2««以）88（力;+6是奇區(qū)|數(shù)，而刈二曰+加與為偶LL閽（1斯以g=8S（U+0兀），所以#0=-sin2x&+icos31).由北二。得-g+i）=o,即=一I.由。居，及尸一911曲修as從而cosa=-7f5. (2014全國卷)AABC的內(nèi)角A

19、,B,C的對邊分別為a,b,c.已知3acosC=2ccosA,tanA=1,求B.3【解析】由題設(shè)和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA,故3tanAcosC=2sinC.1因為tanA=3,所以cosC=2sinC,.1所以tanC=2,所以tanB=tan180-(A+C)=tan(A+C)_tanA+tanCtanAtanC1=-1,所以B=135°.6. (2014新課標全國卷n函數(shù)f(x)=sin(x+2sin(j)cosx的最大值為.【答案】1【解析】f(x)=sin(x+一2sin(j)cosx=sinxcos(j)+cosxsin()2sin(jcosx

20、=sinxcos()cosxsin(j)=sin(x其最大值為1.67. （2014山東卷）那BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=3,cosA=牙,3兀B=A+q.（1）求b的值;（2）求"BC的面積.【解析】（1）在"BC中,由題意知，sinA=q1cos2A=竽又因為B=A+2t,所以sinB=sinA+2y=cosA=36.,3片由正弦定理可得，b=asnB=32.sinA33(2)由 B = A+C<,啟.A工3cosB=cosA+2i=sinA=-3.由A+B+C=tt,彳導(dǎo)C=l(A+B),所以sinC=sin右(A+B)=sin(A+B

21、)=sinAcosB+cosAsinB13.因此那BC的面積S=1absinC=1X3>32>1=32.22328. （2014四川卷）如圖1-3所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時氣球的高度是60m,則河流的寬度BC等于（）A. 240(m1)mC. 120h/3-1)m圖1-3B. 180(72 1)mD. 30(3+ 1)m【解析】由題意可如AC=ZBAC=7-3Cf=4TfZABG1赳一療一1。5*,鮑nABC=n10Sft=+45)=mi3m+SWT8S45"+CW«Tsm45p=-.在A/C

22、中，由正弦定理得ACIJQX苴§于是eg扁二肅二川5)©被選a9. (2014四川卷)已知函數(shù)f(x)=sin，x+4/求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若a是第二象限角，f 3尸5cos 升求 cos a sin a 的值.【解析】(1)因為函數(shù)y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為+ 2k兀,2+ 2k 兀，kCZ,由一耳2卜兀3十二?+2k&kCZ,得一耳+2k%卜z24243123所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一4+竽12+23斗，kCZ.(2)由已知，得sina+；/=5cosa+；jcos2a-sin%).所以sinocos：+cos«sin：=cos

23、Ocos-sinasi4cos2lsin2o),即sin當sina+ cos a= 0時，由a在第二象限內(nèi)，得3 TTa= + 2ku, kC 乙4此時,cos qsin a= 1 2 2.當sina+ cos aWO時,2 5(cos a sin a) =4.由a是第二象限角，得cos a sin a<0,此時cos a-sin 后一坐綜上所述，cos a sina= - 2或一字a+cosa=4(cosasino)2(sina+cosa).5=8.10. （2014重慶卷）在9BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+b+c5(1)若a=2,b=2,求cosC的值;(2)

24、若sinAcos2|+sinBcos2A=2sinC,且AABC的面積S=9sinC,求a和b的值.【解析】（1）由題意可知c=8-（a+b）=7.a2+b2c2由余弦定理得cosC=2ab5 2X2X215.(2)由sinAcos2齊sinBcos2A=2sinC可得1+cosB.J+cosA-.一sinA:2+sinB3-2=2sinC,化簡得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.因為sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知a+b=3c_又a+b+c=8,所以a+b=6.19_2由于S=

25、2absinC=?sinC,所以ab=9,從而a6a+9=0,斛得a=3,所以b=3.【高考押題】廠sin201.右tan”小，則下FA. 13B.-3_2sinC.33解析答案sin202sin0cos01+cos201+2cos=tan01=3.2.已知sina+cosa1A.188C.9解析由sina+cos7t4a|=“兀c1cosI-2-2a答案3.A.C.解析13,則sin217B.二18d¥7t41=.兩邊平方得311-sin2a1+sin281+921718'1解得sin2a9故選B.89'所以3口兀，2兀，且cosa45,則tan7t41B.7D.-

26、7且cosa44,所以sina<0,即sina35'所以tana=3.所以tan4答案B4.已知sin31-1tana4f=1+tan331+45-一0、10=5'sin(-3)-1。,，則角3等于（5兀A.-12c兀B.3入兀C7解析又sin(cr-6)=一r«cos,Q、3訴（i）二先.cos/«sinsinu(uj5)=sinacos(_-cossin(a107T答案C5.二網(wǎng)如2f 兀1L3 C 0, ,且 tan a1 + sin 3cosA.B.C.兀+ 3 =2D.兀3 =-2解析由條件得sin a 1 + sin 3cos acos 3

27、sinc cos3 = cosa (1 + sin 3 ), sin( a3 ) = cos a = sin兀3萬,c 兀0< a<y,所以7t，所以2 a兀 .3 =2,故選B.答案6.若7ts" e 廠 5cos 2 0 =解析, sin 與+ 9 h cos 0 =1, 5 .cos 2 0 = 2cos2 0 1 = 2X725.答案725兀2x- -i 2msin 2x的最小正周期是解析.f(x)=£sin2x李cos2x2(1cos2x)in2x+李cos2x2=sin(2x+4)2I 一 rr2 兀.最小正周期T= -2-= %.答案 兀-4428.已知 cos a sin a ，且 a37t£ 2 ,則 cos 12a +- I解析 cos4 a sin 4 a = (sin 2 a + cos2 a )(cos 2 a sin 2 a ) = cos 2 a =|,3 .2a (0 ,兀)，2 一5 sin 2 a 1 cos 2 a =,3. cos