線性代數(shù)技巧行列式的計(jì)算技巧

1、計(jì)算n階行列式的若干方法舉例n階行列式的計(jì)算方法很多，除非零元素較多時(shí)可利用定義計(jì)算(按照某一列或某 一行展開完全展開式)外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計(jì)算，特別要注意觀察所求題目 的特點(diǎn)，靈活選用方法，值得注意的是，同一個(gè)行列式，有時(shí)會(huì)有不同的求解方法。下面 介紹幾種常用的方法，并舉例說(shuō)明。1利用行列式定義直接計(jì)算例1計(jì)算行列式ain - Ia2 n-2111 an -iiannn!.0III0100III200Dn 二車+*+f*+n -1III0000III00n解Dn中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t ( n 1 n 21n)等于(n_2)，故25 -1)( n-2)0廠

2、(-1)2 nL2利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2 一個(gè)n階行列式Dnaij的元素滿足aj aji,i, j T,2,lll,n,則稱Dn為反對(duì)稱行列式，證明：奇數(shù)階反對(duì)稱行列式為零證明：由 aij = -a 知 a = a ,即aii = 0,i = 1,2，川,n故行列式Dn可表示為0_ai2ai20ai3a23Dn =_ai3_a230IIIIIIIII一4n_a2 n_a3IIIainIIIa2nIIIa3nIII IIIIII 0由行列式的性質(zhì)A =|A"0一 ai2一 ai3III一 ainai20a23III_a2nai3a230III一 a3nIIIIHIIIIIIHIain

3、a2na3nIII0n0 a2-ai20")n_ai3_a23III IH_ ain_a2nai3a230HI ainIH a2nIH a3nIII III III一 a3nIII 0= (-1)nDn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得 Dn= Dn，因而得Dn = 0.3.化為三角形行列式若能把一個(gè)行列式經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換化為三角形,其結(jié)果為行列式主對(duì)角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法。例3計(jì)算n階行列式abbIIIbbabIIIbD = bbaIIIbIIIIIIIIIIIIIIIbbbIIIa解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2, 3,n列都

4、加到第1列上，行列式不變，得a (n - 1)ba +(n 1)bD = a +(n _1)bIIIa (n - 1)bb b川b a b川b b a川b ill in in in b b川a10ba bb0IIIIII= a+( n_ 1)b00a bIIIIIImIHIII000III1b00ina - b二a (n - 1)b(a-b)211=a +(n 1)b 1IIIb b川b a b川b b a川b III HI III III b b川a4 降階法 降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是先利用

5、列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行 列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例4計(jì)算n階行列式a00III010a0HI0000aHI00Dn 二+000IIIa0100HI0a解將Dn按第1行展開a 0 0 川 00 a 0 III 00 a 0 川 00 0 a III 000a八0+ (_1嚴(yán)I-I»1»Ifr+1+4» * 乜4+*+0 0 0 a0 0 0 川 a10 0 III 0Dn = aan25.遞推公式法遞推公式法：對(duì) n階行列式Dn找出Dn與Dn-1或Dn與Dn-1, Dn-2之間的一種關(guān)系一 稱為遞推公式（其中 Dn, Dn- 1, Dn-2等結(jié)構(gòu)相同），再由

6、遞推公式求出 Dn的方法稱為遞推 公式法。例5證明x-10III000x-1III00Dn -IIIHIIIIIIIHIIII000IIIx-1anan-1an2IIIa2a xn +x +na1xT +a2xn-2 +111+ a1x+ an, (n證明：將Dn按第1列展開得x0-1x0-1IIIIII0000Dn 二 XIIIIIIIIIIIIIIIHI000IIIx-1an1an_2an-3IIIa2a x(-1)n 1(1)nn-2a-10 III00+(-1)仕X-1 III00IIIHI IIIIIIIII00 IIIX-1由此得遞推公式：DnanxQ,利用此遞推公式可得6.Dn

