多元線性回歸模型的各種檢驗(yàn)方法

1、對多元線性回歸模型的各種檢驗(yàn)方法對于形如Y=:01X12X2kXku（1）的回歸模型，我們可能需要對其實(shí)施如下的檢驗(yàn)中的一種或幾種檢驗(yàn)：一、對單個(gè)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)：t檢驗(yàn)在這種檢驗(yàn)中，我們需要對模型中的某個(gè)（總體）參數(shù)是否滿足虛擬假設(shè)H。：aj,做出具有統(tǒng)計(jì)意義（即帶有一定的置信度）的檢驗(yàn)，其中aj為某個(gè)給定的已知數(shù)。特別是，當(dāng)aj=0時(shí)，稱為參數(shù)的（狹義意義上的）顯著性檢驗(yàn)。如果拒絕H。，說明解釋變量Xj對被解釋變量Y具有顯著的線性影響，估計(jì)值3才敢使用；反之，說明解釋變量Xj對被解釋變量Y不具有顯著的線性影響，估計(jì)值對我們就沒有意義。具體檢驗(yàn)方法如下：（1）給定虛擬假設(shè)H。：=aj；t?

2、E(j)?aj(2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量SeC?)Se(p?j)的數(shù)值;SeC?j)*A其中Cjj(XTX)1jij+1(3) 在給定的顯著水平“下(°不能大于0.1即10%也即我們不能在置信度小于90%U下的前提下做結(jié)論)，查出雙尾t(n-k-1)分布的臨界值匕/2；(4) 如果出現(xiàn)|t|>ta/2的情況，檢驗(yàn)結(jié)論為拒絕H。；反之，無法拒絕H0Op?.-P.t檢驗(yàn)方法的關(guān)鍵是統(tǒng)計(jì)量t=藍(lán)用必須服從已知的t分布函數(shù)。什么情況或條件下才會這樣呢？這需要我們建立的模型滿足如下的條件(或假定)：(D隨機(jī)抽樣性。我們有一個(gè)含n次觀測的隨機(jī)樣"Xi1,Xi2，Xik,YJ：i=1,2,，

3、n。這保證了誤差u自身的隨機(jī)性，即無自相關(guān)性，CoMui-E(u)(Uj-E(Uj)=0。(2)條件期望值為0。給定解釋變量的任何值，誤差U的期望值為零。即有E(u|X1,X2,Xk)=0這也保證了誤差u獨(dú)立于解釋變量X1,X2,X,即模型中的解釋變量是外生性的，也使得E(u)=0。(3)不存在完全共線性。在樣本因而在總體中，沒有一個(gè)解釋變量是常數(shù)，解釋變量之間也不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系。(4)同方差性。Var(u|Xi,X2，Xk)2=常數(shù)。(5) 正態(tài)性。誤差U滿足uNormal(0,。2)。在以上5個(gè)前提下，才可以推導(dǎo)出：?jNj,Var(?j)(?jj)/Sd(?j)N(0,1)(?jj)

4、/Se(?j)tnk1由此可見，t檢驗(yàn)方法所要求的條件是極為苛刻的。二、對參數(shù)的一個(gè)線性組合的假設(shè)的檢驗(yàn)需要檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)為Ho：prpj2o比如無法直接檢驗(yàn)。設(shè)立新參數(shù)="-：2。原虛擬假設(shè)等價(jià)于Ho：*=0。將晨=%+匕代入原模型后得出新模型：Y=':01X12(X1X2)kXku在模型(2)中再利用t檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)虛擬假設(shè)Ho：3=0。我們甚至還可以檢驗(yàn)這樣一個(gè)更一般的假設(shè)H)目n0:AP0011kkCt統(tǒng)計(jì)量為,犯-入8“八：2iTt(nk1)s4人(Xx)11三、對參數(shù)多個(gè)線性約束的假設(shè)檢驗(yàn)：F檢驗(yàn)需要檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)為H。：,=0,Ckq1,kq2,該假設(shè)對模型（1）

