三角函數(shù)圖象教案

1、第四章第三單元三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教材為新人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)下第一課時(shí)教學(xué)課題：§ 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)一教學(xué)目標(biāo)：一知識(shí)目標(biāo)1. 正弦函數(shù)的圖象；2. 余弦函數(shù)的圖象.二 能力目標(biāo)1. 會(huì)用單位圓中的線段畫(huà)出正弦函數(shù)的圖象；2. 用誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函數(shù)的圖象；3. 會(huì)用 五點(diǎn)法畫(huà)正、余弦函數(shù)的圖象.三德育目標(biāo)1. 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想；2. 滲透由抽象到具體思想；3. 使學(xué)生理解動(dòng)與靜的辯證關(guān)系，注意與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，表達(dá)數(shù)學(xué) 在其他學(xué)科及社會(huì)中的應(yīng)用；4. 培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神，獨(dú)立解決問(wèn)題的能力 .教材分析：在前面引進(jìn)了任意角三角函數(shù)的定義的根底上，本節(jié)

2、對(duì)正弦、余弦函數(shù)的 圖象和性質(zhì)作了系統(tǒng)的研究本節(jié)的主要內(nèi)容是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性 質(zhì)教科書(shū)先利用正弦線畫(huà)出函數(shù)y= sinx, x0, 2 的圖象并根據(jù)“終邊 相同的角有相同的三角函數(shù)值再將其向左、右平行移動(dòng)每次2個(gè)單位長(zhǎng)度,就可以得到正弦函數(shù)y=sin x在x R上的圖象，即正弦曲線，在此根底上，利用誘導(dǎo)公式y(tǒng) cosx= cos x = sin 2 - x= sin x+ 2 ，把正弦曲線向左平行移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到余弦曲線；然后利用圖象考察了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)， 還穿插著介紹了周期函數(shù)、最小正周期、奇函數(shù)和偶函數(shù)、在長(zhǎng)度為一個(gè) 周期的閉區(qū)間上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的意義，介紹了畫(huà)出定義

3、在閉區(qū)間0, 2 其長(zhǎng)度為一個(gè)周期上的函數(shù)簡(jiǎn)圖的“五點(diǎn)法；最后介紹了如何求與正弦、余 弦函數(shù)有關(guān)的某些簡(jiǎn)單函數(shù)的最大、最小值，如何求這類(lèi)簡(jiǎn)單函數(shù)的周期，以及如何根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的圖象和周期性比擬兩個(gè)三角函數(shù)值的大小.作為函數(shù)，它是已學(xué)過(guò)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的后繼內(nèi)容課本上根本是借助函數(shù)圖象直觀得出兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，大局部沒(méi)有給予證明由于有研究指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的根底，加之上單元三角變換為圖形變換提供了依據(jù)，為數(shù)形結(jié)合創(chuàng) 造了條件，因此學(xué)生接受起來(lái)并不是十分困難 但本節(jié)是“兩面角和與差的三角 函數(shù)后的第一節(jié)，概念較多，思維方法與前有所不同，要取得好的教學(xué)效果， 認(rèn)真梳理好講解的順序包括推導(dǎo)步驟和圖象

4、、簡(jiǎn)圖畫(huà)法的安排，并通過(guò)一定 的訓(xùn)練，使學(xué)生正確了解有關(guān)概念和圖象的性質(zhì)，就成為學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵三角函數(shù)的性質(zhì)貫穿于本單元，函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)后繼知識(shí)的重要根底，在科學(xué)研究、生產(chǎn)實(shí)際中也是重要工具之一，因此正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象形狀及其主要性質(zhì)定義域、值域、 周期性、奇偶性和單調(diào)性是本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，利用正弦線畫(huà)出函數(shù)y= sinx, x 0, 2 的圖象再利用正弦曲線和誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦曲線，周期函數(shù)和最小正周期的意義，是本節(jié)的三個(gè)難點(diǎn)總的來(lái)說(shuō)，利用有關(guān)定義論證函數(shù)的某 些性質(zhì)，利用圖象獲得函數(shù)的性質(zhì)，再利用性質(zhì)畫(huà)出圖像，使形和數(shù)緊密結(jié)合， 培養(yǎng)學(xué)生的形象思