7、= an利用范德蒙行列式6計(jì)算行列式把第1行的一把新的第XD-1X11X2 x1n -An-2X1X11倍加到第2行,n 1行的一1倍加到第n行,anan-1XX1一 2X2X1X1n1-1x(a n_1X2D n_2anan_1XIlkIIIX2 1X； x2n-1n-2X2X2IIIIIIIIIXDn _2)n1 丄 nXXn 1X：Xnn-1n-2XnXn把新的第2行的一1倍加到第3行，以此類推直到便得范德蒙行列式IIIIIIIIIIIIXnxjX：T二 n(Xi - Xj)nj_1naia2IIInan 1n -1a1 dn-22a1b1IIIn1bnn1a2 b2n-2 2a2b2I

8、IIn1a2pb；IIIIIIIIIIIIIIIn _1 Uan 1bn 1n 2*2 an 1 bn 1IIIa bn1n 1W 1b：+1abkk= 0, i, 2,n 即ai按其中 3 a2 I H an 1 = 0 解 這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是降幕排列，bi按升幕排列，且次數(shù)之和都是n，又因ai = 0，若在第i 行（i =1, 2,，n）1< j :i w n 1<ai提出公因子3in，則D可化為一個(gè)轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即1bkIIIa1g丿g丿nn i j in1b.閏2IIID =印 a2 Illan州a222丿何丿IIIIIIIIIIIIIII1bn勺f亦】

9、2III一nanFI an比丿gF丿n 1=nn=n（ba-qbj）.1< j :i< n 17.加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例7計(jì)算n階行列式解:x a1aiaiIIIai1a1a2IIIanx a2IIIana2IIIanIIIIIIIIIa2IIIx aIII1aa2III第i行減第1行-1x0IIIi = 2,|,n + i-10xIIIIIIIIIIIIIII-100IIIn0III (箭形行列式)aan0n a,1、_L jm xa1a2III0x0III00xIII000IIIn00x計(jì)算n (n >

10、 2)階行列式1 +a111HI111 +a21川1Dn =111 + a3III1IIIHIIIIIHIII111III1 +a例3其中 alHan =0 解 先將Dn添上一行一列，變成下面的 n - 1階行列式:顯然，Dn 1 = Dn1101 +a1D計(jì)=01川HI01將Dn d的第一行乘以1HI11川11a2川1HIHIIII1川1 a-1后加到其余各行，得III11III1a10III011a2III0IHHIIIIIII00IIIan1-10因a式0，將上面這個(gè)行列式第一列加第1i （i = 2，n 1）列的倍，得:a111川1-1a100-10a2" I0IIIIIII

11、IIIIIIII-100川ann 1111 IIIi A ai00 III00a2IIIIIIIIIIHHI000川100HIa10III1+丄0 川 、-aJillIIIm00III0HI=alllanim ain 1故Dn=叩2川a. 1+瓦< i ai J8.數(shù)學(xué)歸納法例8計(jì)算n階行列式x-10HI000x-11*100Dn =IIIinIIIIIIinIII0001*1x-1anan A.an _2HIa2印+x當(dāng)n =2時(shí)x-1D? =x(x+aj+a2a2 x + 印=x2a1x a2假設(shè)n = k時(shí)，有Dk 二 xkaxk a2Xk，II) akx ak則當(dāng)n = k+1時(shí)

12、，把Dk+i按第一列展開，得Dk i = xDkak -i= x(xk qxk'川 ax aQ ak 1xk 1 - axk HI ak4x2 - akx ak 1 由此，對(duì)任意的正整數(shù)n,有Dn =xn yxn II) an/ anx an9 拆開法把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)化以利計(jì)算。ai i a2 IIIa1a2IIIan +打a1a2IIIana2IIIan解：Dn =a1a2十'2 HIan0a2 +丸 2IIIanI-1-卜faF+1-(hFa1a2IIIan + 扎 n00IIIan十九n例9計(jì)算

13、行列式Dn二aia 2 INnai0a2III川anan''iDnjiIII例4 計(jì)算n ( n > 2)階行列式X12x2IIInX1ylX2Y12X2 y2IIInX2yIIIINIIIIIIXnY12Xn y2IIInXnynnDn尸1n1再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第行列式提出第一列的公因子112 +x°2IIIn +x°nX"12 +約2IIIn +斫12 +x2y2IIIn +x2yn+X2y12 +X2y2IIIn +x2ynIIIIIIIIIIIIHIIIIIHIII12 +Xny2IIIn +XnynXny12 + xny