5、施加了qj排除性約束。模型（1）在該約束下轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦碌男履Ｐ停篩=:01X12X2kqXkqu（3）模型（1）稱為不受約束（ur）的模型，而模型（3）稱為受約束（r）的模型。模型（3）也稱為模型（1）的嵌套模型，或子模型。分別用OLS方法估計(jì)模型（1）和（2）后，可以計(jì)算出如下的統(tǒng)計(jì)量：RSSrRSSur/qRSSur/(nk1)關(guān)鍵在于，不需要滿足t檢驗(yàn)所需要的假定（3）,統(tǒng)計(jì)量F就滿足：FFq,n-k-1。利用已知的F分布函數(shù)，我們就可以拒絕或接受虛擬假設(shè)H0Ik-q1=0Ik-q2>>'k=0了。所以，一般來講，F(xiàn)檢驗(yàn)比t檢驗(yàn)更先使用，用的更普遍，可信度更高。利用關(guān)系

6、式RSG=TSS（1-R2）,RSS=TS41-Rr),F統(tǒng)計(jì)量還可以寫成：LR；r-Rr2/qF=-2-(1-RUr)/(n-k-1)四、對回歸模型整體顯著性的檢驗(yàn)：F檢驗(yàn)需要檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)為H。：丁0,乙，、k=0。相當(dāng)于前一個(gè)檢驗(yàn)問題的特例，q=ko嵌套模型變?yōu)檠?P0+uoR2=0,RSSPTSS,Rr=R2。F統(tǒng)計(jì)量變?yōu)椋贺蜶2/kF-27T-(1R2)/(nk1).ESS/kRSS(nk1)五、檢驗(yàn)一般的線性約束需要檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)比如為H。：丁12，屋=。受約束模型變?yōu)椋篩0X1u再變形為：YXrp0uof統(tǒng)計(jì)量只可用：RSSrRSSr/qF.!1RSgr/(nk1)其中，RSS=

7、TSSY_X1=s(Y-XQ-(Y-Xi)2=z1(Y-Y)-(Xi1-Xi)2o六、檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)集的回歸參數(shù)是否相等：皺(至莊)檢驗(yàn)虛擬假定是總體回歸系數(shù)的真值相等。步驟如下：(1)基于兩組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行相同設(shè)定的回歸，將者的RSS另I記為RSS和RSS2。(2)將兩組樣本數(shù)據(jù)合并，基于合并的樣本數(shù)據(jù),進(jìn)行相同設(shè)定的回歸，將回歸的RSS記為RSG。(3)計(jì)算下面的F統(tǒng)計(jì)量：l(RSSTRSSRSS2)/(k+1)F(RSS+RS)/(n1+n22k2)(4)如果FZF,拒絕原假定。七、非正態(tài)假定下多個(gè)線性約束的大樣本假設(shè)檢驗(yàn)：LM(拉格郎日乘數(shù))檢驗(yàn)F檢驗(yàn)方法需要模型(1)中的U滿足正態(tài)性假

8、定。在不滿足正態(tài)性假定時(shí)，在大樣本條件下，可以使用LM統(tǒng)計(jì)量。虛擬假設(shè)依然是Ho：Pk-q+rOJk-q+2Jk=0。LM統(tǒng)計(jì)量僅要求對受約束模型的估計(jì)。具體步驟如下:(i)將Y對施加限制后的解釋變量進(jìn)行回歸，保留殘差。即我們要進(jìn)行了如下的回歸估計(jì)+pkqVppYpVY01X12X2(ii)將U1對所有解釋變量進(jìn)行輔助回歸，即進(jìn)行如下回歸估計(jì)aO+aOXZ+aOXZ+aOXZ+0iXi2X2kXk并得到R-平方，記為R2。(iii)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量(iv)將LM與父LMnRu;分布中適當(dāng)?shù)呐R界值C比較。如果LM>c,就拒絕虛擬假設(shè)Ho；否則，就不能拒絕虛擬假設(shè)H0o八、對模型函數(shù)形式誤設(shè)問題的

9、一般檢驗(yàn)：RESET如果一個(gè)多元回歸模型沒有正確地解釋被解釋變量與所觀察到的解釋變量之間的關(guān)系，那它就存在函數(shù)形式誤設(shè)的問題。誤設(shè)可以表現(xiàn)為兩種形式：模型中遺漏了對被解釋變量有系統(tǒng)性影響的解釋變量；錯誤地設(shè)定了一個(gè)模型的函數(shù)形式。在偵察一般的函數(shù)形式誤設(shè)方面，拉姆齊(Ramsey1969)的回歸設(shè)定誤差檢驗(yàn)(regressionspecilficationerrortest,RESET)是一種常用的方法。RESE啃后的思想相當(dāng)簡單。如果原模型(1)滿足經(jīng)典假定(3),那么在模型(1)中添加解釋變量的非線性關(guān)系應(yīng)該是不顯著的。盡管這樣做通常能偵察出函數(shù)形式誤設(shè)，但如果原模型中有許多解釋變量，它又

