導(dǎo)數(shù)問題的六大應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)問題的六大熱點(diǎn)導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，由于其應(yīng)用的廣泛性，為解決函數(shù)問題提供了一般性的方法及簡捷地解決一些實(shí)際問題.因此在高考新課程卷中占有較為重要的地位，其考查重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)判斷或論證單調(diào)性、函數(shù)的極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題等方面，常以一小一大或二小一大的試題出現(xiàn)，分值1217分.下面例析導(dǎo)數(shù)的六大熱點(diǎn)問題，供參考.一、運(yùn)算問題是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)和差積商的導(dǎo)數(shù)，及復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，直接求出其導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算問題.例1已知a>0,n為正整數(shù).設(shè)y=(x-a)n,證明y'=n(x-a)n.n證明：因?yàn)?x-a)n=£C；(a)n'xk,k.0

2、nnnJkk1_ck,kjn加以y=Ek(-a)x=工nCn_i(a)x=n(xa)k_0k_0例2已知y=(x+I)；用定義法求y'.，、-232,求y=2x3x+4+=的導(dǎo)數(shù).xx已知函數(shù)f(x)=Vax1，、12-T/一f(x)=-(ax-1)2?2ax,即f(1)=a(a-1)2=2,解得a=2.二、切線問題是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義或物理意義，解決瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等三類問題.特別是求切線的斜率、傾斜角及切線方程問題，其中:-1,且f'(1)=2,求a的值.分析：對(duì)于運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義，即y'=即,即可解決；對(duì)于可應(yīng)用(u±v)'=

3、v+u以及(x")'=axa，解之；對(duì)于是逆向型的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算問題，用y'x=y；,u1及方程思想即可解決.解析：y'=limy=lim/0/-x-x-：0(x八八x1)2-(x1)2=1m(2x+2+Ax)=2x+2.34由法則，即得y'=4x-3+-.xx曲線y=f(x)在點(diǎn)P(xcf(X0)處的斜率k,傾斜角為0,則tan日=k=f'(x0).其切線1的方程為：y=y0+f*(x0)(x-xo).若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(xo,f(Xo)的切線平彳r于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義知，切線方程為x=xo.1.ax例3已知a>

4、0,函數(shù)f(x)=2:二x1:二一a記曲線y=f(x)在點(diǎn)M(xf(x1)處的切線為1.求l的方程;設(shè)l與x軸交點(diǎn)為(x2,0)證明:解：求f(x)的導(dǎo)數(shù)：f'(x)的方程:1-ax1y_()=-xii(x-xi).x證明：依題意，切線方程中令y=0,2x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),其中0<x1<一.a=x1(2ax1)，有x2>0,及x2-a(x1小,2由0cxic,x2a二0%21，一，<，當(dāng)且僅當(dāng)axi1時(shí),ai(一時(shí)，ax1<1,a因此,x2=x1(2-ax1)xi5且由,x2所以xi>0,f(x)=ax2+bx+c,曲

5、線y=f(x)在P(x0,f(x0)處切線的傾斜角的取值范圍是0,則P到曲線y=f(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍是41(A) 0,a1(B) 0,2ab(C) 0,|2ab-1(D) 0,|2a解：f'(x)=2ax+b,故點(diǎn)P(x0,f(x0)處切線斜率k=2ax)+b=tanHC0,1,于點(diǎn)P到對(duì)稱軸x=-b-的距離d=|x0(-b-)|=2a2a2ax0b2a1，e0,故選(B).2a三、單調(diào)性問題一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).如果f'(x)>0,則f(x)為增函數(shù)；如果f'(x)<0,則f(x)為減函數(shù).單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，主要有四

6、類問題：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；證明單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；先證明其單調(diào)性，再運(yùn)用單調(diào)證明不等式等問題.x例5設(shè)a>0,f(x)=J+是R上的偶函數(shù).aex(I)求a的值；(II)證明f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)。(I)解：依題意，對(duì)一切xR有f(xf(-x1即xea1x1x1一+=-+aex,所以(a)(ex-)=0對(duì)一切xWR成立aexaexaex1.O由此信到a=0,即a=1a又因?yàn)閍>0,所以a=1(n)證明：由f(x)=ex+e-x得f*(x)=ex-e=e(e2x-1)當(dāng)x0,+81寸，有e">0,e2x-1>0此時(shí)f'(x)>0

7、,所以f(x)在(0,+8*增函數(shù).評(píng)注：對(duì)于第(n)問是證明函數(shù)的單調(diào)性，雖然可利用函數(shù)單調(diào)性定義直接證明，但對(duì)f(x1)f(x2)的變形要求較高，技巧性強(qiáng)，且運(yùn)算量大，是一種“巧法”；而利用導(dǎo)數(shù)法，簡捷明快，也成了“通法”.四、極值問題即運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決極值問題.一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在左處連續(xù)，判別f(%)為極大(小)值的方法是：如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x()是極大值.如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極小值.例6函數(shù)y=1+3x*3有()(A)極小值1,極大

8、值1(B)極小值2,極大值3(C)極小值2,極大值2(D)極小值1,極大值3分析：本題是求已知三次函數(shù)的極值問題，考慮運(yùn)用導(dǎo)數(shù)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其極值.2解：由y'=33x=0,得x=1或x=1.當(dāng)xC(8,1)U(1,十0°)時(shí)，y'<0.當(dāng)xC(1,1)時(shí)，y'>0.因此函數(shù)y=1+3x-x3在(8,1)上單調(diào)遞減，在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,十°°)上單調(diào)遞減，即x=1是極小值點(diǎn)，x=1是極大值點(diǎn).所以極小值為1,極大值為3,故選(D).五、最值問題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最大(小)值的一般步驟如下：若f(x)在a,b上連續(xù)，

9、在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則求f(x),令f'(x)=0,求出在(a,b)內(nèi)使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).比較三類點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大者便是f(x)在a,b上的最大值，最小者便是f(x)在a,b上的是小值.一一42例7求函數(shù)f(x)=x2x+5在2,2上的最大值與最小值.,.3解：f(x)=4x4x,令f(x)=0,解得Xi=-1,x2=0,x3=1,均在(一2,2)內(nèi).計(jì)算f(-1)=4,f(0)=5,f(1)=4,f(-2)=13,f(2)=13.通過比較，可見f(x)在2,2上的最大值為13,最小值為4.六、應(yīng)用問題如果所制做容器的底面的一邊例8用總長14.8m的鋼條制成一個(gè)長方體容器的框架,比另一邊長0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積分析：本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí).解：設(shè)容器底面短邊長為xrn,則另一邊長為(x+0.5)m,高為14.84x-4x0.53=3.2-2x.4由3.22x>0和x>0,得0cx<1.6,設(shè)容器的容積為ym3,則有y=x(x+0.5)(3.22x)(0<x<1.6)