14、2IIIn + Xnyn解 將Dn按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，即i列(Dnn)減去第一列的ii = 2 , 3,-1X2IIIXnX12+5IIIn + xn|1畑2IIIX2ynX22+X22IIIn + X2ynIIIIHHIIIIHIIHIII川1Xny2川XnynXn2 + 人丫2HIn + Xn ynyi，則可得到Dn1X1川X1X12IIIny2叫X2IIIHI X2 III HI+y1X2HI2III*nIHnHI1XnHI XnXn2*nn當(dāng) n>3 時(shí)，Dn =0 當(dāng) n=2時(shí)，。2=%-石 丫2-2% 上面介紹了計(jì)算 n階行列式的常見方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對(duì)具

15、體問(wèn)題，把 握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。學(xué)習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計(jì)算。第1講計(jì)算行列式的若干基本方法計(jì)算行列式并無(wú)固定的方法.其實(shí)，同一個(gè)行列式可以有多種不同的方法進(jìn)行計(jì)算. 因此，除了掌握好行列式的基本性質(zhì)外，針對(duì)行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，才能較快 地酸楚行列式這一講，我們將介紹一些常用的方法.1.化為已經(jīng)熟悉的行列式來(lái)計(jì)算我們已經(jīng)知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如A 0A * B0 B的行列式的結(jié)果.如果利用行列式的性質(zhì)可把給定的行列式化為以上這些形式，則不難求出所給行列式的值.為了敘述簡(jiǎn)便，仍用記號(hào)i尸i j lj h j表示互換行列式的第i行（列

16、）與第j c i c i 1表示將第i行（列）乘以非零的數(shù) c.行（列）；用i k j Ij 1 k Ij 1表示將行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用例1計(jì)算行列式1-3-1327-3915D =204-213-571464-410-102解 這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來(lái)計(jì)算.1-12-310204-1-00-10-20-21-530022-21-12-310204-100-10-2001-120022-21-12-310304-1-00-10-2000-100002-61-12-310204-100-10-2000-100000-6廠 34 223

17、13丄14-31D5-4110000-102-202-1012-304-521-2-13-2-1 2 -1-1-6計(jì)12 .計(jì)算n階行列式1a1a21畑a3a3IIIIIIananD =a1a21 +a3IIIanIIIIIIHIhlIIIa1a2a3III1 +a解 這個(gè)行列式每一列的元素， 除了主對(duì)角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似, 因此n列之和全同將第2, 3,，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的 兀素全是1 D1+(q+ a2 +川+ an)a21a2a3川an1 1+ a2a3HIan=|1 吃 ai1a21 + a3HIanIIIIIIIIIHIHI1a2a3

18、川1+an1a2a3IIIan010III 0心1) jn1吃lai001III 0i =2,IH, ni 4七IIIinIIIIII III000III 1n=.1+E a M =1 +瓦 a .i生i 二1aiaH'an1aia2an1aia|anIII11 I i 1i =2,川，na21 a2a2IHa3a31 a3IIIa3IHIHIHIIIIHanananIH1 + an例6 計(jì)算n1階行列式na1n九a1 DD =a；afIIIIIInan +a：；bn.n_2| 2a1 bHIa1b1nbna2 b2IIIa2b；b；IHIIIHIIIIa2b2 an卅bn卅HIan

19、*bn 十bh其中alllan廠0解 這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是ah，k = 0, 1，2,，n.即 ai按降幕排列，b按升幕排列，且次數(shù)之和都是n,又因q =0，若在第i行（i =1, 2,，n）提出公因子ain，則D可化為一個(gè)轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即ai<a1丿IIIb2IIIa2IIIi、na2IH<a2丿HI電lan卅HI|山1an舟i'b bjIIIn1< j:i < n 1a.aj，1丨 baj -ajbj .1< j :i < n 12.降階法當(dāng)一個(gè)行列式的某一行（列）的元素有比較多 將它化為較低階的行列式來(lái)計(jì)算.例7 計(jì)算n（n&