5、維能力和想象能力，是本節(jié)的要點(diǎn) .教學(xué)重點(diǎn)：用“五點(diǎn)法畫(huà)正弦曲線、余弦曲線教學(xué)難點(diǎn)：利用單位圓畫(huà)正弦曲線及用誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦曲線教具準(zhǔn)備:多媒體課件：幾何畫(huà)板幾何畫(huà)板課件內(nèi)容如下： 三角函數(shù)線的意義； 在直角坐標(biāo)系的x軸上任意取一點(diǎn)01，以O(shè)i為圓心作單位圓，從。Oi 與x軸的交點(diǎn)A起把。Oi分成12等份份數(shù)宜取6的倍數(shù)，份數(shù)越多，畫(huà)出的 圖象越精確.過(guò)。Oi上的各分點(diǎn)作x軸的垂線，可以得到對(duì)應(yīng)于0/6二、2、 2等角的正弦線，相應(yīng)地，再把x軸上從0到2這一段2 -6.28分成12等份例 如，從原點(diǎn)起向右的第四個(gè)點(diǎn)，就是對(duì)應(yīng)于 2角的點(diǎn).把角x的正弦線向右平 移，使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合例

6、如，把正弦線O iB向右平移，使點(diǎn)Oi 與x軸上的點(diǎn)2重合.再用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到了 函數(shù)y= sinx在0, 2 上的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù) 值再將其向左、右平行移動(dòng) 侮次2個(gè)單位長(zhǎng)度,就可以得到正弦函數(shù)y= sin x在x R上的圖象，即正弦曲線.教學(xué)方法：建構(gòu)式教學(xué)法學(xué)生的現(xiàn)狀和教材：已學(xué)好指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及本章第一、二單元，能運(yùn)用函數(shù)及第一、二 單元的有關(guān)知識(shí)去解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題的高一學(xué)生 .教學(xué)流程：I示疑創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境問(wèn)題請(qǐng)聽(tīng)下面兩句詩(shī)：“問(wèn)君能有幾多愁，恰似一江春水向東流“君住長(zhǎng)江頭，我住長(zhǎng)江尾，日夜思君不見(jiàn)君，共引長(zhǎng)江水同學(xué)們濤濤江河之

7、水能否 在你們心中激起 波動(dòng)？這類(lèi)波動(dòng)都否用數(shù)學(xué)工具來(lái)描述？ 數(shù)學(xué)源于實(shí)際又作 用于實(shí)際，當(dāng)然能那么三角函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型的作用就首當(dāng)其沖，它具有良好的性質(zhì)，因而被應(yīng)用到方方面面本章引言中有很多例子在這里不多描述.那么三角函數(shù)到底有些什么樣的性質(zhì)？根據(jù)以前學(xué)習(xí)函數(shù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、 指對(duì)函數(shù)等的規(guī)律要研究其性質(zhì)必先了解其圖象 現(xiàn)在就請(qǐng)我們大家來(lái)一起探 索、研究三角函數(shù)的圖象到底是什么樣的呢？一一第三單元三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) § 481正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)一 板書(shū).口尋疑一一深入課堂、協(xié)作討論、抓住問(wèn)題、把握關(guān)鍵師1、考慮作函數(shù)圖象的根本方法是什么呢？描點(diǎn)法： 步驟如下例如、

8、作出y=sinx在0, 2 上的圖象；1列表0257435112x6323663236017 31J3101<3-110y=s inx22222-2"22描點(diǎn)3連線讓同學(xué)們自己發(fā)現(xiàn)此方法的弊端：標(biāo)函數(shù)值時(shí)得計(jì)算器等工具求三角函數(shù)值，所以得到的都是近似值，從而不能準(zhǔn)確的找準(zhǔn)位置那么有沒(méi)有更準(zhǔn)確的呢？此時(shí)同學(xué)們帶著急于想得到更準(zhǔn)確的方法的心理去想問(wèn)題，表?yè)P(yáng)看來(lái)同學(xué)們都具備了探索家、創(chuàng)造家的能力，馬上行動(dòng)起來(lái)吧 .師2、三角函數(shù)是繼指、對(duì)函數(shù)又一特殊以角為自變量，以比值為函數(shù)值函數(shù)，而且還有自己特殊的表示方式一一是什么呢？激發(fā)學(xué)生自動(dòng)探索的濃厚興趣，經(jīng)過(guò)沉思、溫故知新、商討已有大局部

