2016年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州省初賽試題及解析

1、2016年貴州省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試卷一、選擇題（每小題5分,共30分）1 .在A4BC中，,鋁=3,4C=5,茴灰二1,貝IJ3C=（）A.2AB.V15C.36D.后2 .函數(shù)/（工）=卜一1|+卜一3|+/（工£處的最小值是（）A.2+eB.5-ln3C.4D.6-In43 .已知四面體月88中，AB=CZ>=2ARA&BQ8m3/,N分別為ZACD上的動(dòng)點(diǎn)，貝OMV的最小值為（）A.瓜B.41C.2>f2D.34 .設(shè)定點(diǎn)幺（_3,4）,動(dòng)點(diǎn)3在），軸上，動(dòng)點(diǎn)。在直線，：x+y=0上，則&43C周長(zhǎng)的最小值為（）A.5丘B(yǎng).4+癡C.3+3走D.75

2、.已知正三角形A48C在平面a內(nèi)的射影是邊長(zhǎng)為2,3,2石的三角形，則正三角形A4BC的邊長(zhǎng)是（）A.24B.713C.>/15D.46 .在A45C中，角45。滿足：1007T+1009京=2006。）則&U8C為（4銳角三角形R直角三角形C.鈍角三角形D以上情況皆有可能二、填空題（每小題8分，共64分）7 .已知正實(shí)數(shù)ab滿足9+匕=36.則乙+:取最小值時(shí)，ab=ab8 .盒子里有大小相同的球8個(gè)，其中三個(gè)1號(hào)球，三個(gè)2號(hào)球，兩個(gè)3號(hào)球,第一次從盒子里先任取一球，放回后第二次從盒子里再任取一球，記第一次與第二次取到的球上的號(hào)碼的積3則占的數(shù)學(xué)期望E3=9 .不等式sin2x

3、v|sin2x|>cos2*x|cos2xv|K解集是10 .已知x>0,且引斗.一同成等比數(shù)列（國(guó)表示不超過x的最大整數(shù)）則11 .在半徑為出的球面上有4民CD四點(diǎn)，.43=BC=C4=3,若四面體.438的體積的最大值為則此球的表面積為12 .在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)集S=(x,y)|(|x|+y-1)(./+y2-l)<01所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為13 .設(shè)4區(qū)分別是等差數(shù)列*也的前項(xiàng)和。若+告，則/=14 .定義在火上的函數(shù)f(x),均有2016,記/(x+2017)>/(x>2017Q=£N*),q018=三、解答題(共56分)15 .(1

4、6分)在正項(xiàng)數(shù)列口中，a=4,其前”項(xiàng)和滿足：2Sm=S”t+.令入2+1b=,(3-2)a.證明：對(duì)于任意£N*,均有£仿<16 .(20分)已知“實(shí)數(shù)滿足2*-1+2網(wǎng)=4'+4叱求=8、8的取值范圍.17 .(20分)已知橢圓C：，4y=l,M是圓Y+j二=3上的任意一點(diǎn)，山分別與橢圓切于4B.求AUOB面積的取值范圍,2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州省預(yù)賽試題及答案一.選擇題（每小題5分，共30分）(1)若集合4=xpc?-x-i2W0,Bx|<0>,C=且XW8,則集合。=(D)(A)-3,-l)U(b4(B)-3,-lU(b4(C)-3,

5、-l)Ub4(D)-3,-lUb4|解：依題意，=x|x2-x-120)=-3,4,8=卜|=<0=(-1,1).由xwd,知一3Wx4；工電B,知-1或“21.所以，-3WW-1或KW4,即。=-（2）若函數(shù)/（x） =叉 2K + 4, xW3 ,2 + logax，工 >3,（Q>0,且QWl）的值域?yàn)?,+3）,貝!1實(shí)數(shù)的取值范圍為(A)(A)(1,3(B)(1,3)(C)(3,+8)(D)3,+oo)解.HJT當(dāng)a<3時(shí)，函數(shù)/(.x)=x2-2a+4=(x-1尸+3的值域?yàn)?,+s),當(dāng)x>3時(shí)，2+logax3,SRx>3W,logaxl=l