20、gt;2）AlZ0時(shí)，禾u用行列式的依行（列）展開定理階行列式0III10HI0aIII0III III III in hi0IH00III解按第一行展開，得aIII0HlininHl0lil014n+ (110III00III0aIII0IIIIIIIIIIIIIII0III再將上式等號(hào)右邊的第二個(gè)行列式按第一列展開，則可得到D =an +（1（ _1）（n_* 尸 an，=an_an -22T .3.拆項(xiàng)法拆項(xiàng)法是將給定的行列式的某一行（列） 將它表成一些比較容易計(jì)算的行列式的和.例8 計(jì)算n（n>2）階行列式的元素都寫成同樣多的和，然后利用性質(zhì)X1 y12x"2IIInx

21、yX2y12X2 y2IIInX2yIIIIHIIIIIIXn%2Xn y2IIInXnyn1nDn戸1解 將Dn按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，即12柿2IIIn +冊(cè)Dn =12 + x2 y2川n +X2ynIII川IIIIII12 +Xn2IIIn +Xnyn再將上式等號(hào)右端的第個(gè)行列式第i 列( i =列式提出第一列的公因子yi，則可得到X12+x2IIIn +Xn+X2y12 +x2 y2IIIn +X2yn1HIIIIIIIIIIXny12 + Xn y2IIIn + Xnyn2 , 3,，n)減去第一列的i倍；第二個(gè)行當(dāng)n>3時(shí)，DnX-aaXaaIIIIIIaaDn =-a

22、-aXIIIa,(a 式 0 )IIIIIIIIIIHIII-a-a-aIIIXDn變成兩個(gè)行列式的和，即(x _a )+a-a0 + aX0+aaDn =-a-aX川IIIIH-a-a-ax a00 川-aXa川a(二-a-ax ill a(IIIIIIHI HI HI-a-aaill x解將第一行的元素都表成兩項(xiàng)的和，使III0+a川a川aIIIIII川x將等號(hào)右端的第一個(gè)行列式按第一行展開，得:a-aaXaaHIIIIaa+-a-aXHIaIHHIHIIIIIH-a-a-aHIX1X2川XnX12+紬2 IIIn十呷1X2yIII X2ynX22 + x2y2IIIn + X2ynIII

23、 III III IIIHIIH III川1初2川XnynXn2 + Xny2IIIn + Xn yn1 x IIIX1X12 III ni 1 I1X2IIIX2X22 "I nyzillyn4y1|IH III IIIHIHI III IH HI1XnIIIXnXn 2 川 n=0.Dn當(dāng) n =2 時(shí)，D2 二 x2 -xiy2 -2% .例9 計(jì)算n階行列式a a a 川 aaaa HIa-ax a 川 a0 x + a 2a "I 2a-a-ax 川 a=00 x + a2aih 川 in ih nIH IN Hl IH HIaaa j | x000 川 x+an

24、x -a0ax-a-aIIIIII-a-a0axIH-aIIIIIIIIIIIIIIIaa = ( x_a )DnIIIx這里Dn是一個(gè)與Dn有相同結(jié)構(gòu)的n -1階行列式；將第二個(gè)行列式的第一行加到其余各行，得:二 a x a于是有（1）njDn 二 x-aDn ax a另一方面，如果將Dn的第一行元素用另一方式表成兩項(xiàng)之和:x a-a 0 a 0 a |0 a仿上可得:Dn 二 x a Dn j - a x-a(2)將（1）式兩邊乘以 x a，（2）式兩邊乘以 x-a，然后相減以消去 DnJ，得:4.加邊法得加邊行列式，建立新的行列式與原行列式的聯(lián)系,在給定的行列式中添上一行和一列, 以求得

25、結(jié)果.例10計(jì)算n （n>2）階行列式1 +a111III111 +a21III1Dn =111七3III1IIIHIIIIIHIII111III1 +a其中 aia2IHa-0.顯然，Dn 1 = Dn解 先將Dn添上一行一列，變成下面的 n -1階行列式:III11III1a10III011a2III0IHHIIIIIII00IIIan1-10因a =0，將上面這個(gè)行列式第一列加第1i （i = 2，n 1）列的 倍，得: ai_!111川1-1a100-10a2" I0IIIIIIIIIIIIIII-100川ann 1111 IIIi A ai00 III00a2IIII