9、同學(xué)考慮到用三角函數(shù)線將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題恍然大悟噢！原來(lái)是三角函數(shù)線呀幾何畫(huà)板4.06中文版翻開(kāi)多媒體師細(xì)講幾何畫(huà)板內(nèi)容：三角函數(shù)線的意義；幾何畫(huà)板內(nèi)容： 在直角坐標(biāo)系的x軸上任意取一點(diǎn)Oi，以O(shè)i為圓 心作單位圓，從。Oi與x軸的交點(diǎn)A起把。Oi分成12等份份數(shù)宜取6的倍數(shù), 份數(shù)越多，畫(huà)出的圖象越精確.過(guò)。Oi上的各分點(diǎn)作x軸的垂線，可以得到對(duì) 應(yīng)于0、6、3、2、2等角的正弦線，相應(yīng)地，再把x軸上從0到2這一段2 -6.28分成i2等份例如，從原點(diǎn)起向右的第四個(gè)點(diǎn)，就是對(duì)應(yīng)于 2角的 點(diǎn).把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與 x軸上的點(diǎn)x重合例如，把正弦線O iB向右平移，使點(diǎn)Oi

10、與x軸上的點(diǎn)2重合.再用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到了函數(shù)y= sinx在0, 2 上的圖象.說(shuō)明:自變量常用弧度來(lái)度量，使自變量表示到 x軸上時(shí)，其單位長(zhǎng)度易 于與表示函數(shù)值的y軸上的單位長(zhǎng)度一樣，這樣做，有利于不同的人畫(huà)出的形 狀根本相同的曲線，從而對(duì)曲線建立正確的認(rèn)識(shí) .師3、想要得到R上的正弦圖象怎么辦呢？同學(xué)們都異口同聲的答復(fù)一一平移，原因 根據(jù)“終邊相同的角有相同的三 角函數(shù)值再將其向左、右平行移動(dòng)每次2個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到正弦函 數(shù)y= sin x在x R上的圖象，即正弦曲線.師看來(lái)同學(xué)們通過(guò)自己的仔細(xì)觀察已經(jīng)正確的認(rèn)識(shí)了正弦函數(shù)的圖象了 所以同學(xué)們自己學(xué)習(xí)的能力

11、真是了不起的，相信自己定能成功！y廠7:、二、,"好一個(gè)“恰似一江春水向東流呀!師回憶此方法叫“正弦線幾何作圖法：等分;作正弦線；平移;連 線.圓滿完成了本課的第一個(gè)目標(biāo)、 第一個(gè)難點(diǎn)、同時(shí)也滲透了 “德育教育師趁熱打鐵、解決難點(diǎn)4、如何來(lái)作余弦函數(shù)的圖象?學(xué)生們幾乎不用想很快答復(fù)說(shuō)用“余弦線可是學(xué)生們又自我否認(rèn)了，因 為余弦線在X軸上無(wú)法進(jìn)行平移時(shí)間允許的話可簡(jiǎn)單講解余弦函數(shù)的幾何作 法又想用的正弦函數(shù)圖象來(lái)得出所以他們就主動(dòng)的找出正、余弦函數(shù)在 R上的關(guān)系利用誘導(dǎo)公式有以下幾種變形(i ) y cosx= sin( 2 -x)=- sin( x- 2 )生1分析圖象的變化：由正弦

