多邊形與平行四邊形--知識(shí)講解及典型例題解析

1、多邊形與平行四邊形-知識(shí)講解及典型例題解析【考綱要求】1.多邊形A：了解多邊形及正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；知道用任意一個(gè)正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌平面；了解四邊形的不穩(wěn)定性；了解特殊四邊形之間的關(guān)系.B:會(huì)用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計(jì)算問(wèn)題；能用正三角形、正方形、正六邊形進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì)；能依據(jù)條件分解與拼接簡(jiǎn)單圖形.(2)平行四邊形A:會(huì)識(shí)別平行四邊形.B：掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì),會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.C:會(huì)運(yùn)用平行四邊形的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】豐富情境多邊形特例平行四邊形【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、多邊形1 .多邊形：在平面

2、內(nèi),由假設(shè)干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對(duì)角線是連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段.2 .多邊形的對(duì)角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引出(n3)條對(duì)角線,共有n(n-3)/2條對(duì)角線,把多邊形分成了(n-2)個(gè)三角形.3 .多邊形的角：n邊形的內(nèi)角和是(n-2)-180°,外角和是360°.【要點(diǎn)詮釋】(1)多邊形包括三角形、四邊形、五邊形,等邊三角形是邊數(shù)最少的正多邊形(2)多邊形中最多有3個(gè)內(nèi)角是銳角(如銳角三角形),也可以沒有銳角(如矩形).(3)解決n邊形的有關(guān)問(wèn)題時(shí),往往連接其對(duì)角線轉(zhuǎn)化成三角形的相關(guān)知識(shí),研究n邊形的外角

3、問(wèn)題時(shí),也往往轉(zhuǎn)化為n邊形的內(nèi)角問(wèn)題.考點(diǎn)二、平面圖形的鑲嵌1 .鑲嵌的定義用形狀,大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接,彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片,這就是平面圖形的鑲嵌.2 .平面圖形的鑲嵌(1) 一個(gè)多邊形鑲嵌的圖形有：三角形,四邊形和正六邊形；(2)兩個(gè)多邊形鑲嵌的圖形有：正三角形和正方形,正三角形和正六邊形,正方形和正八邊形,正三角形和正十二邊形；(3)三個(gè)多邊形鑲嵌的圖形一般有：正三角形、正方形和正六邊形,正方形、正六邊形和正十二邊形,正三角形、正方形和正十二邊形.【要點(diǎn)詮釋】能鑲嵌的圖形在一個(gè)拼接點(diǎn)處的特點(diǎn)：幾個(gè)圖形的內(nèi)角拼接在一起時(shí),其和等于并使相等的邊互相重合.考點(diǎn)

4、三、三角形中位線定理1 .連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線2 .定理：三角形的中位線平行于三角形白第三邊,且等于第三邊的一半考點(diǎn)四、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定1 .定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.2 .性質(zhì)：(1)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；(2)平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)；(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分；(4)平行四邊形是中央對(duì)稱圖形,對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中央.3 .判定:(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3) 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對(duì)角

5、線互相平分的四邊形是平行四邊形.4 .兩條平行線間的距離：定義：夾在兩條平行線間最短的線段的長(zhǎng)度叫做兩條平行線間的距離.性質(zhì)：夾在兩條平行線間的平行線段相等.【要點(diǎn)詮釋】1 .平行四邊形的面積=底*高；2 .同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.【典型例題】類型一、多邊形與平面圖形的鑲嵌阻力/./n1 .如圖,在五邊形ABCDEEK/A+/B+/E=300,DRCP分別平分/EDC/BCD貝360°P的度數(shù)是()A.60°B.65°C.55°D,50°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°,由/A+ZB+ZE=300

6、76;,可求/BCD吆CDE勺度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義可得/PDC與/PCD的角度和,進(jìn)一步求得/P的度數(shù).【答案】A【解析】解：.五邊形的內(nèi)角和等于540°,/A+/B+/E=300°, /BCD廿CDE=540-300°=240°, /BCD/CDE勺平分線在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)O ./PDC它PCD=/BCD+ZCDE=120°,2,/P=180°-120°=60°.應(yīng)選：A.【總結(jié)升華】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式,角平分線的定義,熟記公式是解題的關(guān)鍵.注意整體思想的運(yùn)用.舉一反三：【變式】如圖,小林從P