26、IIIIIIHHI000川100HIa10 III1三血in i'i00HI111HI101 +a11川1D計(jì)=011 +a2川1川HIHIHIIII011川1+a將Dn d的第一行乘以-1后加到其余各行，得00 III=alllann1 'im丄ain 1Dn =aia2llian 1 +Z < i#ai 丿5.遞推法遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將給定的行列式表成若干個(gè)具有相同形狀以及一些容易計(jì)算的，但階數(shù)較低的行列式之和， 然后利用這種關(guān)系式計(jì)算原行列式的值，最后再用數(shù)學(xué)歸納法證明所得到的結(jié)果正確.這是一種頗常使用的方法，在計(jì)算范德蒙行列式時(shí)已建立

27、過(guò)遞推關(guān)系式，本講的例6也利用了遞推關(guān)系式.使用遞推法計(jì)算行列式，一般分三個(gè)步驟，首先找出遞推關(guān)系式，然后算出結(jié)果，最后 用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)果正確.例11計(jì)算n階行列式X-10III000X-1III0000X川00川HIin川HIIII000川X-1anan _1an_2川a2a +xDnX-10III00-100III000X-1HI001 L 1X-10川0000XIII00n*+(1) an0X-1III00IIIIIIinHIIHIHIIIHIIIIIIIHI川000川X-1000IIIX-1an A.an_2a J3IIIa2印+x解 首先建立遞推關(guān)系式.按第一列展開,得:Dn =

28、 Xn A-1XDn an ,n卅二 xDnFpTan這里Dnd與Dn有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是 n -1的行列式.現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計(jì)算結(jié)果.對(duì)此，只需反復(fù)進(jìn)行代換，得:2Dn = X XDn/ an4an 二 X寺“ 2=x xDn； andanaX anIHIIHHHIIIIIIIIIIHIIIIHIIIIHIn -1n 二二x Di a2Xaaa." an ,因 U = x + d =x ，故Dn =xn aiXn III anx an.最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的.當(dāng)n =1時(shí)，顯然成立.設(shè)對(duì) n -1階的情形結(jié)果正確，往證對(duì) n階的情形也正確.由Dn =xD

29、n4 an =x xn° a/2 III an/X anj i亠 an=xn - aixn V an jx - an ,可知，對(duì)n階的行列式結(jié)果也成立.根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù)n,結(jié)論成立.例12證明n階行列式210III000121III000Dn=IIIIIIIIIIHIIHIHI=n +1000III121000III012證明按第一列展:開，得210III000100IH000121III000121IH000Dn=2IIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIHminIIIHIIIIIH000III121000IH121000III012000IH012其中，等號(hào)右邊的

30、第一個(gè)行列式是與 Dn有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為n -1的行列式，記作DnJ ； 第二個(gè)行列式，若將它按第一列展開就得到一個(gè)也與Dn有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為 n-2的行列式，記作Dn 這樣，就有遞推關(guān)系式：Dn = 2DnDn _2 -因?yàn)橐褜⒃辛惺降慕Y(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來(lái)證明這個(gè)結(jié)果是正確的.當(dāng)n =1時(shí)，D2，結(jié)論正確.tc21當(dāng)n=2時(shí)，D2 = =3，結(jié)論正確.設(shè)對(duì)k < n -1的情形結(jié)論正確，往證 k =n時(shí)結(jié)論也正確.由Dn 二 2Dn4 - Dn/ = 2n - n -1 二 n 1可知，對(duì)n階行列式結(jié)果也成立.根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù)n,結(jié)論成立.二、行列式計(jì)

31、算方法1. 定義法2. 化為三角形行列式的方法3. 化為范得蒙行列式的方法4. 拆行（列）法5. 降級(jí)法6.加邊法7.數(shù)學(xué)歸納法8. 遞推法9. 因式分解法本章主要內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系重點(diǎn)行列式的計(jì)算難點(diǎn)行列式概念，行列式的展開定理及用定義證明行列式性質(zhì)3.化為范得蒙行列式的方法例1計(jì)算行列式XiX22X2n _2X1nX1n -2X2n _2nnX211 1X1X2Xn2X1X；2XnP(y) =- 一-X1n -2.亠X2nJXnn 二X1n=X2n 二XnnX1nX2nXn作如下行列式，使之配成范德蒙行列式1y2yn2yn 二ynynH (y - xj 丨丨(Xi i#1_j：:jnXj)易知