6、ogaaa>l,且x>3時(shí)，侖4恒成立J.1<運(yùn)3,的取值范圍為J（3）如圖，在四面體?一zlBC中，已知P4、PB、尸C兩兩互相垂直，且尸片二尸8二尸。二3.則在該四面體表面上與點(diǎn)幺距離為26的點(diǎn)形成的曲線段的總長(zhǎng)度為（B）（A）7另（B）祖萬(wàn)（C）巫廣（D）3岳22解：（B）如圖，設(shè)AE=AF=AG=26（E在48上，尸在P8上，G在尸。上）.由PZJ.PB,PA1PC9PB1PC9PA=PB=PC=3,知PF=PG=BZPAF=-,Z£14F=-=.64612丁在面43內(nèi)與點(diǎn)N距離為2抬的點(diǎn)形成的曲線段（圖中?。╅L(zhǎng)為同理，在面PNC內(nèi)與點(diǎn)4距離為2&的

7、點(diǎn)形成的曲線段長(zhǎng)為丑;7.6同理，在面N3C內(nèi)與點(diǎn)4距離為的點(diǎn)形成的曲線段長(zhǎng)為忖理，在面形c內(nèi)與點(diǎn)幺距離為2力的點(diǎn)形成的曲線段長(zhǎng)為：x7i=浮.所以，該四面體表面上與點(diǎn)/距離為2石的點(diǎn)形成的曲線段的趨長(zhǎng)度為34。(4)UBC中，"是“cos2d>cos2B>cos2C”的(C)(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(O充分必要條件(D)既不充分也不必要條件解：(OA<B<C<=>a<b<c=sinA<sinB<sinCQ1-2sin2A>l-2sin25>1-2shpc=cos2J>cos25>co

8、s2C.(5)已知函數(shù)/("nZOlGX+logzoiGl4+O-ZOlGr+Z,則關(guān)于、的不等式/(3x+l),/(x)>4的解集為(D)U)BBT(B)(-K(C)-；，+8(D)12ylI4)解：(D).解法一：令函數(shù)g(x)=/(x)-2為奇函數(shù)且在實(shí)數(shù)上為增函數(shù),不等式轉(zhuǎn)化為g(3x+1)+g(x)>0<=>g(3x+1)>g(-x)O3x+1>-x=>x>-.4解法二：y=/(x)關(guān)于(0,2)中心時(shí)稱且在實(shí)數(shù)上為地函數(shù)33+1+、0=工-1.4(6)記Af(xjhz)為三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，若二次函數(shù)/(X)=ax:+8x+c

9、(qb,c>0)有零點(diǎn),則材("£.£!0.厘)的最大值為(B)abc53(A)2(B)-|(C)-(D)142解：(B)b-可以不妨設(shè)因?yàn)樗怨蔠L0<Waa4所以等一詈(匕一 )( + c)abb+c a + b (c - )( + b + c)WO,所以A/(*.)=婦°W1+1=-(當(dāng)且僅當(dāng)a=3=4c>0時(shí)取等號(hào))abca44填空題(每小題8分，共64分)(7)數(shù)學(xué)競(jìng)賽后，小明、小樂和小強(qiáng)各獲得一枚獎(jiǎng)牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌.老師猜測(cè)：“小明得金牌，小樂不得金牌，小強(qiáng)得的不是銅牌.”結(jié)果老師只猜對(duì)了一個(gè)，由此

10、推斷：得金牌、銀牌、銅牌的依次是小樂，小強(qiáng)，小明.(8)省中醫(yī)院3月1號(hào)至3月3號(hào)擬安排6位醫(yī)生值班，要求每人值班1天，每天安排2人.若6位醫(yī)生中的甲不能值2號(hào)，乙不能值3號(hào)，則不同的安排值班的方法共有種.解：分兩類(1)甲、乙同一天值班，則只能排在1號(hào)，有。：=6種排法；(2)甲、乙不在同一天值班，有C：C；x3=36種排法，故共有42種方法.(9)已知函數(shù)/(x)=Y-ox+a-1,awR，若對(duì)于任意的qw(0,4),存在使得成立,貝h的取值范圍為.解.ZWL解法一：函數(shù)/(x)視作為a的函數(shù)/(a)=(l-x)a+(x+l)問即等價(jià)于對(duì)于Vaw(0,4,W|/(a)|由于xw0,2,所以