7、點(diǎn)向西直走12米后,向左轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為a,再走12米,如此重復(fù),小林共走了108米回到點(diǎn)P,那么a=.【答案】400.C2.現(xiàn)有邊長(zhǎng)相同的正三角形、正方形和正六邊形紙片假設(shè)干張,以下拼法中不能鑲嵌成一個(gè)平面圖案的是A.正方形和正六邊形B.正三角形和正方形C.正三角形和正六邊形D.正三角形、正方形和正六邊形【思路點(diǎn)撥】注意各正多邊形的內(nèi)角度數(shù).【答案】A.【解析】正方形和正六邊形的每個(gè)內(nèi)角分別為90.和120°,要鑲嵌那么需要滿足90.m+120°n=360°,但是mn沒有正整數(shù)解,應(yīng)選A.【總結(jié)升華】能鑲嵌的圖形在一個(gè)拼接點(diǎn)處的特點(diǎn)：幾個(gè)圖形的內(nèi)角拼接在一起時(shí),

8、其和等于360.,并使相等的邊互相重合.舉一反三：【變式】現(xiàn)有四種地面磚,它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形,且它們的邊長(zhǎng)都相等.同時(shí)選擇其中兩種地面磚密鋪地面,選擇的方式有A.2種B.3種C.4種D.5種【答案】B.類型二：平行四邊形及其他知識(shí)的綜合運(yùn)用3.如圖,在?ABCD,對(duì)角線AGBD相交于點(diǎn)O,AE±BDBMLAGDNLAC,CHBD足分別是EMN、F,求證：EN/MFpbr【思路點(diǎn)撥】連接MEFN由四邊形ABCM平行四邊形,得到對(duì)角線互相平分,利用AAS導(dǎo)到三角形AOE與三角形CO陳等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OE=OF同理得到三角形BOMW三角形

9、DONi:等,得到OM=ON進(jìn)而確定出四邊形MEFM平行四邊形,利用平行四邊形的對(duì)邊平行即可得證.【答案與解析】證實(shí)：連接MEFN, 四邊形ABCM平行四邊形,OA=OCOB=ODAE±BD,CF±BD,在AO田口COF中,NAfiO二NCFO二Zaoe=ZOT,OA=OC .AO瞌COF(AAS),OE=OF同理BO陣DON得到OM=ON 四邊形EMFN平行四邊形,EN/MFAD【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.AD=ABWr4.如下圖,ABC中,/BAC=90,延長(zhǎng)BA到D,使2,點(diǎn)E、F分別為邊BGAC的中點(diǎn).

10、(1)求證：DF=BE(2)過(guò)點(diǎn)A作AG/BC,交DF于G求證：AG=DG.【思路點(diǎn)撥】(1)E、F分別為BGAC中點(diǎn),那么EF為ABC的中位線,所以EF/AB,工.而AD-AB2.貝UEF=AD從而易證DAFEFC,貝UDF=CE=BE.2AG與DG同一個(gè)三角形中,只需證/D=ZDACSP可.【答案與解析】1二點(diǎn)E、F分別為BGAC的中點(diǎn),EF是ABC的中位線.EF-ABEEF/AB,2AD=-AB又2,EF=AD.EF/AB,/EFC=ZBAC=90,/BAC=90,./DAF=90.又F是AC的中點(diǎn),AF=CF.DA陣EFC.DF=EC=BE.2由1知.DAFEFC1/D=ZFEC.又E

11、F/AB,.B=ZFEC.又AG/BC,.DAGWB,./DAG=ZFEC/D=ZDAG.AG=DG.【總結(jié)升華】三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系一一可以證實(shí)兩條直線平行；數(shù)量關(guān)系一一可以證實(shí)線段的相等或倍分.此外應(yīng)注意三角形共有三條中位線,并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形舉一反三：【變式】如圖,P、R分別是長(zhǎng)方形ABCM邊BGCD上的點(diǎn),E、F分別是PAPR的中點(diǎn),點(diǎn)P在B.線段EF的長(zhǎng)逐漸變小BC上從B向C移動(dòng),點(diǎn)R不動(dòng),那么以下結(jié)論成立的是A線段EF的長(zhǎng)逐漸增大C.線段EF的長(zhǎng)不變D.無(wú)法確定【答案】C.5.如圖：六邊形ABCDE沖,AB平行且等于ED,AF平行且等于CDBC平行且等于F