32、Dn等于P(y)中ynJ1的系數(shù)的相反數(shù)，而P(y)中y2 的系數(shù)為-Z X k 口 ( x i X j )，因此， k1 j ：:：i 空nnD n 八"Xk | 丨(Xi - Xj )k =11 < j ：J <n4.拆行(列)法例2計(jì)算行列式y(tǒng)zxz Xy解:(3) (y z)(l)D =xy xz yzy2 + yz + xz yz + z2 + xy(3) x(1)x2 xy yz xzy2 xy yz xzz2 +xy + yz + xz=(xy yz xz)(y -x)(z-x)(z- y)5.降級(jí)法例3計(jì)算行列式Ct0P a0 P 0000D =，.-00

33、0 aPP00 0ot解：易得 D = > n (-1)nn 16.加邊法例4計(jì)算行列式1如11 111 + a21 1Dn =111 + a31111 1 +a解:111-1111101 +a11一1-1a10 0Dn =011 +a21=-10a200111 +ar-100 ann 11 +z11 .L1y aiai半0a10 0n1 )a aik4,2?；n00a2 0(1+瓦i 4an000an而當(dāng)a02an =0時(shí)可分只有一個(gè)因子為零或至少有兩個(gè)因子為零可得同樣的結(jié)果.9.因式分解法如果行列式D是某個(gè)變數(shù)x的多項(xiàng)式f(x)，可對(duì)行列式施行某些變換，求出 f(x)的 互不相同的一

34、次因式， 設(shè)這些一次因式的乘積為 g(x)，則D = f(x) = cg(x)，再比較f (x) 與g(x)的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出 c值三、行列式的計(jì)算方法方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上(下)三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上(下)三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某 種保值變形，再將其化為三角形行列式。例3 :浙江大學(xué)200

35、4年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題(重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題)的解答中需要計(jì)算如下行列式的值：123IIIn 1n234IIIn1Dn =3卜415卜III1A2+卜n1卜2III電n2+n 1分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有 n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)， 先從第 n-1列開始乘以一1加到第n列，第n-2列乘以一1加到第n-1列，一直到第一列乘以一1 加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多 了。解:1 11III2

36、11IIIDn=311III+4n 1-n1III11111HI1111 n(i =2,|(|, n)100HI0_n1 n1200HI_n0i+r =1:dr+4i1+1k-1_nF0in+0401(i =2,川，n) 11-rnn12+n -2n -10000川0-n0I )1-n0 1 n(n1)n 2000-n川0000III0-n0+01III_n1-0+01nIII00_n0III001 n(n 1)n 2n 4( n)(-1)(n 1)2n(n 4)-1 h方法2 按行（列）展開法（降階法） 設(shè)Dn =引為n階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有Dn =aiA 十Q2A2 十

37、 I ll"*"ainAn U =1,2，川,n )或Dn fA 72）嗆川乜可厲j =1,2，川,n其中Aj為Dn中的元素aij的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個(gè) n階行列式化為n個(gè)n-1階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按 行（列）展開法，可以將 n階行列式降階直至化為許多個(gè) 2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式 的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時(shí)，應(yīng)利 用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例4、計(jì)算20階行列式123III1819

38、20212III171819D20 3+2Fb1Fb川16i17i118F卜+20f19r18III32P1分析這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行 20！ *20 1次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無(wú)法完成的， 更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列(行)的對(duì)應(yīng)元素僅差1,因此，可按下述方法計(jì)算:解:123III181920212III171819321III16仃18+4h+4+1Pb1+201918III321111III 111302III 222,20)400III 222+i+¥4+i+I-42000III 0022100III 000(i =2,|1Ci 1 -Ci(i =1,11119)1920=21 (T)201 218-1-1-1川川IIIIIIIII-1-1=-21 218-1-1-1方法3遞推法