數(shù)學(xué)蘇教版選修21作業(yè)315 空間向量的數(shù)量積

1、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是_(填序號(hào))若ab0，則a0或b0；若a0，則0或a0；若a2b2，則ab或ab；若abac，則bc.解析：中若ab，則有ab0，不一定有a0或b0.中當(dāng)|a|b|時(shí)，a2b2，此時(shí)不一定有ab或ab.中當(dāng)a0時(shí)，abac，不一定有bc.答案：已知向量a，b滿足條件：|a|2，|b|，且a與2ba互相垂直，則a與b的夾角為_(kāi)解析：因?yàn)閍與2ba互相垂直，所以a(2ba)0.即2aba20.所以2|a|b|cosa，b|a|20，所以cosa，b，所以a與b的夾角為45.答案：45已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a3b|_解析：

2、|a3b|2(a3b)2a26ab9b213.答案：已知單位向量e1，e2的夾角為60，則|2e1e2|_解析：|2e1e2|24e4e1e2e4411cos 6013，|2e1e2|.答案：若向量a與b不共線，ab0，且ca()b，則向量a與c的夾角為_(kāi)解析：acaa()baa()baaaaa0，ac.答案：90已知空間向量a、b、c滿足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，則abbcca的值為_(kāi)解析：abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.答案：13已知a(x，2，0)，b(3，2x，x2)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是_解析：cosa，b

3、，夾角為鈍角，cosa，b0，且a，b不共線，3x2(2x)0，x4.答案：x4設(shè)a，b，c是單位向量，且ab0，則(ac)(bc)的最小值為_(kāi)解析：ab0，且a，b，c均為單位向量，|ab|，|c|1，(ac)(bc)ab(ab)cc2.設(shè)ab與c的夾角為，則(ac)(bc)1|ab|c|cos 1cos .故(ac)(bc)的最小值為1.答案：1如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)；(2).解：(1)|cos，11cos 60.(2)|cos，11cos 120.已知如圖所示的空間四邊形OABC中，AOBBOCAOC，且O

4、AOBOC.M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)求證：OGBC.證明：由線段中點(diǎn)公式得：()()()，又，()()(|2|2)(|2|2)，|cosAOC，|cosAOB，且|，AOBAOC，0，即OGBC.能力提升已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是_解析：法一：由已知，|a|b|1，ab0，由此可知|ab|.將(ac)(bc)0展開(kāi)得abaccbc20.設(shè)ab與c的夾角為，則|c|2(ab)c|ab|c|cos ，即|c|cos .故當(dāng)cos 1時(shí)，|c|取最大值.法二：因?yàn)?ac)(bc)0，所以ac與bc互相垂直又因?yàn)閍b

5、，所以a，b，ac，bc構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，c是此四邊形的一條對(duì)角線當(dāng)c是直徑時(shí)，|c|達(dá)到最大值，此時(shí)圓內(nèi)接四邊形是以a，b為鄰邊的正方形，所以|c|的最大值為.法三：因?yàn)閍，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，所以可以以a，b為基底建立直角坐標(biāo)系，a(1，0)，b(0，1)，設(shè)c(x，y)，則ac(1x，y)，bc(x，1y)由(ac)(bc)0得(1x)(x)y(1y)0，所以x2y2xy，從而，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)取等號(hào)又|c|，故|c|的最大值為.答案：在ABC中，已知(2，4，0)，(1，3，0)，則ABC_解析：(2，4，0)，(1，3，0)，212010，| 2，|.cos，.ABC135.答案：135如圖，已知E是正方體ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中點(diǎn)，試求向量與的夾角的余弦值解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為m，a，b，c，則|a|b|c|m，abbcac0，又ab，ca，(ab)(ca)m2，又|A1C1|m，|，cos，.(創(chuàng)新題)已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|，且a與，均垂直，求向量a的坐標(biāo)解：(1)由題意，可得：(