12、E,對(duì)角線FD,一,一,、一一,2±BD,FD=4cmBD=3cm那么六邊形ABCDEF勺面積是cm.【思路點(diǎn)撥】連接AC交BD于G,AE交DF于H.根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,得平行四邊形AED街口AFDC易得AC=FDEH=BG計(jì)算該六邊形的面積可以分成3局部計(jì)算,即平行四邊形AFDC勺面積+三角形ABC的面積+三角形EFD的面積.【答案與解析】E連接AC交BDTG,AE交DF于H.AB平行且等于ED,AF平行且等于CD四邊形AED配平行四邊形,四邊形AFDC平行四邊形,AE=BDAC=FDFD±BD,/GDH=90,四邊形AHD況矩形,AH=DGEH=

13、AE-AHBG=BD-DGEH=BG,六邊形ABCDEF勺面積=平行四邊形AFDC的面積+三角形ABC的面積+三角形EFD的面積=FD?BD=3X4=12cm2.故答案為：12.【總結(jié)升華】注意求不規(guī)那么圖形的面積可以分割成規(guī)那么圖形,根據(jù)面積公式進(jìn)行計(jì)算.6.平行四邊形ABCD對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn).,點(diǎn)P在邊AD上,過(guò)點(diǎn)P作PE1ACPF±BD垂足分別為E、F,PE=PF(1)如圖,假設(shè)PE=J3,EO=1求/EPF的度數(shù);(2)假設(shè)點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),點(diǎn)F是DO的中點(diǎn),BF=BC+3/2-4,求BC的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】(1)連接PO利用解直角三角形求出/EPO=30,再利用&qu

14、ot;HL'證實(shí)PEO和PFO全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/FPO=EPQ從而得解；1(2)根據(jù)三角形中位線定理可得PF/AO且PF=AO,然后根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得2/AOD=PFD=90,再根據(jù)同位角相等,兩直線平行可得PE/OD所以PE也是AOD的中位線,然后證實(shí)四邊形ABC比正方形,根據(jù)正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系列式計(jì)算即可得解.【答案與解析】(1)如圖,連接POPEIACPE=J3,EO=1 .tanZEPO=-E0-PE3'/EPO=30, .PEIACPF±BD /PEOWPFO=90,一、POPO在RtPEO和RtPFO中,PEPFRtA

15、PEORtAPFO(HL), /FPOWEPO=30, /EPF之FPO廿EPO=30+30°=60°Q)圖圖(2)如圖,二點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),點(diǎn)F是DO的中點(diǎn), .PF/AQ且PF=-AO2 .PF±BD/PFD=90, ./AOD=PFD=90,又PE!AC,/AEP=90, ./AOD=AEPPE/OD 點(diǎn)P是AD的中點(diǎn), .PE是AOD的中位線,1八.PE=-OD2 .PE=PF.AO=OD且AQLOD,平行四邊形ABC比正方形,設(shè)bc=k那么BfVx+IxGWL,2224BF=BC+3/2-4=x+3724,.x+372-4=32x,4解得x=4,即BC=

16、4【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì),三角形的中位線定理,正方形的判定與性質(zhì),定出平行四邊形ABC皿正方形是解題的關(guān)鍵.(2)中判舉一反三:【變式】如圖1,正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),且P(1,曲線上的一點(diǎn),Q為坐標(biāo)平面上的一動(dòng)點(diǎn),PA!x軸,QBLy軸,垂足分別為AB.(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線0±運(yùn)動(dòng)時(shí),是否可以使OBQW4OAP面積相等？(3)如圖2,點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),作以O(shè)POQ為鄰邊的平行四邊形行四邊形OPC闔長(zhǎng)的最小值.2)是雙OPCQ求平10【答案】(1)正比例函數(shù)解析式為尸一x,反比例函數(shù)解析式為y=-.2