10、有使用掉大量自由度的缺陷。另外，非線性關(guān)系的形式也是多種多樣的。RESETS是在中K型（1）中添加模型（1）的OLS擬合值的多項(xiàng)式，以偵察函數(shù)形式誤設(shè)的一般形式。為了實(shí)施RESET我們必須決定在一個(gè)擴(kuò)大的回歸模型中包括多少個(gè)擬合值的函數(shù)。雖然對這個(gè)問題沒有正確的答案，但在大多數(shù)應(yīng)用研究中，都表明平方項(xiàng)和三次項(xiàng)很有用。令表示從模型（1）所得到的OLS古計(jì)值?？紤]擴(kuò)大的模型丫=兔+AXi+P2X2+Xk+6仔+62/+8（4）這個(gè)模型看起來有些奇怪，因?yàn)樵烙?jì)的擬合值的函數(shù)現(xiàn)在卻出作為解釋變量出現(xiàn)。實(shí)際上，我們對模型（4）的參數(shù)估計(jì)并不感興趣，我們只是利用這個(gè)模型來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?）是否遺漏掉了重要的

11、非線性關(guān)系。記住，P和密都只是Xj的非線性函數(shù)。對模型（4）,我們檢驗(yàn)虛擬假設(shè)H0：6lO,3O。這時(shí)，模型（4）是無約束模型，模型（1）是受約束模型。計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量。需要查F2，n-k-3分布表。拒絕Ho,模型（1）存在誤設(shè)，否則，不存在誤設(shè)。九、利用非嵌套模型檢驗(yàn)函數(shù)形式誤設(shè)尋求對函數(shù)形式誤設(shè)的其他類型(比如，試圖決定某一解釋變量究竟應(yīng)以水平值形式還是對數(shù)形式出現(xiàn))作出檢驗(yàn)，需要離開經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)的轄域。有可能要相對模型丫一。+ilog(X)B210g(X2)+log(Xk)-(5)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?1),或者把兩個(gè)模型反過來。然而，它們是非嵌套的，所以我們不能僅使用標(biāo)準(zhǔn)的F檢驗(yàn)。有兩種不同的方法。一

12、種方法由MizonandRichard(1986)提出，構(gòu)造一個(gè)綜合模型，將每個(gè)模型作為一個(gè)特殊情形而包含其中，然后檢驗(yàn)導(dǎo)致每個(gè)模型的約束。對于模型(1)和模型(5)而言，綜合模型就是丫="+ZXi+"Xk+”410g(Xi)+，4kiog(Xk)+R(6)可以先檢驗(yàn)H.：k=0，16kL。，作為對模型(1)的檢驗(yàn)。也可以通過對檢驗(yàn)Ho："。,VO,作為對模型(5)的檢驗(yàn)。另一種方法由DavisonandMacKinnon（1981）提出。認(rèn)為，如果模型（1）是正確的，那么從模型（5）得到的擬合值在模型（1）中應(yīng)該是不顯著的。因此，為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?）的正確性，首先

13、用OLS估計(jì)模型（5）以得到擬合值，并記為九在新模型丫=1+設(shè)1+吵2+斷卜+。1落口（7）中計(jì)算中的t統(tǒng)計(jì)量，利用t檢驗(yàn)拒絕或接受假定h0：3.。顯著的t統(tǒng)計(jì)量就是拒絕模型（1）的證據(jù)。類似的，為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?）的正確性，首先用OLS古計(jì)模型（1）以得到擬合值，并記為五在新模型Y=P0+P1log（X1）+P2|og（X2）+'+久log（Xj+。#+N（8）中計(jì)算中的t統(tǒng)計(jì)量，利用t檢驗(yàn)拒絕或接受假定Ho”。以上兩種檢驗(yàn)方法可以用于檢驗(yàn)任意兩個(gè)具有相同的被解釋變量的非嵌套模型。非嵌套檢驗(yàn)存在一些問題。首先，不一定會出現(xiàn)一個(gè)明顯好的模型。兩個(gè)模型可能都被拒絕，也可能沒有一個(gè)被拒絕。在后一種情形中，我們可以使用調(diào)整的R-平方進(jìn)行選擇。如果兩個(gè)模型都被拒絕，則有更多的工作要做。不過，重要的是知道使用這種或那種函數(shù)形式的后果，如果關(guān)鍵性解釋變量