專題勾股定理培優(yōu)版

1、專題勾股定理在動(dòng)態(tài)幾何中的應(yīng)用.勾股定理與對(duì)稱變換（一）動(dòng)點(diǎn)證明題1.如圖，在zBC中，AB=AC,(1)若P為邊BC上的中點(diǎn)，連結(jié)AP,求證：BP>CP=AB2-AP2;(2)若P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說明理由;(3)若P是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.2. （二）最值問題如圖，E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AE=3,BE=1,P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，WJPB+PE的最小值是如圖，四邊形ABCD是正方形，AABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一會(huì)處空次虹我點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋

2、轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.求證：AAMBAENB;(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小;當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由;C(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為T3+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)C3. 問題：如圖，在/ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若/BA2ZC=2ZDA(=45°,DC=2.求BD的長(zhǎng).小明同學(xué)的解題思路是：利用軸對(duì)稱，把ADCH行翻折，再經(jīng)過推理、計(jì)算使問題得到解決.(1) 請(qǐng)你回答：圖中BD的長(zhǎng)為；參考小明的思路，探究并解答問題：如圖，在/ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若/BAD=ZC=NDAC=30,DC=2求BD和AB的

3、長(zhǎng).圖圖二.勾股定理與旋轉(zhuǎn)5.閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在ABC(其中ZBAC是一個(gè)可以變化的角)中，AB=2AC=4以會(huì)處空次虹我BC為邊在BC的下方作等邊PBC求AP的最大值。小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合.他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將ABP®時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC,連接A'A,當(dāng)點(diǎn)A落在A'C上時(shí)，此題可解（如圖2）.請(qǐng)你回答：AP的最大值是參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下歹0問題：（結(jié)6. 如圖3,等腰RtABC邊AB=4,PAABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+C的最小值是果可以不化簡(jiǎn)）如圖，P是等邊三角形

4、ABC內(nèi)一點(diǎn)，AP=3BP=4CP=5求ZAPB的度數(shù).變式1:?ABC,ZACB=90,AC=BC點(diǎn)P是？ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=6PB=2PC=4求ZBPC的度數(shù)變式2:問題：如圖1,P為正方形ABCLft一點(diǎn)，且PA:PB:PG1:2：3,求ZAPB的度數(shù).小娜同學(xué)的想法是：不妨設(shè)PA=1,PB=2,PC=3,設(shè)法把PAPRPC相對(duì)集中，丁是他將BCF點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BAE(如圖2),然后連結(jié)PE,問題得以解決.請(qǐng)你回答：圖2中ZAPB的度數(shù)為.請(qǐng)你參考小娜同學(xué)的思路，解決下列問題：如圖3,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知ZAPB=15°,ZBPC=25

5、6;.在圖3中畫出并指明以PAPRPC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的一個(gè)三角形(保留畫圖痕跡);求出以PAPRPC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別等丁圖2已知RtzBC中，ZACB=90°,CA=CB,有一個(gè)圓心角為45”，半徑的長(zhǎng)等丁CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE,CF分別與直線AB交丁點(diǎn)M,N.(1)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ZACE的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，求證：MN2=AM2+BN2;(2)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時(shí)，關(guān)系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立,請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.圖變式1:如圖，在RtAABC中，2BAC=90：AC=AB,/DAE=45且BD

6、=3,CE=4頂DE=變式2:如圖，在RtAABC中，AB=AC,DE是斜邊BC上兩點(diǎn)，且ZDAE45°,將ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，后，得到AFB,連接EF,下列結(jié)論:AEDXAEF;ABEXACD; BEDC=DE; BE2+DC2=DE2其中正確的是（）A.；B.；C.；D.（三）其它應(yīng)用7.在ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為75、而、M3,求這個(gè)三角形的面積.小寶同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的.邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)ABC(即ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處)，如圖1所示.這樣不需求ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.(1)

7、請(qǐng)你將ABC的面積直接填寫在橫線上;思維拓展：（2）我們把上述求ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若ABC三邊的長(zhǎng)分別為必a、J13a、/17a（a：>0），請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫出相應(yīng)的ABC,并求出它的面積填寫在橫線上探索創(chuàng)新：（3）若ABC中有兩邊的長(zhǎng)分別為履a、應(yīng)a（a>0），且ABC的面積為2a2，試運(yùn)用抱貿(mào)法在圖3的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）中畫出所有符合題意的ABC（全等的已知ZABC=90°,點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在/ABC的內(nèi)部作等邊ABEmAPQ,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交BP丁點(diǎn)F.（1）如圖1,若AB=2右，點(diǎn)A、E、P恰好在一條直線上時(shí)，求此時(shí)EF的長(zhǎng)（直