11、|/(a)|m«=|x2-4x+3|所以問題等價(jià)于玉e0,2,W"J=|x2-4工+31即W34工+3皿，所以W1.解法二：由題意得/(x)=(x+a-l)(x-l)對(duì)于玉oHO,2則只需運(yùn)1空|-1|,|3-。|.|一92+-1|4設(shè)g(a)=max|a-l,3-a,-a2+a-l4此時(shí)g(%n=1所以對(duì)于Wqw(0,4)只需fWg(a)皿，所以fWl.解法三：若對(duì)任意的。£(04),存在/e0,2使得(而)|當(dāng)fWO時(shí)符合條件；當(dāng)f>0時(shí)等價(jià)于若對(duì)任意的aw(0,4),存在5w0,2使得/«(&)或若fW/Cq)則因?yàn)閍w(0,4)，所

12、以所以函教-在嗚)為減函數(shù)，在02)為增函數(shù)所以當(dāng)qw(0,2B寸，進(jìn)而有0<fWl當(dāng)qw(2.4)時(shí)，進(jìn)而有：0<fWl；所以0<fWl.2若/(x)W-f,則w幺_°+1.4所以Vae(0,4)應(yīng)有：fWO這與f>0矛盾，舍去.綜上：K1.(10)己知a>0,b>0,a3+b3=1>則a+b的取值范圍為.解：(1麗由0<小運(yùn)("，)及1=是+/=(。+匕)3=(q+)(+bp-3ab有:(a+b)3v(a+b)3,所以l<a+W/J.(11)已知/(")是偶函數(shù)，xWO時(shí)，f(x)=x-x(符號(hào)卜表示不超過

13、x的最大整數(shù))，若關(guān)于x的方程f(x)=h+£(左>0)恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為I作出函數(shù)尸，（X）與尸丘+左的草圖（如圖所示）.易知直線=丘+左恒過點(diǎn)（-1,0）,x=T是方程，。）=米+左的一個(gè)根.從圖像可知，1一C1-011當(dāng)左即Lw左人時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的身像恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).2-（-1）1-（-1）32上的取值范圍為（12）已知點(diǎn)尸為橢圓三+耳=1（口匕0）的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為苴，過點(diǎn)尸的直線/交"2橢圓于46兩點(diǎn)（點(diǎn)Z在x軸的上方），且萬(wàn):=3而，則直線/的斜率為.解：一衣.極點(diǎn)在右定點(diǎn)的極坐標(biāo)方程為P=一空一，1+ecos所以|Z尸|=

14、一空一?|BF|=一空1+ecos。1-ecos從而一絲一=3印，可得cos8=-巫，tang二一JL1+e8s8l-c8s83所以直線/的斜率為-0.(13)方程2(x+i)(j,+i)-i=.qz(x<y)的正整數(shù)解(x,y,z)為(寫出所有可能的情況).解：(1,3,5),(3,7,3).2x1,+2x+2y+1=xyz.e.|(2x>?+2x+2y+1),x>,|(2x+2y+1),qW2x+2y+1.由xvy,知x+lWy,因此，2x+2y+<4y.x<4,x=L2,3若X=l,則y|(2y+3),y|3,y=3.將x=l,y=3代入題中方程，得15=3

15、z,z=5.若x=2,則2川(2y+5),2y5.由y>2知，y不存在.若x=3,則3y|(2y+7).以，3><2y+7,又y>3,因此，y=4,5,6,7.經(jīng)驗(yàn)證只有y=7符合3y|(2y+7).將x=3,y=7代入題中方程，得63=21z,z=3.，符合條件的正整數(shù)解有(x，丁，z)=(1,3,5)或(3,7,3).(14)一個(gè)有限項(xiàng)的數(shù)列滿足：任何3個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和都是負(fù)數(shù)，且任何4個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和都是正數(shù)，則此數(shù)列項(xiàng)數(shù)的最大值為.解：5一方面可以構(gòu)造3項(xiàng)的數(shù)列：2：2,-522符合題設(shè)；另一方面，證明滿足條件的數(shù)列不超過5項(xiàng).否則取出前6項(xiàng)，作出如下排列：a37a4：