12、函數(shù)y= sin x在實(shí)數(shù)集R的圖象先向右平移2個(gè)單位得到y(tǒng)= sin( X-2 )在R上的圖象；再把函數(shù)y= sin( x-2)圖象關(guān)于X軸對(duì)稱就得到y(tǒng)=- sin( x-2)的圖象，它和函 數(shù)y cosx是同一個(gè)函數(shù)，所以得到了余弦函數(shù)y cosx在R上的圖象.(ii) y cosx= cos( x) = sin 2 -(- x)= sin( x+ 2)生2分析圖象的變化：直接由正弦函數(shù)y= sin x在R的圖象向在平移2個(gè) 單位得到經(jīng)過(guò)討論，第二種變形更簡(jiǎn)單，所以采取第二種方式的平移.y=sinx y=cx師板書(shū)上述畫(huà)正弦曲線的方法是“正弦線幾何意義法，而余弦曲線是利用誘導(dǎo)公式導(dǎo)出與正弦

13、函數(shù)的關(guān)系，通過(guò)把正弦曲線向左平移2個(gè)單位得到的所以不廢吹灰之力同學(xué)們就解決了本節(jié)的第二個(gè)目標(biāo)、第二個(gè)難點(diǎn)師現(xiàn)在同學(xué)們已經(jīng)了解了如何準(zhǔn)確地畫(huà)出正、余弦函數(shù)圖象了 ，下面就實(shí)戰(zhàn) 演練，挑戰(zhàn)自己的能力練習(xí)：作出函數(shù)y= 1+sinx, x0, 2 的圖象學(xué)生們個(gè)個(gè)是越越欲試：老師馬上找學(xué)生1分析 只要先做出y= sinx,x0, 2 的圖象再向上平移即可，師表?yè)P(yáng)答復(fù)完全正確而且思維敏捷.學(xué)生2馬上就說(shuō)："可是工作量太大了，雖準(zhǔn)確但是比擬困難呀 ！"山析疑一一問(wèn)題升華、進(jìn)入重點(diǎn)：“五點(diǎn)法作正、余弦函數(shù)圖象師5、所以同學(xué)們就得再發(fā)揮你們的小宇宙尋求更簡(jiǎn)單的方法；同學(xué)們開(kāi)始討論，再次

14、仔細(xì)觀察函數(shù) y = sinx, x 0, 2 上的圖象，同時(shí)想 到畫(huà)一次函數(shù)的圖象不用描出過(guò)多的點(diǎn)，只需描出兩個(gè)代表性的點(diǎn)可謂是“關(guān) 鍵點(diǎn)即可.幾分鐘后學(xué)生們就主動(dòng)尋求了正弦函數(shù)圖象上的五個(gè)"關(guān)鍵點(diǎn)".五點(diǎn)如下：10,0、 2 ,1、 , 0、 3 , - 1、2 ,02而且只要是這五個(gè)點(diǎn)確定了，正弦函數(shù)的形狀也就根本上確定了.因此在精確 度要求不太高時(shí)，我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線將它們連接 起來(lái)，就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖.今后我們將經(jīng)常使用這種近似的"五點(diǎn)畫(huà)圖 法".師需要在這兒給予學(xué)生適當(dāng)?shù)奶崾?，為什么?huì)找這五個(gè)點(diǎn)？這五個(gè)點(diǎn)都 是些什么樣的

15、點(diǎn)？使得學(xué)生了解在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的學(xué)習(xí)文檔僅供參考幾何意義：在直角坐標(biāo)系中五點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是軸線角；在圖象上分別是：2,1是最咼點(diǎn)、，-1是最低點(diǎn)、0,0、，0、2 ,0是和X2軸的交點(diǎn)師像畫(huà)正弦曲線一樣，余弦曲線 x 0, 2 也可以用五點(diǎn)法畫(huà)出：五點(diǎn)如下：0, 1、 2, 0、, -1、亠,0、2 , 1，描點(diǎn).2此方法為“五點(diǎn)法：一定要注意這五個(gè)點(diǎn)的意義 板書(shū)W師詳解例題、標(biāo)準(zhǔn)步驟下面我們就可以利用五點(diǎn)法畫(huà)出以下函數(shù) 的簡(jiǎn)圖例1、畫(huà)出以下函數(shù)的簡(jiǎn)圖1y= 1+sinx, x 0, 2 2y= -cosx, x0, 2 1解法一：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表x02322sin x0