16、%由每行的和為負(fù)數(shù)，知這12個(gè)數(shù)之和為負(fù)數(shù)；由每列的和為正數(shù)，知這12個(gè)數(shù)之和為正數(shù).矛盾.三.解答題(共56分)(15)(本小題16分)已知函數(shù)g(x)=(a+l)x'2+l(a>0)的圖象恒過定點(diǎn)N,且點(diǎn)4又在函數(shù)/(x)=logo(x+。)的圖象上(I)求實(shí)數(shù)。的值；(II)當(dāng)方程|g(x+2)-2卜2b有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，求6的取值范圍；(III)設(shè)4“=g(+2)也=.WGN*»求證："+A+&+，F(xiàn)4V,(£N*).3解.I111(I)函數(shù)g(x)的圖像恒過定點(diǎn)4,Z點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)又因?yàn)?點(diǎn)在/(x)上，則2)=%(2+a)=

17、2即2+4=3,，4=1(II ) |g(x + 2)-2| = 2b由圖像可知：0<2d<l,即2"+12|=2年.2x-l|=2b故b的取值范圍為(III)a=2n + l.bn7 n2"_1(2"+)(2向+1)-2,+-+,.«+&+&+>=-<-.mgN*.“23"32>】+i35(16)(本小題20分)22.如圖，橢圓C：J+蕓=1(。匕0)的離心率c=g,短粕的兩個(gè)端點(diǎn)分別為4,B2,焦點(diǎn)為耳，外,四邊形片與外層的內(nèi)切圖半徑為(D求橢圓。的方程；(11)過左焦點(diǎn)廠1的直線交橢圓于M,N

18、兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)P,設(shè)冏1=2初耳,由="人與：試證2+4為定值，并求出此定值.解：(I)如圖所示，設(shè)四邊形與鳥外用的內(nèi)切圓與邊用叢的切點(diǎn)為G,連接OG,|OG|=*.由S%=OB2-OF2=B2F2OG,OB2=b.OF2=c.B2F21=a,得be=a.設(shè)火再切)山區(qū),乃),則再+玉=Sk2 4（-3）34F5=F-又c=£=/=b2+c2.解得a=2.b=a2'故橢圓C的方程為C:'+q=1.(U)根據(jù)巳知條件，可設(shè)直線AW的方程為y=Mx+1),代入橢圓方程，整理得(3+4k2)x2+8k2x+4(人-3)=0.又P（4二3七），耳（一1,0

19、）,由PM=PN=pNFg得人3.一匚X+1x2+l%+40一4_2xr+5（陽(yáng)+工）+8Xj+1x2+l（再+l）（x2+1）2%&+5（演+%2）+8=2+5（一品）+8Dvrv=0.8/2-24-40/2+24+32/23+4%.2+"=0為定值.(17)(本小題20分)已知函數(shù)/(X)=,直線y=Lr為曲線歹=/(工)的切線.exe(I)求實(shí)數(shù)。的值；(II)用minpn.”表示加.中的最小值，設(shè)函數(shù)目(工)=1111117(工).工一！。>0),若函數(shù)x力(工)=g(x)-cY為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.解：對(duì)小)求導(dǎo)得小)=，"篙一"蟹

20、設(shè)直線y=工與曲線y=/(x)切于點(diǎn)尸(.%,%),則e1一%=e1x0(2-x0)-=a解得。=%=1.所以的值為1.1X21(Hi記函數(shù)尸a)=/(x)_("±)=jr+±,x>0,下面考察函數(shù)于=產(chǎn)(工)的符號(hào).xex對(duì)函數(shù)F=尸(工)求導(dǎo)得k(k)=«2：x)-_2,x>0.ex當(dāng)x22時(shí)ka)<o恒成立.當(dāng)0<xv2時(shí)，x(2-x)W*+(；一一=1,從而廣(x)=22-i_±w-l-±<l-l-U=-±<0.Fx)<0在。+OC)上恒成立，故y=F(.x)在(0?+00)上單調(diào)遞減.43 /F(l)=->0.F(2)=一一&