16、10-101+s in x12101利用光滑曲線描點(diǎn)畫(huà)圖其中用虛線畫(huà)出 y= sinx, x0, 2 的圖象£sinfTJ V3.J«廠3X3E0 2解法二：觀察上面兩個(gè)圖象關(guān)系通過(guò)"圖象平移"：所求函數(shù)y= 1+sin x, x0, 2 的圖象只需將 y= sin x, x0, 2 上的每一點(diǎn)向上平移 一個(gè)單位長(zhǎng)度就可得到.2解法一：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：學(xué)生自己做，老師巡回指導(dǎo)x07322cosx10-101-cosx-1010-1利用光滑曲線描點(diǎn)畫(huà)圖i1y-cosr, re 0,2ro-1J =CO5XpX0, 2列解法二：圖象對(duì)稱變換：函數(shù)y=-co

17、sx, x0, 2 的圖象與函數(shù) y= cosx, x 0, 2 的圖象象關(guān)于x軸對(duì)稱,所以將y= cosx, x 0, 2 的圖象作關(guān)于x軸對(duì)稱就可得到所求函數(shù)圖象.小結(jié)：解法一中一定要掌握自變量在長(zhǎng)度為一個(gè)周期上的閉區(qū)間上的“五 個(gè)點(diǎn) 二中說(shuō)明利用圖象間的關(guān)系通過(guò)平移、對(duì)稱變換等方式也是快捷的作出 函數(shù)圖象的方法同時(shí)希望同學(xué)們把"數(shù)"與"形"有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，解決問(wèn)題.V留疑反思余味、留下問(wèn)題教學(xué)任務(wù)完成后，我留下以下幾問(wèn)題：題1:小結(jié)本節(jié)內(nèi)容涉及的知識(shí)、思想方法以及易漏、易錯(cuò)的地方.找?guī)孜煌瑢W(xué)分別答復(fù)，教師綜全學(xué)生的答復(fù)作簡(jiǎn)明的概括：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要

18、了解 如何利用正弦曲線畫(huà)出正弦函數(shù)的圖象，并在此根底上由誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函 數(shù)的圖象，并會(huì)用 “五點(diǎn)法 畫(huà)正弦、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，會(huì)用這一方法畫(huà)出與正 弦、余弦函數(shù)有關(guān)的某些簡(jiǎn)單函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖題2:此節(jié)的三角函數(shù)圖象作為數(shù)學(xué)模型在其他學(xué)科、社會(huì)中有無(wú)重要應(yīng)用？你能否舉出實(shí)例證實(shí)它的作用？體會(huì)學(xué)科之間，科學(xué)文化與社會(huì)之間的聯(lián) 系來(lái)源于實(shí)踐又反作用于實(shí)踐題3:學(xué)完本節(jié)知識(shí)能否利用它來(lái)解決下節(jié)課的問(wèn)題一一正、余弦函數(shù)的性質(zhì)都有哪些即用圖象觀察性質(zhì)？反之如何利用性質(zhì)來(lái)畫(huà)圖象？你能否從 中體會(huì)“數(shù)形結(jié)合這一根本數(shù)學(xué)思想的巨大作用？W知識(shí)回歸一一數(shù)學(xué)練習(xí)、作業(yè)練習(xí)1、 1寫(xiě)出滿足以下條

19、件的x的區(qū)間:sin x> 0; cosx > 0. 2以下各等式能否成立？為什么？22cosx = 3;sin x = 0. 53畫(huà)出 y= sinx, y= cosx的圖象2、怎樣利用正弦線、余弦線直觀解題？例1確定滿足以下條件的角a的范圍:1 sin a + cos a > 1 ；3 sin a + cos aV 1 ;5I sin a | + I cos a | = 1 ；2 sin a + cos a = 1 ；4 Isin a I + Icosa I > 1 ；6 Isin a I + Icosa I V 1 .作業(yè)1、畫(huà)出以下函數(shù)的簡(jiǎn)圖:1y= sin x, x 0, 2 ;2y= 1+cos x, x 0, 2 課后反思：此課采用的是“建構(gòu)式教學(xué)法 ：就“問(wèn)題